213:
226:
36:
3013:
2602:
2320:
2040:
1635:
2732:
1306:
2347:
2065:
1762:
1387:
1154:
820:
2696:
3008:{\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},}
431:
1717:
1174:
2597:{\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}
2315:{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}
606:
2035:{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}
1630:{\displaystyle M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}}
965:
1046:
671:
109:
2613:
1035:
988:
891:
1319:. The above applies to Cartesian coordinates. In general relativity, the metric tensor is given by much more general expressions for curvilinear coordinates.
313:
164:
3608:
1301:{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,}
447:
440:
139:
1646:
489:
212:
3213:
3188:
3154:
3134:
3098:
3120:
258:
436:
with the indices taking integer values from 0 to 3, with 0 for the timelike components and 1, 2, 3 for spacelike components. There are
3792:
3471:
104:
3251:
3164:
464:. In general relativity, more general coordinate transformations are necessary since such a restriction is not in general possible.
189:
3673:
903:
460:
In special relativity, the vector basis can be restricted to being orthonormal, in which case all four-tensors transform under
1149:{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}
3900:
3524:
3456:
1378:
3549:
1742:
1316:
3910:
3905:
3787:
3052:
2046:
3109:
letters in this definition, even though it is conventional to use Greek indices for vectors and tensors in spacetime.
3598:
3418:
638:
has dimensions of length). The remaining components of the four-displacement form the spatial displacement vector
3270:
3772:
1723:
3854:
3726:
3433:
3031:
2053:
114:
611:
a four-tensor with contravariant rank 1 and covariant rank 0. Four-tensors of this kind are usually known as
3824:
3511:
3428:
3398:
815:{\displaystyle p^{\mu }=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {1}{c}}E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)}
461:
251:
3782:
3638:
3593:
3019:
2720:
2713:
483:
In special relativity, one of the simplest non-trivial examples of a four-tensor is the four-displacement
79:
3864:
3819:
3299:
3244:
3035:
1347:
304:
174:
74:
2691:{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}
3839:
3767:
3653:
3519:
3481:
3413:
3126:
2330:
1004:
3716:
3539:
3529:
3378:
3363:
3319:
3089:
1726:
of a continuum or field generally takes the form of a second-order tensor, and usually denoted by
3849:
3706:
3559:
3373:
3309:
280:
276:
244:
230:
194:
51:
46:
3077:
Lambourne, Robert J A. Relativity, Gravitation and
Cosmology. Cambridge University Press. 2010.
3844:
3752:
3613:
3588:
3403:
3314:
3294:
3209:
3184:
3160:
3130:
3094:
3030:
In general relativity, there are curvature tensors which tend to be higher order, such as the
1340:
998:
662:
169:
3895:
3859:
3757:
3534:
3501:
3486:
3368:
3237:
1735:
1323:
1165:
184:
973:
869:
3829:
3777:
3721:
3701:
3603:
3491:
3358:
3329:
84:
3224:
appears in the tensor in this book because different conventions for the EM field tensor.
3869:
3834:
3814:
3731:
3564:
3554:
3544:
3466:
3438:
3423:
3408:
3324:
1746:
1731:
1038:
864:
628:
217:
3889:
3806:
3711:
3623:
3496:
2326:
658:
426:{\displaystyle A_{\;\nu _{1},\nu _{2},...,\nu _{m}}^{\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}}}
1738:(momentum per unit volume), and the purely spacelike parts to the 3d stress tensor.
3874:
3678:
3663:
3628:
3476:
3461:
1312:
612:
179:
453:
In special and general relativity, many four-tensors of interest are first order (
35:
3762:
3736:
3658:
3347:
3286:
3047:
991:
478:
454:
159:
3643:
1712:{\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}
457:) or second order, but higher-order tensors occur. Examples are listed next.
3618:
3569:
1354:
894:
292:
69:
27:
3648:
3633:
842:
601:{\displaystyle x^{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)}
3342:
3304:
272:
134:
3668:
3260:
288:
3206:
Electrodynamics and the
Classical theory of particles and fields
3181:
Electrodynamics and the
Classical theory of particles and fields
3233:
1168:
tensor with an orthonormal basis for the (−+++) convention is
2673:
2620:
2354:
2072:
1734:(energy per unit volume), the mixed spacetime components to
16:
Abbreviation in the fields of special and general relativity
3229:
623:
gives the displacement of a body in time (coordinate time
960:{\displaystyle p^{\mu }=m_{0}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}
2757:
2376:
2094:
1787:
1412:
1199:
2735:
2616:
2350:
2068:
2045:
The electromagnetic displacement tensor combines the
1765:
1649:
1390:
1177:
1049:
1007:
976:
906:
872:
674:
492:
316:
3805:
3745:
3694:
3687:
3579:
3510:
3447:
3391:
3338:
3285:
3278:
3007:
2690:
2596:
2314:
2034:
1711:
1629:
1300:
1148:
1029:
982:
959:
885:
814:
600:
425:
3073:
3071:
3069:
3067:
2726:of a particle are unified into a single tensor
2701:which is equivalent to the definitions of the
3245:
3148:
3146:
252:
8:
3093:. vintage books. pp. 437–438, 566–569.
303:General four-tensors are usually written in
3105:Note: Some authors, including Penrose, use
3691:
3282:
3252:
3238:
3230:
322:
259:
245:
18:
2981:
2975:
2958:
2952:
2940:
2921:
2915:
2896:
2890:
2875:
2856:
2850:
2833:
2827:
2810:
2793:
2781:
2769:
2752:
2740:
2734:
2687:
2678:
2672:
2671:
2658:
2646:
2637:
2625:
2619:
2618:
2615:
2572:
2560:
2542:
2525:
2505:
2490:
2473:
2461:
2438:
2418:
2403:
2388:
2371:
2359:
2353:
2352:
2349:
2290:
2278:
2260:
2246:
2226:
2211:
2197:
2185:
2162:
2145:
2127:
2109:
2089:
2077:
2071:
2070:
2067:
2013:
2001:
1984:
1978:
1964:
1944:
1930:
1924:
1910:
1898:
1876:
1870:
1854:
1848:
1831:
1825:
1808:
1802:
1782:
1770:
1764:
1703:
1693:
1680:
1670:
1654:
1648:
1608:
1593:
1578:
1564:
1547:
1529:
1515:
1500:
1480:
1463:
1445:
1427:
1407:
1395:
1389:
1297:
1194:
1182:
1176:
1126:
1114:
1098:
1084:
1074:
1068:
1056:
1048:
1021:
1006:
975:
940:
930:
924:
911:
905:
877:
871:
801:
788:
775:
755:
736:
723:
710:
697:
679:
673:
554:
541:
528:
515:
497:
491:
415:
390:
377:
372:
365:
340:
327:
321:
315:
3609:Covariance and contravariance of vectors
1730:. The timelike component corresponds to
1357:) combines with another vector quantity
3063:
2607:The three field tensors are related by
26:
3038:which are both fourth order tensors.
140:Newton's law of universal gravitation
7:
3122:Special Relativity and How it Works
3472:Tensors in curvilinear coordinates
105:Introduction to general relativity
14:
1377:(without a standard name) in the
1353:(as measured by an observer in a
825:combining its energy (divided by
190:Mathematics of general relativity
110:Mathematics of general relativity
3156:classical electromagnetic theory
3022:is another second-order tensor.
225:
224:
211:
34:
3159:, Springer, pp. 313–328,
1030:{\displaystyle m=\gamma m_{o}}
897:, four momentum is defined by
595:
568:
1:
3525:Exterior covariant derivative
3457:Tensor (intrinsic definition)
1379:relativistic angular momentum
3550:Raising and lowering indices
3204:Barut, A.O. (January 1980).
3179:Barut, A.O. (January 1980).
1743:electromagnetic field tensor
1317:raising and lowering indices
3788:Gluon field strength tensor
3053:Tetrad (general relativity)
2047:electric displacement field
135:Introduction to gravitation
3927:
3599:Cartan formalism (physics)
3419:Penrose graphical notation
3153:Vanderlinde, Jack (2004),
476:
3271:Glossary of tensor theory
3267:
1311:used for calculating the
287:is an abbreviation for a
165:Derivations of relativity
3855:Gregorio Ricci-Curbastro
3727:Riemann curvature tensor
3434:Van der Waerden notation
3032:Riemann curvature tensor
2054:magnetic field intensity
115:Einstein field equations
3825:Elwin Bruno Christoffel
3758:Angular momentum tensor
3429:Tetrad (index notation)
3399:Abstract index notation
462:Lorentz transformations
80:Lorentz transformations
3639:Levi-Civita connection
3020:Ricci curvature tensor
3009:
2721:magnetic dipole moment
2714:electric dipole moment
2692:
2598:
2316:
2036:
1713:
1631:
1302:
1150:
1031:
984:
961:
887:
816:
602:
427:
291:in a four-dimensional
3865:Jan Arnoldus Schouten
3820:Augustin-Louis Cauchy
3300:Differential geometry
3208:. Dover. p. 73.
3183:. Dover. p. 96.
3127:John Wiley & Sons
3036:Weyl curvature tensor
3010:
2693:
2599:
2317:
2037:
1714:
1632:
1348:relativistic momentum
1303:
1151:
1032:
985:
983:{\displaystyle \tau }
962:
888:
886:{\displaystyle m_{0}}
817:
627:is multiplied by the
615:. Here the component
603:
428:
305:tensor index notation
175:Differential geometry
75:Equivalence principle
3901:Theory of relativity
3840:Carl Friedrich Gauss
3773:stress–energy tensor
3768:Cauchy stress tensor
3520:Covariant derivative
3482:Antisymmetric tensor
3414:Multi-index notation
3129:. pp. 137–139.
3119:M. Fayngold (2008).
3026:Higher-order tensors
2733:
2614:
2348:
2333:tensor combines the
2066:
1763:
1724:stress–energy tensor
1647:
1388:
1175:
1160:Second-order tensors
1047:
1005:
974:
904:
870:
863:For a particle with
672:
490:
314:
153:Relevant mathematics
3717:Nonmetricity tensor
3572:(2nd-order tensors)
3540:Hodge star operator
3530:Exterior derivative
3379:Transport phenomena
3364:Continuum mechanics
3320:Multilinear algebra
3090:The Road to Reality
3087:R. Penrose (2005).
1753:and magnetic field
1339:of a particle with
473:First-order tensors
422:
275:, specifically for
22:Part of a series on
3911:General relativity
3906:Special relativity
3850:Tullio Levi-Civita
3793:Metric tensor (GR)
3707:Levi-Civita symbol
3560:Tensor contraction
3374:General relativity
3310:Euclidean geometry
3005:
2996:
2688:
2594:
2585:
2312:
2303:
2032:
2026:
1709:
1627:
1621:
1298:
1291:
1146:
1027:
980:
957:
883:
812:
663:massless particles
598:
423:
317:
281:general relativity
277:special relativity
218:Physics portal
195:Spacetime topology
170:Spacetime diagrams
98:General relativity
70:Spacetime manifold
63:Spacetime concepts
52:General relativity
47:Special relativity
3883:
3882:
3845:Hermann Grassmann
3801:
3800:
3753:Moment of inertia
3614:Differential form
3589:Affine connection
3404:Einstein notation
3387:
3386:
3315:Exterior calculus
3295:Coordinate system
3215:978-0-486-64038-9
3190:978-0-486-64038-9
3136:978-3-527-40607-4
3100:978-0-09-944068-0
2652:
1341:relativistic mass
1144:
1121:
1120:
1093:
1092:
1090:
999:relativistic mass
994:of the particle.
955:
763:
269:
268:
128:Classical gravity
3918:
3860:Bernhard Riemann
3692:
3535:Exterior product
3502:Two-point tensor
3487:Symmetric tensor
3369:Electromagnetism
3283:
3254:
3247:
3240:
3231:
3225:
3219:
3201:
3195:
3194:
3176:
3170:
3169:
3150:
3141:
3140:
3116:
3110:
3104:
3084:
3078:
3075:
3014:
3012:
3011:
3006:
3001:
3000:
2985:
2980:
2979:
2962:
2957:
2956:
2945:
2944:
2925:
2920:
2919:
2900:
2895:
2894:
2880:
2879:
2860:
2855:
2854:
2837:
2832:
2831:
2815:
2814:
2798:
2797:
2786:
2785:
2774:
2773:
2748:
2747:
2697:
2695:
2694:
2689:
2686:
2685:
2677:
2676:
2666:
2665:
2653:
2651:
2650:
2638:
2633:
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