4166:
2221:
4161:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{g(\mu )^{2}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+\left^{2}\right\}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }2\,g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=g_{\mu }^{2}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\leftf_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\underbrace {g(\mu )^{2}} _{\mu _{g}^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})f_{X}(x)\,dx} _{\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)}-\mu _{g}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right).\end{aligned}}}
1781:
5185:
1134:
4598:
1776:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{g}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\leftf_{X}(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&=g(\mu )\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&=g(\mu ).\end{aligned}}}
5402:. Depending on the number of random variables this still can mean a significantly smaller number of evaluations than performing a Monte Carlo simulation. However, when using the FOSM method as a design procedure, a lower bound shall be estimated, which is actually not given by the FOSM approach. Therefore, a type of distribution needs to be assumed for the distribution of the objective function, taking into account the approximated mean value and standard deviation.
5180:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}\approx {}g_{\mu }^{2}&+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{2}\,\mu _{i,2}+{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}^{2}\,\mu _{i,4}+g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\,\mu _{i,2}+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}\,g_{,ii}\,\mu _{i,3}\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ii}\,g_{,jj}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ij}^{2}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}-\mu _{g}^{2}\end{aligned}}}
987:
4454:
483:
683:
4182:
5357:
There are several examples in the literature where the FOSM method is employed to estimate the stochastic distribution of the buckling load of axially compressed structures (see e.g. Ref.). For structures which are very sensitive to deviations from the ideal structure (like cylindrical shells) it has
5348:
For the second-order approximations of the third central moment as well as for the derivation of all higher-order approximations see
Appendix D of Ref. Taking into account the quadratic terms of the Taylor series and the third moments of the input variables is referred to as second-order
5349:
third-moment method. However, the full second-order approach of the variance (given above) also includes fourth-order moments of input parameters, the full second-order approach of the skewness 6th-order moments, and the full second-order approach of the kurtosis up to 8th-order moments.
2210:
5507:
Mallor C, Calvo S, Núñez JL, RodrĂguez-Barrachina R, Landaberea A. "Uncertainty propagation using the full second-order approach for probabilistic fatigue crack growth life." International
Journal of Numerical Methods for Calculation and Design in Engineering (RIMNI) 2020:11.
300:
982:{\displaystyle g(x)=g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})+\cdots }
1981:
4449:{\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu }&=g(\mu ),&g_{,i}&={\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}},&g_{,ij}&={\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},&\mu _{i,j}&=E\left\end{aligned}}}
5488:
Mallor C, Calvo S, Núñez JL, RodrĂguez-Barrachina R, Landaberea A. "Full second-order approach for expected value and variance prediction of probabilistic fatigue crack growth life." International
Journal of Fatigue 2020;133:105454.
4587:
5362:. Two comprehensive application examples of the full second-order method specifically oriented towards the fatigue crack growth in a metal railway axle are discussed and checked by comparison with a Monte Carlo simulation in Ref.
1992:
5343:
1123:
579:
478:{\displaystyle \sigma _{g}^{2}\approx \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)}
4603:
4187:
2226:
1139:
5521:
I. Elishakoff, S. van Manen, P. G. Vermeulen, and J. Arbocz, "First-Order Second-Moment
Analysis of the Buckling of Shells with Random Imperfections", AIAA J., 25 (8), pp 1113–1117, 1987.
265:
5455:
B. Kriegesmann, "Probabilistic Design of Thin-Walled Fiber
Composite Structures", Mitteilungen des Instituts für Statik und Dynamik der Leibniz Universität Hannover 15/2012,
5548:
B. Kriegesmann, R. Rolfes, C. HĂĽhne, and A. Kling, "Fast
Probabilistic Design Procedure for Axially Compressed Composite Cylinders", Compos. Struct., 93, pp 3140–3149, 2011.
5476:
Y. J. Hong, J. Xing, and J. B. Wang, "A Second-Order Third-Moment Method for
Calculating the Reliability of Fatigue", Int. J. Press. Vessels Pip., 76 (8), pp 567–570, 1999.
5248:
156:
1812:
5400:
675:
619:
77:
5539:
J. Arbocz and M. W. Hilburger, "Toward a
Probabilistic Preliminary Design Criterion for Buckling Critical Composite Shells", AIAA J., 43 (8), pp 1823–1827, 2005.
5212:
4477:
1804:
1010:
643:
599:
526:
506:
292:
220:
196:
176:
117:
97:
4485:
31:, is a probabilistic method to determine the stochastic moments of a function with random input variables. The name is based on the derivation, which uses a
5418:
A. Haldar and S. Mahadevan, Probability, Reliability, and
Statistical Methods in Engineering Design. John Wiley & Sons New York/Chichester, UK, 2000.
2205:{\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E\left(^{2}\right)=E\left(g(x)^{2}\right)-\mu _{g}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}}
4479:
are assumed to be independent. Considering also the second-order terms of the Taylor expansion, the approximation of the mean value is given by
5256:
1018:
5250:. When considering only linear terms of the Taylor series, but higher-order moments, the third central moment is approximated by
5530:
I. Elishakoff, "Uncertain
Buckling: Its Past, Present and Future", Int. J. Solids Struct., 37 (46–47), pp 6869–6889, Nov. 2000.
5569:
5365:
In engineering practice, the objective function often is not given as analytic expression, but for instance as a result of a
531:
5564:
120:
5428:
Crespo, L. G.; Kenny, S. P. (2005). "A first and second order moment approach to probabilistic control synthesis".
5358:
been proposed to use the FOSM method as a design approach. Often the applicability is checked by comparison with a
228:
5359:
5366:
17:
5464:
5460:
5220:
5456:
5370:
1976:{\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E\left(^{2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }^{2}f_{X}(x)\,dx.}
125:
5433:
5376:
660:
604:
53:
4582:{\displaystyle \mu _{g}\approx g_{\mu }+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\;\mu _{i,2}}
5369:
simulation. Then the derivatives of the objective function need to be estimated by the
5215:
5197:
4462:
1789:
995:
628:
584:
511:
491:
277:
205:
181:
161:
102:
82:
5558:
654:
35:
5490:
1986:
According to the computational formula for the variance, this can be written as
5509:
645:. More accurate, second-order second-moment approximations are also available
199:
5438:
5463:, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover, Hannover, Germany, 2012,
5191:
271:
5338:{\displaystyle \mu _{g,3}\approx \sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{3}\;\mu _{i,3}}
1118:{\displaystyle \mu _{g}=E=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx}
5373:
method. The number of evaluations of the objective function equals
16:"FOSM" redirects here. For open geographic database project, see
198:
is also randomly distributed. Following the FOSM method, the
4592:
The second-order approximation of the variance is given by
574:{\textstyle {\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}}
534:
5379:
5259:
5223:
5200:
4601:
4488:
4465:
4185:
2224:
1995:
1815:
1792:
1137:
1021:
998:
686:
663:
631:
607:
587:
514:
494:
303:
280:
231:
208:
184:
164:
128:
105:
85:
56:
29:
mean value first-order second-moment (MVFOSM) method
4459:In the following, the entries of the random vector
5394:
5337:
5242:
5206:
5179:
4581:
4471:
4448:
4160:
2204:
1975:
1798:
1775:
1117:
1004:
981:
669:
637:
613:
593:
573:
520:
500:
477:
286:
259:
214:
190:
170:
150:
111:
91:
71:
5430:{AIAA} Guidance Navigation and Control conference
5491:https://doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2019.105454
1128:Inserting the first-order Taylor series yields
8:
5510:https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.07.004
4176:The following abbreviations are introduced.
653:The objective function is approximated by a
5318:
4562:
5437:
5378:
5323:
5312:
5304:
5294:
5283:
5264:
5258:
5228:
5222:
5199:
5167:
5162:
5143:
5138:
5126:
5121:
5115:
5104:
5094:
5077:
5067:
5056:
5037:
5032:
5020:
5015:
5003:
4998:
4986:
4976:
4959:
4949:
4938:
4924:
4902:
4897:
4885:
4880:
4871:
4861:
4850:
4831:
4826:
4814:
4804:
4793:
4783:
4764:
4759:
4753:
4742:
4732:
4721:
4707:
4692:
4687:
4681:
4673:
4663:
4652:
4635:
4630:
4624:
4615:
4610:
4602:
4600:
4567:
4550:
4540:
4529:
4515:
4506:
4493:
4487:
4464:
4431:
4421:
4408:
4374:
4356:
4348:
4342:
4315:
4308:
4289:
4271:
4244:
4228:
4194:
4186:
4184:
4140:
4127:
4103:
4076:
4067:
4040:
4034:
4023:
4013:
4002:
3982:
3977:
3957:
3944:
3928:
3915:
3900:
3887:
3874:
3858:
3845:
3832:
3824:
3817:
3807:
3780:
3771:
3744:
3738:
3727:
3717:
3706:
3691:
3686:
3681:
3669:
3653:
3636:
3631:
3617:
3602:
3584:
3571:
3555:
3542:
3526:
3499:
3490:
3463:
3457:
3446:
3436:
3425:
3410:
3402:
3393:
3379:
3366:
3351:
3338:
3325:
3312:
3304:
3297:
3287:
3260:
3254:
3243:
3233:
3217:
3204:
3189:
3179:
3171:
3164:
3157:
3152:
3132:
3127:
3113:
3098:
3088:
3074:
3061:
3045:
3018:
3012:
3001:
2985:
2977:
2968:
2953:
2938:
2925:
2912:
2896:
2869:
2863:
2852:
2842:
2837:
2828:
2820:
2806:
2791:
2781:
2762:
2754:
2734:
2729:
2715:
2700:
2685:
2671:
2658:
2642:
2615:
2609:
2598:
2576:
2563:
2547:
2520:
2514:
2503:
2493:
2477:
2453:
2445:
2425:
2420:
2406:
2391:
2381:
2367:
2354:
2338:
2311:
2305:
2294:
2263:
2255:
2238:
2233:
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2223:
2196:
2191:
2177:
2162:
2152:
2133:
2125:
2112:
2107:
2089:
2054:
2044:
2005:
2000:
1994:
1963:
1948:
1938:
1928:
1900:
1892:
1874:
1864:
1825:
1820:
1814:
1791:
1738:
1725:
1710:
1697:
1684:
1671:
1663:
1656:
1646:
1619:
1613:
1602:
1589:
1576:
1561:
1551:
1543:
1536:
1506:
1491:
1478:
1465:
1449:
1422:
1416:
1405:
1395:
1387:
1373:
1358:
1336:
1328:
1307:
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1274:
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1218:
1212:
1201:
1171:
1163:
1146:
1138:
1136:
1108:
1093:
1071:
1063:
1026:
1020:
997:
964:
951:
935:
922:
906:
898:
892:
865:
858:
852:
841:
831:
820:
806:
794:
781:
765:
738:
732:
721:
685:
662:
630:
606:
586:
562:
535:
533:
513:
493:
464:
451:
427:
400:
391:
364:
358:
347:
337:
326:
313:
308:
302:
279:
236:
230:
207:
183:
163:
133:
127:
104:
84:
55:
5411:
260:{\displaystyle \mu _{g}\approx g(\mu )}
25:first-order second-moment (FOSM) method
99:is a realization of the random vector
5503:
5501:
5499:
7:
5484:
5482:
5451:
5449:
2215:Inserting the Taylor series yields
4349:
4335:
4312:
4264:
4247:
4096:
4079:
4060:
4043:
3833:
3828:
3800:
3783:
3764:
3747:
3519:
3502:
3483:
3466:
3411:
3406:
3313:
3308:
3280:
3263:
3180:
3175:
3038:
3021:
2986:
2981:
2889:
2872:
2829:
2824:
2763:
2758:
2635:
2618:
2540:
2523:
2454:
2449:
2331:
2314:
2264:
2259:
2134:
2129:
1901:
1896:
1672:
1667:
1639:
1622:
1552:
1547:
1442:
1425:
1396:
1391:
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1332:
1238:
1221:
1172:
1167:
1072:
1067:
899:
885:
862:
758:
741:
555:
538:
420:
403:
384:
367:
14:
5214:can be determined from the third
50:Consider the objective function
3392:
2967:
4428:
4401:
4330:
4324:
4259:
4253:
4216:
4210:
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