1099:
17:
648:
1832:
1549:
1094:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((k+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}\sin((k+{\frac {1}{2}})x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}}
535:
1538:
2637:
1827:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}{\frac {1-\cos(nx)}{2}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sin ^{2}({\frac {nx}{2}})={\frac {1}{n}}({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}})^{2}}
1223:
1216:
345:
3239:
2238:
1962:
637:
2360:
2911:
200:
2452:
288:
2471:
3352:
3294:
3078:
2739:
1107:
2011:
3034:
2697:
530:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({\frac {nx}{2}})}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos(x)}}\right)}
338:
105:
3385:
2964:
2075:
1533:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{2\sin ^{2}({\frac {x}{2}})}}\sum _{k=0}^{n-1}}
2938:
2098:
3109:
3104:
2106:
2987:
2031:
2780:
1842:
548:
2246:
2785:
3423:
110:
2365:
3451:
2462:
210:
2990:
2632:{\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}()}\leq \|f\|_{L^{p}()}{\text{ for every }}1\leq p\leq \infty {\text{ for }}f\in L^{p}.}
539:
This closed form expression may be derived from the definitions used above. The proof of this result goes as follows.
3299:
3247:
3487:
3039:
2705:
1211:{\displaystyle \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))}
2741:
3408:
45:
1974:
2455:
37:
3000:
2645:
33:
2997:
One consequence of the pointwise a.e. convergence is the uniqueness of
Fourier coefficients: If
1971:
The Fejér kernel is a positive summability kernel. An important property of the Fejér kernel is
3447:
307:
74:
53:
3357:
3234:{\displaystyle f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}}
2943:
2054:
3418:
3413:
3397:
2233:{\displaystyle 0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy.}
298:
2916:
2080:
3083:
2972:
2016:
41:
2750:
3481:
1957:{\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}}
16:
2042:
25:
632:{\displaystyle D_{k}(x)={\frac {\sin(k+{\frac {1}{2}})x}{\sin {\frac {x}{2}}}}}
2355:{\displaystyle f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}}
68:
has many equivalent definitions. We outline three such definitions below:
2906:{\displaystyle L^{1}()\supset L^{2}()\supset \cdots \supset L^{\infty }()}
2989:
is continuous, then the convergence is uniform, yielding a proof of the
49:
542:
First, we use the fact that the
Dirichlet kernel may be written as:
195:{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}
2447:{\displaystyle f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)}
642:
Hence, using the definition of the Fejér kernel above we get:
340:
may also be written in a closed form expression as follows
71:
1) The traditional definition expresses the Fejér kernel
283:{\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{s=-k}^{k}{\rm {e}}^{isx}}
3387:
converge to the original sequence limit if it exists.
3360:
3302:
3250:
3112:
3086:
3042:
3003:
2975:
2946:
2919:
2788:
2753:
2708:
2648:
2474:
2368:
2249:
2109:
2083:
2057:
2019:
1977:
1845:
1552:
1226:
1110:
651:
551:
348:
310:
213:
113:
77:
3471:(in German) (6th ed.). Springer. p. 322.
3396:The Fejér kernel is used in signal processing and
3379:
3346:
3288:
3233:
3098:
3072:
3028:
2981:
2958:
2932:
2905:
2774:
2733:
2691:
2631:
2446:
2354:
2232:
2092:
2069:
2025:
2005:
1956:
1826:
1532:
1210:
1093:
631:
529:
332:
282:
194:
99:
3241:, which depends only on the Fourier coefficients.
44:. It is a non-negative kernel, giving rise to an
3304:
3252:
3347:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f}
1837:3) The Fejér kernel can also be expressed as:
8:
3289:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)}
2545:
2538:
2495:
2475:
3365:
3359:
3323:
3307:
3301:
3271:
3255:
3249:
3219:
3209:
3198:
3197:
3180:
3172:
3169:
3145:
3137:
3136:
3123:
3111:
3085:
3059:
3058:
3044:
3043:
3041:
3020:
3002:
2974:
2945:
2924:
2918:
2873:
2830:
2793:
2787:
2752:
2719:
2707:
2659:
2647:
2620:
2605:
2585:
2553:
2548:
2503:
2498:
2482:
2473:
2429:
2413:
2402:
2388:
2379:
2367:
2340:
2330:
2319:
2318:
2304:
2296:
2295:
2273:
2260:
2248:
2220:
2199:
2177:
2169:
2150:
2129:
2108:
2082:
2056:
2018:
1982:
1976:
1942:
1922:
1914:
1911:
1881:
1873:
1872:
1850:
1844:
1818:
1798:
1769:
1757:
1744:
1723:
1711:
1691:
1679:
1669:
1659:
1623:
1607:
1595:
1585:
1575:
1557:
1551:
1461:
1450:
1430:
1418:
1405:
1395:
1376:
1345:
1312:
1301:
1281:
1269:
1259:
1249:
1231:
1225:
1147:
1109:
1075:
1044:
1011:
1000:
980:
968:
958:
948:
926:
896:
885:
865:
850:
840:
821:
791:
770:
758:
747:
733:
715:
699:
688:
674:
656:
650:
616:
592:
574:
556:
550:
470:
456:
447:
427:
398:
386:
371:
353:
347:
315:
309:
268:
262:
261:
254:
240:
218:
212:
177:
161:
150:
136:
118:
112:
82:
76:
15:
3434:
3073:{\displaystyle {\hat {f}}={\hat {g}}}
7:
2734:{\displaystyle f*F_{n}\rightarrow f}
3444:Banach Spaces of Analytic Functions
3314:
3262:
2874:
2602:
1104:Using the trigonometric identity:
263:
107:in terms of the Dirichlet kernel:
14:
3424:Charles Jean de la Vallée-Poussin
3244:A second consequence is that if
2913:, so the result holds for other
3106:a.e. This follows from writing
3335:
3329:
3311:
3283:
3277:
3259:
3203:
3181:
3173:
3146:
3138:
3064:
3049:
2900:
2897:
2882:
2879:
2857:
2854:
2839:
2836:
2820:
2817:
2802:
2799:
2769:
2754:
2725:
2686:
2683:
2668:
2665:
2580:
2577:
2562:
2559:
2530:
2527:
2512:
2509:
2463:Young's convolution inequality
2441:
2435:
2305:
2297:
2285:
2279:
2217:
2205:
2192:
2186:
2144:
2138:
2135:
2116:
2006:{\displaystyle F_{n}(x)\geq 0}
1994:
1988:
1923:
1915:
1882:
1874:
1862:
1856:
1815:
1808:
1795:
1784:
1766:
1754:
1738:
1720:
1701:
1688:
1647:
1638:
1617:
1604:
1569:
1563:
1527:
1524:
1518:
1506:
1503:
1491:
1482:
1473:
1440:
1427:
1389:
1386:
1373:
1361:
1355:
1336:
1333:
1324:
1291:
1278:
1243:
1237:
1205:
1202:
1190:
1178:
1166:
1157:
1141:
1135:
1123:
1117:
1088:
1085:
1072:
1060:
1054:
1035:
1032:
1023:
990:
977:
942:
936:
917:
914:
875:
862:
831:
818:
807:
801:
782:
779:
727:
721:
668:
662:
602:
583:
568:
562:
517:
511:
494:
485:
437:
424:
413:
395:
365:
359:
327:
321:
230:
224:
189:
183:
130:
124:
94:
88:
36:used to express the effect of
1:
20:Plot of several Fejér kernels
3029:{\displaystyle f,g\in L^{1}}
2692:{\displaystyle f\in L^{1}()}
3504:
3354:a.e., since Cesàro means
3442:Hoffman, Kenneth (1988).
333:{\displaystyle F_{n}(x)}
100:{\displaystyle F_{n}(x)}
48:. It is named after the
3380:{\displaystyle F_{n}*f}
2959:{\displaystyle p\geq 1}
2070:{\displaystyle f\geq 0}
2013:with average value of
1543:Hence it follows that:
3467:Konigsberger, Konrad.
3381:
3348:
3290:
3235:
3100:
3074:
3030:
2983:
2960:
2934:
2907:
2776:
2735:
2693:
2633:
2448:
2424:
2356:
2234:
2094:
2071:
2027:
2007:
1958:
1828:
1534:
1472:
1323:
1212:
1095:
1022:
907:
769:
710:
633:
531:
334:
284:
259:
196:
172:
101:
21:
3446:. Dover. p. 17.
3382:
3349:
3291:
3236:
3101:
3075:
3031:
2984:
2961:
2935:
2933:{\displaystyle L^{p}}
2908:
2777:
2736:
2694:
2634:
2587: for every
2449:
2398:
2357:
2235:
2095:
2093:{\displaystyle 2\pi }
2072:
2028:
2008:
1959:
1829:
1535:
1446:
1297:
1213:
1096:
996:
881:
743:
684:
634:
532:
335:
285:
236:
197:
146:
102:
19:
3358:
3300:
3248:
3110:
3084:
3040:
3001:
2973:
2944:
2917:
2786:
2751:
2706:
2646:
2472:
2458:of Fourier series.
2366:
2247:
2107:
2081:
2055:
2017:
1975:
1843:
1550:
1224:
1108:
649:
549:
346:
308:
304:2) The Fejér kernel
211:
111:
75:
46:approximate identity
3099:{\displaystyle f=g}
2991:Weierstrass theorem
2182:
56:(1880–1959).
3377:
3344:
3318:
3296:exists a.e., then
3286:
3266:
3231:
3157:
3096:
3070:
3026:
2979:
2956:
2930:
2903:
2772:
2731:
2689:
2629:
2444:
2352:
2316:
2230:
2165:
2090:
2067:
2023:
2003:
1954:
1899:
1824:
1530:
1208:
1091:
629:
527:
330:
280:
192:
97:
34:summability kernel
22:
3398:Fourier analysis.
3303:
3251:
3206:
3189:
3132:
3067:
3052:
2982:{\displaystyle f}
2642:Additionally, if
2608:
2588:
2396:
2327:
2291:
2163:
2051:is positive: for
2026:{\displaystyle 1}
1931:
1868:
1812:
1806:
1782:
1752:
1736:
1705:
1699:
1667:
1654:
1621:
1615:
1583:
1444:
1438:
1403:
1384:
1353:
1295:
1289:
1257:
1155:
1083:
1052:
994:
988:
956:
934:
879:
873:
848:
835:
829:
799:
741:
682:
627:
624:
600:
521:
464:
441:
435:
411:
379:
144:
3495:
3473:
3472:
3464:
3458:
3457:
3439:
3419:Gibbs phenomenon
3414:Dirichlet kernel
3386:
3384:
3383:
3378:
3370:
3369:
3353:
3351:
3350:
3345:
3328:
3327:
3317:
3295:
3293:
3292:
3287:
3276:
3275:
3265:
3240:
3238:
3237:
3232:
3230:
3229:
3214:
3213:
3208:
3207:
3199:
3195:
3191:
3190:
3185:
3184:
3176:
3170:
3156:
3149:
3141:
3128:
3127:
3105:
3103:
3102:
3097:
3079:
3077:
3076:
3071:
3069:
3068:
3060:
3054:
3053:
3045:
3035:
3033:
3032:
3027:
3025:
3024:
2988:
2986:
2985:
2980:
2965:
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