17:
927:
754:
759:
503:
1385:
520:
320:
1261:
190:
922:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{Tail}}&=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2},\\A_{\text{Head}}&=\left({\frac {2}{3}}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2},\end{aligned}}}
335:
1039:
1266:
764:
525:
195:
973:
87:
1046:
1417:
108:
749:{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left|\int {\left(xy'-yx'\right)dt}\right|\\&={\frac {1}{8}}a^{2}\left|\int {\leftdt}\right|,\end{aligned}}}
985:
932:
498:{\displaystyle \left(2x^{2}+y^{2}\right)^{2}-2{\sqrt {2}}ax\left(2x^{2}-3y^{2}\right)+2a^{2}\left(y^{2}-x^{2}\right)=0.}
1380:{\displaystyle \phi (t)=\pi -\arg \left({\sqrt {2}}-1-{\frac {2}{\left(1+{\sqrt {2}}\right)e^{it}-1}}\right),}
45:
50:
1518:
33:
315:{\displaystyle \textstyle {x=a\cos(t)-{\frac {a\sin ^{2}(t)}{\sqrt {2}}},\qquad y=a\cos(t)\sin(t)}.}
325:
90:
1453:
329:
1390:
1445:
41:
1436:
Lockwood, E. H. (1957). "Negative Pedal Curve of the
Ellipse with Respect to a Focus".
1256:{\displaystyle K(t)={\frac {2{\sqrt {2}}+3\cos(t)-\cos(3t)}{2a\left^{\frac {3}{2}}}},}
1512:
1457:
185:{\displaystyle \textstyle {x=a\cos(t),\qquad y={\frac {a\sin(t)}{\sqrt {2}}}},}
1475:
1449:
94:
16:
15:
37:
1501:. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 157.
1034:{\displaystyle a{\sqrt {2}}\left({\frac {1}{2}}\pi +3\right).}
93:
for a fish curve correspond to those of the associated
199:
192:
the corresponding fish curve has parametric equations
112:
68:
1393:
1269:
1049:
988:
935:
762:
523:
338:
198:
111:
53:
1411:
1379:
1255:
1033:
967:
921:
748:
497:
314:
184:
81:
756:so the area of the tail and head are given by:
105:For an ellipse with the parametric equations
40:. In a fish curve, the pedal point is at the
8:
1043:The curvature of a fish curve is given by:
978:Curvature, arc length, and tangential angle
1392:
1351:
1335:
1318:
1302:
1268:
1236:
1191:
1176:
1157:
1138:
1071:
1065:
1048:
1004:
992:
987:
956:
942:
934:
929:giving the overall area for the fish as:
906:
887:
878:
865:
847:
830:
811:
802:
789:
771:
763:
761:
704:
693:
642:
628:
614:
556:
538:
524:
522:
478:
465:
450:
429:
413:
388:
376:
365:
352:
337:
238:
228:
200:
197:
148:
113:
110:
67:
58:
52:
982:The arc length of the curve is given by
1428:
1469:
1467:
1263:and the tangential angle is given by:
968:{\displaystyle A={\frac {4}{3}}a^{2}.}
517:The area of a fish curve is given by:
328:to the node (the crossing point), the
82:{\displaystyle e^{2}={\tfrac {1}{2}}}
7:
44:for the special case of the squared
20:The fish curve with scale parameter
14:
267:
141:
1406:
1400:
1279:
1273:
1228:
1219:
1210:
1204:
1117:
1108:
1096:
1090:
1059:
1053:
719:
713:
684:
675:
663:
657:
304:
298:
289:
283:
253:
247:
222:
216:
166:
160:
135:
129:
1:
1535:
1450:10.1017/S0025557200037293
1419:is the complex argument.
1497:Lockwood, E. H. (1967).
1412:{\displaystyle \arg(z)}
1413:
1381:
1257:
1035:
969:
923:
750:
499:
316:
186:
83:
36:that is shaped like a
25:
1414:
1382:
1258:
1036:
970:
924:
751:
500:
317:
187:
84:
19:
1391:
1267:
1047:
986:
933:
760:
521:
336:
196:
109:
91:parametric equations
51:
34:negative pedal curve
1474:Weisstein, Eric W.
332:can be written as:
324:When the origin is
1409:
1377:
1253:
1031:
965:
919:
917:
746:
744:
495:
330:Cartesian equation
312:
311:
182:
181:
79:
77:
26:
1367:
1340:
1307:
1248:
1244:
1196:
1076:
1012:
997:
950:
895:
892:
873:
850:
819:
816:
797:
774:
698:
622:
546:
393:
262:
261:
175:
174:
76:
1526:
1503:
1502:
1499:A Book of Curves
1494:
1488:
1487:
1485:
1483:
1471:
1462:
1461:
1433:
1418:
1416:
1415:
1410:
1386:
1384:
1383:
1378:
1373:
1369:
1368:
1366:
1359:
1358:
1346:
1342:
1341:
1336:
1319:
1308:
1303:
1262:
1260:
1259:
1254:
1249:
1247:
1246:
1245:
1237:
1235:
1231:
1197:
1192:
1181:
1180:
1162:
1161:
1143:
1142:
1120:
1077:
1072:
1066:
1040:
1038:
1037:
1032:
1027:
1023:
1013:
1005:
998:
993:
974:
972:
971:
966:
961:
960:
951:
943:
928:
926:
925:
920:
918:
911:
910:
901:
897:
896:
894:
893:
888:
879:
874:
866:
852:
851:
848:
835:
834:
825:
821:
820:
818:
817:
812:
803:
798:
790:
776:
775:
772:
755:
753:
752:
747:
745:
738:
734:
733:
726:
722:
709:
708:
699:
694:
633:
632:
623:
615:
607:
603:
599:
598:
591:
587:
586:
572:
547:
539:
504:
502:
501:
496:
488:
484:
483:
482:
470:
469:
455:
454:
439:
435:
434:
433:
418:
417:
394:
389:
381:
380:
375:
371:
370:
369:
357:
356:
321:
319:
318:
313:
307:
263:
257:
256:
243:
242:
229:
191:
189:
188:
183:
177:
176:
170:
169:
149:
88:
86:
85:
80:
78:
69:
63:
62:
1534:
1533:
1529:
1528:
1527:
1525:
1524:
1523:
1509:
1508:
1507:
1506:
1496:
1495:
1491:
1481:
1479:
1473:
1472:
1465:
1435:
1434:
1430:
1425:
1389:
1388:
1347:
1328:
1324:
1323:
1301:
1297:
1265:
1264:
1172:
1153:
1134:
1133:
1129:
1128:
1121:
1067:
1045:
1044:
1003:
999:
984:
983:
980:
952:
931:
930:
916:
915:
902:
883:
864:
860:
853:
843:
840:
839:
826:
807:
788:
784:
777:
767:
758:
757:
743:
742:
700:
647:
643:
638:
634:
624:
605:
604:
579:
565:
561:
557:
552:
548:
531:
519:
518:
515:
510:
474:
461:
460:
456:
446:
425:
409:
405:
401:
361:
348:
344:
340:
339:
334:
333:
234:
230:
194:
193:
150:
107:
106:
103:
54:
49:
48:
12:
11:
5:
1532:
1530:
1522:
1521:
1511:
1510:
1505:
1504:
1489:
1463:
1427:
1426:
1424:
1421:
1408:
1405:
1402:
1399:
1396:
1376:
1372:
1365:
1362:
1357:
1354:
1350:
1345:
1339:
1334:
1331:
1327:
1322:
1317:
1314:
1311:
1306:
1300:
1296:
1293:
1290:
1287:
1284:
1281:
1278:
1275:
1272:
1252:
1243:
1240:
1234:
1230:
1227:
1224:
1221:
1218:
1215:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1195:
1190:
1187:
1184:
1179:
1175:
1171:
1168:
1165:
1160:
1156:
1152:
1149:
1146:
1141:
1137:
1132:
1127:
1124:
1119:
1116:
1113:
1110:
1107:
1104:
1101:
1098:
1095:
1092:
1089:
1086:
1083:
1080:
1075:
1070:
1064:
1061:
1058:
1055:
1052:
1030:
1026:
1022:
1019:
1016:
1011:
1008:
1002:
996:
991:
979:
976:
964:
959:
955:
949:
946:
941:
938:
914:
909:
905:
900:
891:
886:
882:
877:
872:
869:
863:
859:
856:
854:
846:
842:
841:
838:
833:
829:
824:
815:
810:
806:
801:
796:
793:
787:
783:
780:
778:
770:
766:
765:
741:
737:
732:
729:
725:
721:
718:
715:
712:
707:
703:
697:
692:
689:
686:
683:
680:
677:
674:
671:
668:
665:
662:
659:
656:
653:
650:
646:
641:
637:
631:
627:
621:
618:
613:
610:
608:
606:
602:
597:
594:
590:
585:
582:
578:
575:
571:
568:
564:
560:
555:
551:
545:
542:
537:
534:
532:
530:
527:
526:
514:
511:
509:
506:
494:
491:
487:
481:
477:
473:
468:
464:
459:
453:
449:
445:
442:
438:
432:
428:
424:
421:
416:
412:
408:
404:
400:
397:
392:
387:
384:
379:
374:
368:
364:
360:
355:
351:
347:
343:
310:
306:
303:
300:
297:
294:
291:
288:
285:
282:
279:
276:
273:
270:
266:
260:
255:
252:
249:
246:
241:
237:
233:
227:
224:
221:
218:
215:
212:
209:
206:
203:
180:
173:
168:
165:
162:
159:
156:
153:
147:
144:
140:
137:
134:
131:
128:
125:
122:
119:
116:
102:
99:
75:
72:
66:
61:
57:
32:is an ellipse
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1531:
1520:
1517:
1516:
1514:
1500:
1493:
1490:
1477:
1470:
1468:
1464:
1459:
1455:
1451:
1447:
1443:
1439:
1432:
1429:
1422:
1420:
1403:
1397:
1394:
1374:
1370:
1363:
1360:
1355:
1352:
1348:
1343:
1337:
1332:
1329:
1325:
1320:
1315:
1312:
1309:
1304:
1298:
1294:
1291:
1288:
1285:
1282:
1276:
1270:
1250:
1241:
1238:
1232:
1225:
1222:
1216:
1213:
1207:
1201:
1198:
1193:
1188:
1185:
1182:
1177:
1173:
1169:
1166:
1163:
1158:
1154:
1150:
1147:
1144:
1139:
1135:
1130:
1125:
1122:
1114:
1111:
1105:
1102:
1099:
1093:
1087:
1084:
1081:
1078:
1073:
1068:
1062:
1056:
1050:
1041:
1028:
1024:
1020:
1017:
1014:
1009:
1006:
1000:
994:
989:
977:
975:
962:
957:
953:
947:
944:
939:
936:
912:
907:
903:
898:
889:
884:
880:
875:
870:
867:
861:
857:
855:
844:
836:
831:
827:
822:
813:
808:
804:
799:
794:
791:
785:
781:
779:
768:
739:
735:
730:
727:
723:
716:
710:
705:
701:
695:
690:
687:
681:
678:
672:
669:
666:
660:
654:
651:
648:
644:
639:
635:
629:
625:
619:
616:
611:
609:
600:
595:
592:
588:
583:
580:
576:
573:
569:
566:
562:
558:
553:
549:
543:
540:
535:
533:
528:
512:
507:
505:
492:
489:
485:
479:
475:
471:
466:
462:
457:
451:
447:
443:
440:
436:
430:
426:
422:
419:
414:
410:
406:
402:
398:
395:
390:
385:
382:
377:
372:
366:
362:
358:
353:
349:
345:
341:
331:
327:
322:
308:
301:
295:
292:
286:
280:
277:
274:
271:
268:
264:
258:
250:
244:
239:
235:
231:
225:
219:
213:
210:
207:
204:
201:
178:
171:
163:
157:
154:
151:
145:
142:
138:
132:
126:
123:
120:
117:
114:
100:
98:
96:
92:
73:
70:
64:
59:
55:
47:
43:
39:
35:
31:
23:
18:
1519:Plane curves
1498:
1492:
1480:. Retrieved
1476:"Fish Curve"
1441:
1437:
1431:
1042:
981:
516:
323:
104:
46:eccentricity
29:
27:
21:
1478:. MathWorld
1444:: 254–257.
1423:References
508:Properties
326:translated
30:fish curve
1458:125623811
1438:Math. Gaz
1398:
1361:−
1316:−
1310:−
1295:
1289:−
1286:π
1271:ϕ
1217:
1202:
1183:
1164:
1145:
1106:
1100:−
1088:
1015:π
881:π
805:π
800:−
711:
673:
655:
640:∫
574:−
554:∫
472:−
420:−
383:−
296:
281:
245:
226:−
214:
158:
127:
101:Equations
1513:Category
584:′
570:′
1482:May 23,
95:ellipse
1456:
1387:where
89:. The
1454:S2CID
42:focus
1484:2010
849:Head
773:Tail
513:Area
38:fish
1446:doi
1395:arg
1292:arg
1214:sin
1199:sin
1174:sin
1155:sin
1136:cos
1103:cos
1085:cos
702:sin
670:cos
652:cos
293:sin
278:cos
236:sin
211:cos
155:sin
124:cos
24:= 1
1515::
1466:^
1452:.
1442:41
1440:.
493:0.
97:.
28:A
1486:.
1460:.
1448::
1407:)
1404:z
1401:(
1375:,
1371:)
1364:1
1356:t
1353:i
1349:e
1344:)
1338:2
1333:+
1330:1
1326:(
1321:2
1313:1
1305:2
1299:(
1283:=
1280:)
1277:t
1274:(
1251:,
1242:2
1239:3
1233:]
1229:)
1226:t
1223:2
1220:(
1211:)
1208:t
1205:(
1194:2
1189:+
1186:t
1178:4
1170:+
1167:t
1159:2
1151:+
1148:t
1140:4
1131:[
1126:a
1123:2
1118:)
1115:t
1112:3
1109:(
1097:)
1094:t
1091:(
1082:3
1079:+
1074:2
1069:2
1063:=
1060:)
1057:t
1054:(
1051:K
1029:.
1025:)
1021:3
1018:+
1010:2
1007:1
1001:(
995:2
990:a
963:.
958:2
954:a
948:3
945:4
940:=
937:A
913:,
908:2
904:a
899:)
890:2
885:4
876:+
871:3
868:2
862:(
858:=
845:A
837:,
832:2
828:a
823:)
814:2
809:4
795:3
792:2
786:(
782:=
769:A
740:,
736:|
731:t
728:d
724:]
720:)
717:t
714:(
706:2
696:2
691:2
688:+
685:)
682:t
679:3
676:(
667:+
664:)
661:t
658:(
649:3
645:[
636:|
630:2
626:a
620:8
617:1
612:=
601:|
596:t
593:d
589:)
581:x
577:y
567:y
563:x
559:(
550:|
544:2
541:1
536:=
529:A
490:=
486:)
480:2
476:x
467:2
463:y
458:(
452:2
448:a
444:2
441:+
437:)
431:2
427:y
423:3
415:2
411:x
407:2
403:(
399:x
396:a
391:2
386:2
378:2
373:)
367:2
363:y
359:+
354:2
350:x
346:2
342:(
309:.
305:)
302:t
299:(
290:)
287:t
284:(
275:a
272:=
269:y
265:,
259:2
254:)
251:t
248:(
240:2
232:a
223:)
220:t
217:(
208:a
205:=
202:x
179:,
172:2
167:)
164:t
161:(
152:a
146:=
143:y
139:,
136:)
133:t
130:(
121:a
118:=
115:x
74:2
71:1
65:=
60:2
56:e
22:a
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
