1684:
2000:
1042:
1343:
1775:
785:
1679:{\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}
1226:
1995:{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}
251:
1037:{\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}
2183:
2075:
543:
1139:
496:
459:
205:
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105:
1170:
2479:
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593:
2453:
634:
2448:
351:
2416:
111:
215:
30:
This article is about free algebras in ring theory. For the more general free algebras in universal algebra, see
2116:
2008:
721:
586:
510:
389:
339:
2443:
1091:
398:
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357:
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2220:
1275:
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73:
41:
188:
2334:
747:
681:
since its elements may be described as "polynomials" with non-commuting variables. Likewise, the
574:
132:
60:
2469:
2420:
2342:
2099:⟩ are often denoted as "non-commutative polynomials" in the "variables" (or "indeterminates")
615:
412:
177:
118:
1257:
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621:
607:
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2216:
682:
678:
383:
333:
171:
501:
2081:
and all but finitely many of these elements are zero. This explains why the elements of
2378:
2319:
2300:
2265:
1148:
710:
427:
2463:
2357:
776:
568:
464:
79:
2398:
2338:
2311:. For a more general coefficient ring, the same construction works if we take the
2308:
375:
271:
775:
by defining a multiplication as follows: the product of two basis elements is the
2383:
2312:
1699:
1691:
1283:
1240:
1144:
739:
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670:
662:
580:
291:
165:
47:
31:
1051:-module elements is thus uniquely determined (because the multiplication in an
2415:. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 137. Cambridge:
345:
305:
210:
764:} (including the empty word, which is the unit of the free algebra). This
299:
285:
17:
2330:
183:
67:
1081:⟩. This construction can easily be generalized to an arbitrary set
1221:{\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}
1690:
The non-commutative polynomial ring may be identified with the
1235:-bilinear multiplication that is concatenation on words, where
2185:
are said to be "coefficients" of these polynomials, and the
2207:⟩ is called the "non-commutative polynomial algebra over
1337:, a concrete example of a product of two elements is
2119:
2011:
1778:
1346:
1260:
1173:
1094:
788:
513:
475:
438:
218:
191:
2252:More generally, one can construct the free algebra
27:
Free object in the category of associative algebras
2177:
2069:
1994:
1678:
1266:
1220:
1133:
1036:
537:
490:
453:
245:
199:
2413:Noncommutative rational series with applications
2215:indeterminates". Note that unlike in an actual
2411:Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011).
642:
8:
1183:
1177:
1128:
1101:
246:{\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }
1118:
649:
635:
36:
2299:indeterminates can be constructed as the
2178:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}
2167:
2142:
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2118:
2070:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}
2059:
2034:
2021:
2016:
2010:
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225:
217:
193:
192:
190:
2325:The construction of the free algebra on
2333:in nature and satisfies an appropriate
1769:⟩ can be written uniquely in the form:
39:
1134:{\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}
7:
677:is the noncommutative analogue of a
106:Free product of associative algebras
2280:can be defined as the free algebra
1804:
1780:
1751:⟩, it is clear that any element of
1719:Since the words over the alphabet {
1795:
527:
25:
2268:. Since rings may be regarded as
1047:and the product of two arbitrary
594:Noncommutative algebraic geometry
491:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
454:{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
1088:In short, for an arbitrary set
746:with a basis consisting of all
2337:. The free algebra functor is
1467:
1410:
1404:
1347:
532:
519:
1:
779:of the corresponding words:
665:, especially in the area of
200:{\displaystyle \mathbb {Z} }
2449:Encyclopedia of Mathematics
1702:of all finite words in the
1247:(i.e. words on the letters
352:Unique factorization domain
2496:
2444:"Free associative algebra"
2417:Cambridge University Press
112:Tensor product of algebras
29:
2480:Free algebraic structures
1715:Contrast with polynomials
687:free commutative algebra
390:Formal power series ring
340:Integrally closed domain
2219:, the variables do not
1290:on 1 element, the word
1267:{\displaystyle \oplus }
399:Algebraic number theory
92:Total ring of fractions
2295:, the free algebra on
2179:
2071:
1996:
1799:
1680:
1268:
1222:
1135:
1038:
556:Noncommutative algebra
539:
492:
455:
407:Algebraic number field
358:Principal ideal domain
247:
201:
139:Frobenius endomorphism
2442:L.A. Bokut' (2001) ,
2345:from the category of
2180:
2072:
1997:
1779:
1681:
1274:denotes the external
1269:
1223:
1136:
1039:
685:may be regarded as a
540:
493:
456:
248:
202:
2117:
2009:
1776:
1344:
1258:
1171:
1092:
1063:-algebra is denoted
786:
562:Noncommutative rings
511:
473:
436:
280:Non-associative ring
216:
189:
146:Algebraic structures
2389:Noncommutative ring
2356:Free algebras over
1665:
1562:
1547:
1503:
1456:
1377:
1085:of indeterminates.
768:-module becomes an
750:over the alphabet {
321:Commutative algebra
160:Associative algebra
42:Algebraic structure
2335:universal property
2175:
2067:
1992:
1885:
1733:} form a basis of
1676:
1651:
1548:
1533:
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1442:
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1131:
1034:
575:Semiprimitive ring
535:
488:
451:
259:Related structures
243:
197:
133:Inner automorphism
119:Ring homomorphisms
2426:978-0-521-19022-0
2349:-algebras to the
2343:forgetful functor
1803:
1189:
1059:-bilinear). This
1055:-algebra must be
659:
658:
616:Geometric algebra
327:Commutative rings
178:Category of rings
16:(Redirected from
2487:
2456:
2438:
2374:Cofree coalgebra
2362:free ideal rings
2351:category of sets
2184:
2182:
2181:
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2173:
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2073:
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2038:
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2025:
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1998:
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1988:
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1967:
1966:
1965:
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1297:For example, in
1273:
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413:Integers modulo
364:Euclidean domain
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250:
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242:
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100:Product of rings
86:Fractional ideal
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2236:does not equal
2235:
2229:
2223:. For example,
2217:polynomial ring
2205:
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2138:
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2120:
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2113:; the elements
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1329:⟩, for scalars
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679:polynomial ring
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2376:
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2358:division rings
2301:tensor algebra
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2166:
2162:
2159:
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