3557:
2486:
2513:
1442:
3552:{\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))\\P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))\\P(x)\uparrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))\\P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))\\P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\\end{aligned}}}
2481:{\displaystyle {\begin{aligned}P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))\\P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))\\P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \\P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))\\P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))\\P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))&\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),&{\text{provided that }}\mathbf {Y} \neq \emptyset \end{aligned}}}
7542:
5785:
5469:
5774:
1407:
5082:
4772:
944:
4481:
823:
1259:
4973:
4597:
4308:
3734:
3970:
3643:
4194:
3579:
concludes that, if the propositional function is known to be universally true, then it must be true for any arbitrary element of the universe of discourse. Symbolically, this is represented as
2518:
1447:
710:
509:
can take. In particular, note that if the domain of discourse is restricted to consist only of those objects that satisfy a certain predicate, then for universal quantification this requires a
3803:
1253:
It is erroneous to confuse "all persons are not married" (i.e. "there exists no person who is married") with "not all persons are married" (i.e. "there exists a person who is not married"):
5223:
5140:
1129:
1248:
4929:
3890:
4659:
4370:
1194:
1061:
5921:
4061:
189:
98:
4252:
4225:
4623:
4334:
6596:
5503:
5452:
4878:
4097:
626:
590:
4667:
967:
881:
3660:
concludes the propositional function must be universally true if it is true for any arbitrary element of the universe of discourse. Symbolically, for an arbitrary
5362:
4965:
4378:
127:
5333:
5163:
4835:
4815:
4795:
4544:
4524:
4504:
4137:
4117:
4034:
147:
6679:
5820:
1402:{\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}
753:
5077:{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}
411:, and nothing more, this was not rigorously given. In the universal quantification, on the other hand, the natural numbers are mentioned explicitly.
6993:
3571:
is a rule justifying a logical step from hypothesis to conclusion. There are several rules of inference which utilize the universal quantifier.
7151:
5436:
5939:
7006:
6329:
5496:
4549:
4260:
6591:
7011:
7001:
6738:
5944:
6489:
5935:
7147:
5412:
5385:
3670:
3901:
7244:
6988:
5813:
3585:
6549:
6242:
5983:
5489:
4146:
7505:
7207:
6970:
6965:
6790:
6211:
5895:
4936:
245:
229:
7500:
7283:
7200:
6913:
6844:
6721:
5963:
6571:
669:
7571:
7425:
7251:
6937:
6170:
5422:
6576:
3762:
7576:
6908:
6647:
5905:
5806:
7303:
7298:
7232:
6822:
6216:
6184:
5875:
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5244:
5171:
5088:
629:
314:
5949:
1086:
7522:
7471:
7368:
6866:
6827:
6304:
7363:
5978:
1208:
320:("there exists"), which only asserts that the property or relation holds for at least one member of the domain.
7293:
6684:
6667:
6390:
5870:
4883:
3839:
3656:
3833:
obtained by adding a universal quantifier for every free variable in φ. For example, the universal closure of
7195:
7172:
7133:
7019:
6960:
6606:
6526:
6370:
6314:
5927:
4628:
4339:
3575:
2500:
1433:
871:
The negation of a universally quantified function is obtained by changing the universal quantifier into an
7566:
7485:
7212:
7190:
7157:
7050:
6896:
6881:
6854:
6805:
6689:
6624:
6449:
6415:
6410:
6284:
6115:
6092:
5274:
4006:
1157:
1024:
988:
872:
600:
font, Unicode U+2200) is used to indicate universal quantification. It was first used in this way by
407:
This statement can be said to be more precise than the original one. While the "etc." informally includes
324:
213:
205:
46:
499:
is true, because none of the counterexamples are composite numbers. This indicates the importance of the
7415:
7268:
7060:
6778:
6514:
6420:
6279:
6264:
6145:
6120:
5513:
5254:
461:
is substituted with, for instance, 1, the statement "2·1 > 2 + 1" is false. It is immaterial that "2·
249:
237:
7541:
5784:
7388:
7350:
7227:
7031:
6871:
6795:
6773:
6601:
6559:
6458:
6425:
6289:
6077:
5988:
5686:
5674:
4039:
2504:
1429:
1154:, then there must be at least one element for which the statement is false. That is, the negation of
852:
Several variations in the notation for quantification (which apply to all forms) can be found in the
533:
376:
because of the repeated use of "and". However, the "etc." cannot be interpreted as a conjunction in
7517:
7408:
7393:
7373:
7330:
7217:
7167:
7093:
7038:
6975:
6768:
6763:
6711:
6479:
6468:
6140:
6040:
5968:
5959:
5955:
5890:
5885:
5640:
5616:
5542:
1425:
1421:
510:
501:
373:
241:
159:
68:
4230:
4203:
7546:
7315:
7278:
7263:
7256:
7239:
7025:
6891:
6817:
6800:
6753:
6566:
6475:
6309:
6294:
6254:
6206:
6191:
6179:
6135:
6110:
5880:
5829:
5789:
5682:
5588:
5584:
5446:
5273:
Further information on using domains of discourse with quantified statements can be found in the
1418:
854:
280:
269:
197:
56:
7043:
6499:
4767:{\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\},}
4602:
4313:
939:{\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{is equivalent to}}\quad \exists x\;\lnot P(x)}
7481:
7288:
7098:
7088:
6980:
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6025:
5860:
5778:
5559:
5432:
5408:
5381:
5373:
5249:
5232:
4851:
4841:
4200:
back to subsets of its domain. The left adjoint of this functor is the existential quantifier
4070:
3568:
998:
660:
611:
575:
569:
265:
257:
4476:{\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\},}
7495:
7490:
7383:
7340:
7162:
7123:
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7103:
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7320:
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6743:
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6631:
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6157:
6100:
6050:
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5973:
5338:
4941:
3982:
601:
283:
253:
103:
3747:
is not arbitrary, and is instead a specific element of the universe of discourse, then P(
7461:
7440:
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5528:
5318:
5148:
4820:
4800:
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4509:
4489:
4122:
4102:
4019:
2492:
605:
478:
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233:
132:
5468:
7560:
7435:
7113:
6620:
6405:
6395:
6365:
6350:
6020:
5576:
5571:
4140:
4002:
3990:
3830:
3814:
818:{\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}}
454:
261:
7335:
7182:
7083:
7075:
6955:
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415:
377:
31:
7445:
7325:
6504:
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5910:
5855:
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6375:
6230:
6201:
6007:
5709:
5404:
597:
7527:
7430:
6483:
6400:
6360:
6324:
6260:
6072:
6062:
6035:
5538:
5473:
3998:
3751:) only implies an existential quantification of the propositional function.
7512:
7310:
6758:
6463:
6057:
5733:
5662:
5648:
5481:
4064:
970:
276:
5231:
The universal and existential quantifiers given above generalize to the
7108:
5900:
5567:
3994:
560:
Here the "if ... then" construction indicates the logical conditional.
341:
17:
1417:
The universal (and existential) quantifier moves unchanged across the
5798:
5691:
5298:
4592:{\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}
4303:{\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}
4931:
is the two-element set holding the values true and false, a subset
286:, which, when used together with a predicate variable, is called a
6652:
5998:
5843:
5658:
3743:
must be completely arbitrary; else, the logic does not follow: if
349:
3652:
is a completely arbitrary element of the universe of discourse.
5802:
5485:
3729:{\displaystyle P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x).}
3965:{\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}
5023:
5002:
4983:
4889:
4581:
4568:
4292:
4279:
4178:
4165:
4045:
3638:{\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to P(c)}
404:
This is a single statement using universal quantification.
4196:
between powersets, that takes subsets of the codomain of
1436:, as long as the other operand is not affected; that is:
1196:
is logically equivalent to "There exists a living person
1004:
of all living human beings, the universal quantification
593:
4189:{\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X}
1066:
This statement is false. Truthfully, it is stated that
481:
is enough to prove the universal quantification false.
323:
Quantification in general is covered in the article on
418:, because any natural number could be substituted for
5341:
5321:
5174:
5151:
5091:
4976:
4944:
4886:
4854:
4840:
The more familiar form of the quantifiers as used in
4823:
4803:
4783:
4670:
4631:
4605:
4552:
4532:
4512:
4492:
4381:
4342:
4316:
4263:
4233:
4206:
4149:
4125:
4105:
4073:
4042:
4022:
3904:
3842:
3765:
3673:
3588:
2516:
1445:
1262:
1211:
1160:
1089:
1027:
955:
884:
756:
672:
614:
578:
162:
135:
106:
71:
3989:, the universal quantifier can be understood as the
313:" alone). Universal quantification is distinct from
7454:
7349:
7181:
7074:
6926:
6619:
6542:
6436:
6340:
6229:
6156:
6091:
6006:
5997:
5919:
5836:
705:{\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)}
153:
62:
52:
42:
5356:
5327:
5299:"Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic"
5217:
5157:
5134:
5076:
4959:
4923:
4872:
4829:
4809:
4789:
4766:
4653:
4617:
4591:
4538:
4518:
4498:
4475:
4364:
4328:
4302:
4246:
4227:and the right adjoint is the universal quantifier
4219:
4188:
4131:
4111:
4091:
4055:
4028:
4005:functor of a function between sets; likewise, the
3964:
3884:
3797:
3728:
3637:
3551:
2480:
1401:
1242:
1188:
1123:
1055:
961:
938:
817:
704:
620:
584:
183:
141:
121:
92:
3798:{\displaystyle \forall {x}{\in }\emptyset \,P(x)}
1070:It is not the case that, given any living person
767:
763:
683:
679:
875:and negating the quantified formula. That is,
5814:
5497:
5303:Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
5218:{\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x),}
5135:{\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x),}
810:
776:
8:
5451:: CS1 maint: multiple names: authors list (
5067:
5064:
4918:
4906:
4758:
4687:
4467:
4398:
1124:{\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)}
380:. Instead, the statement must be rephrased:
37:
264:of a universal quantifier is true of every
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6235:
6003:
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808:
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774:
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768:
755:
685:
684:
671:
632:and the later use of Peano's notation by
613:
577:
327:. The universal quantifier is encoded as
161:
134:
105:
70:
2491:Conversely, for the logical connectives
5289:
5266:
4546:. Similarly, the universal quantifier
30:For "for every" in computer logic, see
5444:
4654:{\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}
4365:{\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}
3829:of a formula φ is the formula with no
5428:Proof in Mathematics: An Introduction
7:
1189:{\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}
1056:{\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}
5335:does not occur free in the formula
4844:is obtained by taking the function
4599:is a functor that, for each subset
4310:is a functor that, for each subset
5401:Fundamentals of Mathematical Logic
5191:
5176:
5108:
5093:
4706:
4672:
4633:
4554:
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914:
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885:
757:
673:
615:
579:
572:, the universal quantifier symbol
364:2·0 = 0 + 0, and 2·1 = 1 + 1, and
256:to every member of the domain. It
163:
72:
25:
477:: even the existence of a single
7540:
5783:
5772:
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805:
799:
793:
790:
784:
699:
693:
434:" would be true. In contrast,
178:
172:
116:
110:
87:
81:
1:
7501:History of mathematical logic
5472:The dictionary definition of
5378:Sheaves in Geometry and Logic
4935:is that subset for which the
352:and related formula editors.
275:It is usually denoted by the
184:{\displaystyle \forall xP(x)}
93:{\displaystyle \forall xP(x)}
27:Mathematical use of "for all"
7426:Primitive recursive function
4247:{\displaystyle \forall _{f}}
4220:{\displaystyle \exists _{f}}
260:that a predicate within the
244:. In other words, it is the
3759:By convention, the formula
997:is married", then, for the
484:On the other hand, for all
414:This particular example is
7593:
6490:Schröder–Bernstein theorem
6217:Monadic predicate calculus
5876:Foundations of mathematics
5245:Existential quantification
4848:to be the unique function
4618:{\displaystyle S\subset X}
4329:{\displaystyle S\subset X}
630:existential quantification
517:For all composite numbers
129:is true for all values of
29:
7536:
7523:Philosophy of mathematics
7472:Automated theorem proving
6643:
6597:Von Neumann–Bernays–Gödel
6238:
5769:
5520:
5364:in the equivalences below
5315:that is, if the variable
5257:—for the Unicode symbol ∀
1202:who is not married", or:
832:"for all natural numbers
719:"for all natural numbers
715:is the (false) statement
663:of natural numbers, then
604:in 1935, by analogy with
360:Suppose it is given that
5376:, Ieke Moerdijk, (1992)
4873:{\displaystyle !:X\to 1}
4092:{\displaystyle f:X\to Y}
3657:Universal generalization
2507:, the quantifiers flip:
1076:, that person is married
1014:, that person is married
1008:Given any living person
828:is the (true) statement
628:(turned E) notation for
621:{\displaystyle \exists }
585:{\displaystyle \forall }
540:For all natural numbers
438:For all natural numbers
384:For all natural numbers
372:This would seem to be a
202:universal quantification
38:Universal quantification
7173:Self-verifying theories
6994:Tarski's axiomatization
5945:Tarski's undefinability
5940:incompleteness theorems
3576:Universal instantiation
228:". It expresses that a
7547:Mathematics portal
7158:Proof of impossibility
6806:propositional variable
6116:Propositional calculus
5790:Mathematics portal
5425:and Daoud, A. (2011).
5358:
5329:
5275:Quantification (logic)
5219:
5159:
5136:
5078:
4961:
4925:
4874:
4831:
4811:
4791:
4768:
4655:
4619:
4593:
4540:
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4500:
4477:
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4190:
4133:
4113:
4093:
4057:
4030:
4007:existential quantifier
3966:
3886:
3799:
3730:
3639:
3553:
2482:
1403:
1244:
1190:
1125:
1078:
1057:
1016:
989:propositional function
963:
962:{\displaystyle \lnot }
940:
873:existential quantifier
819:
706:
647:) is the predicate "2·
622:
586:
558:
530:
451:
402:
370:
325:quantification (logic)
185:
143:
123:
94:
7416:Kolmogorov complexity
7369:Computably enumerable
7269:Model complete theory
7061:Principia Mathematica
6121:Propositional formula
5950:Banach–Tarski paradox
5779:Philosophy portal
5359:
5330:
5255:List of logic symbols
5220:
5160:
5137:
5079:
4962:
4926:
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4832:
4812:
4797:whose preimage under
4792:
4769:
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4594:
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4501:
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4331:
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4134:
4114:
4094:
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4031:
3967:
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