2278:
36:
2274:. The most fundamental is the absolute Frobenius morphism. However, the absolute Frobenius morphism behaves poorly in the relative situation because it pays no attention to the base scheme. There are several different ways of adapting the Frobenius morphism to the relative situation, each of which is useful in certain situations.
4026:
7500:
3822:
5948:
5060:
3393:
7929:
3867:
8565:; moreover, the coefficients are algebraic and the result can be expressed algebraically. However, they are of degree 120, the order of the Galois group, illustrating the fact that explicit computations are much more easily accomplished if
2162:
7644:
4486:
2246:
4168:
7350:
6183:
3677:
5806:
8538:
3219:
7672:
is the spectrum of a finite field, then its automorphism group is the Galois group of the field over the prime field, and the
Frobenius morphism and its inverse are both generators of the automorphism group. In addition,
7826:
5199:
8701:
6922:
6746:
7091:
6103:
4328:
5795:
3660:
7201:
4929:
5454:
6818:
4240:
839:
4950:
656:
1631:
8282:
8151:
7284:
2725:
373:
6440:
752:
5529:
8759:
3275:
6550:
5657:
4784:
3503:
3127:
1772:
4663:
503:
2532:
4585:
2851:
2808:
2768:
2647:
2607:
1539:
1499:
1459:
1409:
1329:
1289:
2262:, it is a generator of every finite quotient of the absolute Galois group. Consequently, it is a topological generator in the usual Krull topology on the absolute Galois group.
7559:
6318:
7837:
4021:{\displaystyle c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}
1077:
if either it is of characteristic zero or it is of positive characteristic and its
Frobenius endomorphism is an automorphism. For example, all finite fields are perfect.
4354:. Furthermore, being a base change means that extension of scalars preserves properties such as being of finite type, finite presentation, separated, affine, and so on.
1851:
1369:
7322:
6588:
6357:
6267:
6230:
248:
2095:
7934:
by the definition of the arithmetic
Frobenius. Consequently, arithmetic Frobenius explicitly exhibits the action of the Galois group on points as an endomorphism of
1878:
7752:
is the application of the
Frobenius morphism to the residue field. This Galois action agrees with the action of arithmetic Frobenius: The composite morphism
1656:
of an extension of finite fields is generated by an iterate of the
Frobenius automorphism. First, consider the case where the ground field is the prime field
7495:{\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.}
7567:
3817:{\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},}
2176:
5943:{\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.}
4043:
6114:
8444:
3146:
7758:
53:
8613:
6829:
6596:
6933:
5965:
4373:
8216:
is the Galois group of the extension of residue fields. The
Frobenius element then can be defined for elements of the ring of integers of
4251:
5663:
5352:
3597:
2350:
100:
8905:
119:
7114:
1210:
is an integral domain, then by the same reasoning, the fixed points of
Frobenius are the elements of the prime field. However, if
72:
4795:
2251:
which are not cyclic. However, because the
Frobenius automorphism is a generator of the Galois group of every finite extension of
8978:
5375:
5104:
6757:
5055:{\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.}
4179:
789:
79:
542:
57:
8808:
give the result of the
Frobenius map for the primes 2, 3 and 5, and so on for larger primes not equal to 11 or of the form
8956:
8938:
1554:
8226:
8095:
7212:
2655:
271:
86:
6365:
2462:
with itself. The absolute
Frobenius morphism is a natural transformation from the identity functor on the category of
8951:
8933:
696:
4344:
Because extension of scalars is base change, it preserves limits and coproducts. This implies in particular that if
5465:
3388:{\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.}
8897:
4591:
1097:
137:
68:
46:
8718:
145:
6451:
5558:
4685:
3446:
3028:
1743:
8578:
is an abelian extension of global fields, we get a much stronger congruence since it depends only on the prime
4605:
163:
450:
8946:
8928:
8852:
8162:
2495:
8983:
8973:
4530:
4348:
has an algebraic structure defined in terms of finite limits (such as being a group scheme), then so does
2820:
2777:
2737:
2616:
2576:
1508:
1468:
1428:
1378:
1298:
1258:
949:
853:
845:
8769:
2087:
7924:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}
7512:
6276:
1637:
5065:
Relative Frobenius is compatible with base change in the sense that, under the natural isomorphism of
201:
of positive characteristic always has prime characteristic, for example). The Frobenius endomorphism
8885:
4668:
Because the absolute Frobenius morphism is natural, the relative Frobenius morphism is a morphism of
2271:
442:
93:
8872:
8209:
2277:
133:
2157:{\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),}
1816:
1334:
156:
8405:
7292:
6558:
6327:
6235:
6200:
211:
8901:
2168:
957:
666:
8911:
8889:
8184:
7980:
7950:
402:
1856:
8915:
8354:
and so is unramified at the prime 3; it is also irreducible mod 3. Hence adjoining a root
1159:
198:
8816:(which split). It is immediately apparent how the Frobenius map gives a result equal mod
3398:
Because restriction of scalars by Frobenius is simply composition, many properties of
2860:. Its differential is zero. It preserves products, meaning that for any two schemes
2649:
would commute with applying the Frobenius endomorphism. But this is not true because:
17:
8967:
8837:
8312:
7967:
7639:{\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.}
2241:{\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,}
1641:
1073:
170:
4163:{\displaystyle \operatorname {Spec} A/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}
8847:
8341:
8180:
6178:{\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.}
4357:
Extension of scalars is well-behaved with respect to base change: Given a morphism
1775:
1653:
1029:-th power (the difference between the degrees of its numerator and denominator) is
178:
160:
149:
8533:{\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})}
8188:
7959:
3214:{\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },}
438:
153:
35:
27:
In a ring with prime characteristic p, the map raising elements to the pth power
8842:
7947:
7689:. The arithmetic and geometric Frobenius morphisms are then endomorphisms of
7658:
is an isomorphism. Then it generates a subgroup of the automorphism group of
917:
7821:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)}
905:
is any nilpotent, then one of its powers will be nilpotent of order at most
872:
868:
434:
2856:
The absolute Frobenius morphism is a purely inseparable morphism of degree
2492:-schemes. In general, however, it is not. For example, consider the ring
7966:
that induces the Frobenius endomorphism in the corresponding extension of
8696:{\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}
3411:
under appropriate hypotheses on the Frobenius morphism. For example, if
2437:. Consequently, the Frobenius morphism glues to give an endomorphism of
2292:
be a morphism of schemes, and denote the absolute Frobenius morphisms of
6917:{\displaystyle f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },}
6741:{\displaystyle R^{(1/p)}=A/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.}
2270:
There are several different ways to define the Frobenius morphism for a
8550:
and is the correct global Frobenius image in terms of the embedding of
8063:. We may define the Frobenius map for elements of the ring of integers
7086:{\displaystyle R^{(1/p)}\cong A/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).}
6098:{\displaystyle R^{(p)}=A/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),}
2488:
is the identity, then the absolute Frobenius morphism is a morphism of
849:
4481:{\displaystyle X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.}
3538:. Like restriction of scalars, extension of scalars is a functor: An
7860:
7796:
4323:{\displaystyle f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.}
2276:
5790:{\displaystyle R^{(p)}=A/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},}
2425:, then by the naturality of Frobenius, the Frobenius morphism on
3655:{\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.}
2970:. The restriction of scalars is actually a functor, because an
2810:
induced by Frobenius. Consequently, the Frobenius morphism on
1177:(such as the algebraic closure or another finite field), then
29:
7196:{\displaystyle F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X}
1150:
roots of this equation, and because this equation has degree
8848:
Finite field § Frobenius automorphism and Galois theory
7895:
7844:
7765:
4924:{\displaystyle R^{(p)}=A/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).}
1544:
Iterating the Frobenius map gives a sequence of elements in
8896:. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27.
5449:{\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X}
5194:{\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.}
1880:
many roots, since we are in a field. Every automorphism of
1295:
th iterate of the Frobenius automorphism: Every element of
6813:{\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}
4235:{\displaystyle f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },}
1505:
th iterate of Frobenius are the elements of the image of
913:
is a field then the Frobenius endomorphism is injective.
901:. In fact, this is necessary and sufficient, because if
385:
is 1 as well. Moreover, it also respects the addition of
8398:
under the Frobenius map by locating the root nearest to
7719:. This set comes with a Galois action: Each such point
834:{\displaystyle \varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .}
8027:
is unramified means by definition that the integers of
7693:, and so they lead to an action of the Galois group of
2609:-algebras. If it were, then multiplying by an element
1052:. In particular, it can't be 1, which is the degree of
651:{\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).}
520:. Therefore, the coefficients of all the terms except
8732:
979:. If it did, then there would be a rational function
8721:
8712:. This extension is cyclic of order five, with roots
8616:
8447:
8229:
8098:
7840:
7761:
7570:
7515:
7353:
7295:
7215:
7117:
6936:
6832:
6760:
6599:
6561:
6454:
6368:
6330:
6279:
6238:
6203:
6117:
5968:
5809:
5666:
5561:
5468:
5378:
5204:
Relative Frobenius is a universal homeomorphism. If
5107:
4953:
4798:
4688:
4608:
4533:
4376:
4254:
4182:
4046:
3870:
3680:
3600:
3449:
3278:
3149:
3031:
2823:
2780:
2740:
2658:
2619:
2579:
2498:
2417:-algebra, so it admits a Frobenius endomorphism. If
2349:. Then the above diagram commutes and the square is
2179:
2098:
2086:
The Frobenius automorphism is not a generator of the
1859:
1819:
1746:
1557:
1511:
1471:
1431:
1381:
1337:
1301:
1261:
792:
699:
545:
453:
274:
214:
8417:
in this way; this is a polynomial of degree four in
7650:
Arithmetic and geometric Frobenius as Galois actions
4934:
The relative Frobenius morphism is the homomorphism
1626:{\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .}
1188:
is the fixed field of the Frobenius automorphism of
8277:{\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,}
8146:{\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .}
7279:{\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.}
5800:then the arithmetic Frobenius is the homomorphism:
5224:is a closed immersion determined by an ideal sheaf
5214:is an open immersion, then it is the identity. If
2720:{\displaystyle b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.}
368:{\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
8753:
8695:
8532:
8311:Lifts of the Frobenius are in correspondence with
8276:
8145:
7923:
7820:
7638:
7553:
7494:
7316:
7278:
7195:
7085:
6916:
6812:
6740:
6582:
6544:
6434:
6351:
6312:
6261:
6224:
6177:
6097:
5942:
5789:
5651:
5523:
5448:
5193:
5054:
4923:
4778:
4657:
4579:
4480:
4322:
4234:
4162:
4020:
3816:
3654:
3497:
3387:
3213:
3121:
2845:
2802:
2762:
2719:
2641:
2601:
2526:
2240:
2156:
1872:
1845:
1766:
1636:This sequence of iterates is used in defining the
1625:
1533:
1493:
1453:
1403:
1363:
1323:
1283:
1255:A similar property is enjoyed on the finite field
833:
746:
650:
497:
367:
242:
7979:is an unramified extension of local fields, with
6435:{\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.}
2901:Restriction and extension of scalars by Frobenius
1125:. Equivalently, it is a root of the polynomial
844:This means that the Frobenius endomorphism is a
747:{\displaystyle \varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.}
193:be a commutative ring with prime characteristic
8408:. We obtain an element of the ring of integers
6193:Assume that the absolute Frobenius morphism of
5249:and relative Frobenius is the augmentation map
2559:being the identity. The Frobenius morphism on
2167:because this Galois group is isomorphic to the
5524:{\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.}
1785:, we know that the Galois group is cyclic and
7993:such that the residue field, the integers of
7344:above, geometric Frobenius is defined to be:
2774:begins with, and the latter is the action of
871:elements, then the Frobenius endomorphism is
686:is a homomorphism of rings of characteristic
173:. The endomorphism maps every element to its
8:
7548:
7516:
6320:. Then there is an extension of scalars of
8754:{\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}
2458:. By definition, it is a homeomorphism of
8586:. For an example, consider the extension
6545:{\displaystyle R=A/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}
5652:{\displaystyle R=A/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}
4779:{\displaystyle R=A/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}
4333:A similar description holds for arbitrary
3498:{\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.}
3122:{\displaystyle R=A/(f_{1},\ldots ,f_{m}).}
1767:{\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{\times }}
1718:, so it is an element of the Galois group
1081:Fixed points of the Frobenius endomorphism
916:The Frobenius morphism is not necessarily
8731:
8720:
8666:
8650:
8634:
8621:
8615:
8521:
8505:
8489:
8452:
8446:
8267:
8266:
8256:
8234:
8228:
8136:
8135:
8125:
8103:
8097:
7900:
7894:
7893:
7883:
7874:
7870:
7862:
7855:
7849:
7843:
7842:
7839:
7791:
7770:
7764:
7763:
7760:
7627:
7613:
7609:
7604:
7588:
7578:
7569:
7535:
7528:
7523:
7514:
7483:
7469:
7465:
7460:
7447:
7437:
7427:
7414:
7396:
7383:
7373:
7358:
7352:
7305:
7300:
7294:
7264:
7259:
7246:
7233:
7224:
7220:
7214:
7178:
7155:
7148:
7135:
7126:
7122:
7116:
7064:
7057:
7052:
7026:
7019:
7014:
7002:
6993:
6974:
6948:
6941:
6935:
6905:
6891:
6887:
6879:
6869:
6849:
6842:
6837:
6831:
6801:
6788:
6778:
6765:
6759:
6724:
6719:
6709:
6696:
6677:
6665:
6656:
6637:
6611:
6604:
6598:
6571:
6566:
6560:
6530:
6511:
6499:
6490:
6471:
6453:
6418:
6413:
6403:
6380:
6373:
6367:
6340:
6335:
6329:
6289:
6284:
6278:
6248:
6243:
6237:
6213:
6208:
6202:
6166:
6156:
6151:
6135:
6125:
6116:
6075:
6070:
6045:
6040:
6026:
6017:
5998:
5973:
5967:
5931:
5921:
5916:
5903:
5893:
5883:
5870:
5852:
5839:
5829:
5814:
5808:
5778:
5768:
5755:
5736:
5724:
5715:
5696:
5671:
5665:
5637:
5618:
5606:
5597:
5578:
5560:
5512:
5499:
5486:
5477:
5473:
5467:
5431:
5409:
5396:
5387:
5383:
5377:
5173:
5159:
5151:
5133:
5116:
5112:
5106:
5040:
5027:
5017:
5007:
4991:
4978:
4968:
4958:
4952:
4903:
4898:
4873:
4868:
4856:
4847:
4828:
4803:
4797:
4764:
4745:
4733:
4724:
4705:
4687:
4658:{\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).}
4637:
4617:
4613:
4607:
4590:defined by the universal property of the
4565:
4542:
4538:
4532:
4457:
4450:
4432:
4405:
4388:
4381:
4375:
4311:
4301:
4293:
4283:
4264:
4259:
4253:
4223:
4210:
4200:
4187:
4181:
4140:
4135:
4110:
4105:
4091:
4082:
4063:
4045:
4006:
3988:
3975:
3965:
3950:
3937:
3919:
3906:
3896:
3881:
3869:
3805:
3795:
3787:
3774:
3764:
3754:
3741:
3723:
3710:
3700:
3685:
3679:
3643:
3633:
3605:
3599:
3486:
3476:
3454:
3448:
3376:
3366:
3356:
3340:
3330:
3302:
3292:
3277:
3202:
3192:
3173:
3163:
3148:
3107:
3088:
3076:
3067:
3048:
3030:
2835:
2830:
2825:
2822:
2792:
2787:
2782:
2779:
2752:
2747:
2742:
2739:
2705:
2657:
2631:
2626:
2621:
2618:
2591:
2586:
2581:
2578:
2516:
2511:
2506:
2497:
2230:
2222:
2217:
2208:
2198:
2183:
2181:
2180:
2178:
2140:
2135:
2129:
2118:
2113:
2110:
2097:
1864:
1858:
1829:
1824:
1818:
1758:
1753:
1748:
1745:
1606:
1601:
1586:
1581:
1568:
1556:
1523:
1518:
1513:
1510:
1483:
1478:
1473:
1470:
1443:
1438:
1433:
1430:
1393:
1388:
1383:
1380:
1347:
1342:
1336:
1313:
1308:
1303:
1300:
1273:
1268:
1263:
1260:
816:
803:
791:
735:
710:
698:
609:
596:
583:
544:
454:
452:
329:
319:
306:
273:
234:
213:
120:Learn how and when to remove this message
8208:. Since the extension is unramified the
177:-th power. In certain contexts it is an
8864:
7831:is the same as the composite morphism:
7654:Suppose that the Frobenius morphism of
1501:-algebra, then the fixed points of the
498:{\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}},}
3018:and a finitely presented algebra over
2527:{\displaystyle A=\mathbf {F} _{p^{2}}}
2484:-scheme and the Frobenius morphism of
261:. It respects the multiplication of
7:
4580:{\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}}
3526:is not clear from the context, then
3224:where α is a multi-index. Let
2846:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}
2803:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}
2763:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}
2642:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}
2602:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}
1895:, and the generators are the powers
1534:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}
1494:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}
1454:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}
1404:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}
1324:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}
1284:{\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n}}}
1228:roots; for example, this happens if
58:adding citations to reliable sources
2968:restriction of scalars by Frobenius
2441:. This endomorphism is called the
775:are the Frobenius endomorphisms of
181:, but this is not true in general.
169:, an important class that includes
8291:is the order of the residue field
8268:
8235:
8137:
8104:
8039:, will be a finite field of order
7997:modulo their unique maximal ideal
6927:and then there is an isomorphism:
5534:That is, it is the base change of
5353:Arithmetic and geometric Frobenius
4367:, there is a natural isomorphism:
1951:, then the Frobenius automorphism
25:
7748:, and the action of Frobenius on
7554:{\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}}
6313:{\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S}
5296:is unramified and if and only if
5243:is determined by the ideal sheaf
3573:and a finitely presented algebra
3438:extension of scalars by Frobenius
3424:are both finite type, then so is
2919:is the structure morphism for an
1415:is the Frobenius automorphism of
893:, which by definition means that
783:, then this can be rewritten as:
441:, of the explicit formula of the
4508:-scheme with structure morphism
2826:
2783:
2743:
2622:
2582:
2507:
2388:. Choose an open affine subset
2231:
2218:
2184:
2136:
2114:
1749:
1514:
1474:
1434:
1384:
1304:
1264:
948:elements together with a single
34:
8262:
8131:
8045:extending the residue field of
2433:, is the Frobenius morphism on
2373:The absolute Frobenius morphism
1648:As a generator of Galois groups
1056:. This is a contradiction; so
433:; it therefore will divide the
45:needs additional citations for
8527:
8464:
8371:gives an unramified extension
8246:
8240:
8115:
8109:
7918:
7912:
7906:
7815:
7809:
7788:
7782:
7776:
7723:corresponds to a homomorphism
7594:
7543:
7529:
7420:
7168:
7163:
7149:
7077:
7072:
7058:
7034:
7020:
7007:
6999:
6967:
6956:
6942:
6857:
6843:
6702:
6670:
6662:
6630:
6619:
6605:
6536:
6504:
6496:
6464:
6388:
6374:
6304:
6141:
6082:
6076:
6052:
6046:
6023:
5991:
5980:
5974:
5876:
5761:
5729:
5721:
5689:
5678:
5672:
5643:
5611:
5603:
5571:
5421:
5416:
5410:
5000:
4915:
4910:
4904:
4880:
4874:
4861:
4853:
4821:
4810:
4804:
4770:
4738:
4730:
4698:
4649:
4630:
4572:
4566:
4558:
4470:
4451:
4447:
4422:
4396:
4382:
4271:
4265:
4147:
4141:
4117:
4111:
4088:
4056:
3612:
3606:
3461:
3455:
3323:
3317:
3113:
3081:
3073:
3041:
2689:
2683:
2381:is a scheme of characteristic
1966:does not fix the ground field
1912:Now consider the finite field
924:is a field. For example, let
897:is nilpotent of order at most
732:
725:
716:
703:
642:
636:
627:
621:
580:
567:
561:
549:
536:, and hence they vanish. Thus
483:
471:
359:
353:
347:
341:
303:
293:
287:
278:
224:
218:
1:
8603:obtained by adjoining a root
8001:, is a finite field of order
5359:arithmetic Frobenius morphism
3250:, but its structure morphism
3007:For example, consider a ring
1789:is a generator. The order of
1692:. The Frobenius automorphism
1375:is an algebraic extension of
1166:is an algebraic extension of
8569:-adic results will suffice.
7736:from the structure sheaf to
7098:geometric Frobenius morphism
5330:is étale and if and only if
3853:. The action of an element
2730:The former is the action of
2421:is an open affine subset of
2124:
1199:be a ring of characteristic
8952:Encyclopedia of Mathematics
8934:Encyclopedia of Mathematics
8394:. We may find the image of
8169:are defined for extensions
8157:Frobenius for global fields
8009:is a power of a prime. If
6197:is invertible with inverse
6108:then this homomorphism is:
4675:Consider, for example, the
4516:relative Frobenius morphism
3831:is a multi-index and every
3569:As before, consider a ring
2573:. It is not a morphism of
2443:absolute Frobenius morphism
1846:{\displaystyle x^{p^{j}}=x}
1364:{\displaystyle X^{p^{n}}-X}
9000:
8898:Cambridge University Press
7942:Frobenius for local fields
7561:, geometric Frobenius is:
7336:Continuing our example of
7317:{\displaystyle F_{S}^{-1}}
6583:{\displaystyle F_{S}^{-1}}
6555:then extending scalars by
6352:{\displaystyle F_{S}^{-1}}
6262:{\displaystyle S_{F^{-1}}}
6225:{\displaystyle F_{S}^{-1}}
5350:
3261:, and hence the action of
1419:, then the fixed field of
1085:Consider the finite field
1025:. But the degree of this
401:can be expanded using the
243:{\displaystyle F(r)=r^{p}}
8421:with coefficients in the
8220:as in the local case, by
7289:It is the base change of
4599:(see the diagram above):
2931:has a Frobenius morphism
2332:to be the base change of
1048:, which is a multiple of
146:Ferdinand Georg Frobenius
8947:"Frobenius endomorphism"
8929:"Frobenius automorphism"
8768:. It has roots that are
7962:, there is a concept of
3508:The projection onto the
2770:-algebra structure that
2019:. It is the subgroup of
69:"Frobenius endomorphism"
8979:Algebraic number theory
8894:Algebraic number theory
8853:Universal homeomorphism
8544:This is algebraic over
8198:that are unramified in
8163:algebraic number theory
8035:, the residue field of
7744:, the residue field at
7685:may be identified with
2549:with the structure map
2326:, respectively. Define
1987:does. The Galois group
1678:be the finite field of
1465:is a domain that is an
1098:Fermat's little theorem
1060:is not in the image of
944:be the finite field of
8824:-th power of the root
8755:
8697:
8534:
8358:of it to the field of
8278:
8147:
7964:Frobenius endomorphism
7925:
7822:
7640:
7555:
7496:
7318:
7280:
7197:
7087:
6918:
6814:
6742:
6584:
6546:
6436:
6353:
6314:
6263:
6226:
6179:
6099:
5944:
5791:
5653:
5525:
5450:
5195:
5056:
4925:
4780:
4659:
4581:
4482:
4324:
4236:
4164:
4022:
3818:
3656:
3499:
3389:
3215:
3123:
2847:
2804:
2764:
2721:
2643:
2603:
2528:
2369:
2368:is relative Frobenius.
2242:
2158:
1874:
1847:
1768:
1707:fixes the prime field
1627:
1535:
1495:
1455:
1405:
1365:
1325:
1285:
1214:is not a domain, then
950:transcendental element
846:natural transformation
835:
748:
652:
499:
369:
244:
142:Frobenius endomorphism
18:Frobenius automorphism
8871:This is known as the
8770:Chebyshev polynomials
8756:
8698:
8535:
8404:, which we may do by
8279:
8148:
7926:
7823:
7641:
7556:
7497:
7319:
7281:
7198:
7088:
6919:
6815:
6743:
6585:
6547:
6437:
6354:
6315:
6264:
6227:
6180:
6100:
5945:
5792:
5654:
5526:
5451:
5196:
5057:
4926:
4781:
4660:
4582:
4483:
4325:
4237:
4165:
4023:
3819:
3657:
3500:
3390:
3243:is the affine scheme
3216:
3124:
2848:
2817:is not a morphism of
2805:
2765:
2722:
2644:
2604:
2529:
2429:, when restricted to
2280:
2266:Frobenius for schemes
2243:
2159:
2088:absolute Galois group
1875:
1873:{\displaystyle p^{j}}
1848:
1769:
1628:
1536:
1496:
1456:
1406:
1366:
1326:
1286:
1162:. In particular, if
971:. Then the image of
960:with coefficients in
836:
749:
653:
500:
443:binomial coefficients
409:is prime, it divides
370:
245:
8719:
8614:
8445:
8227:
8096:
7838:
7759:
7740:, which factors via
7704:Consider the set of
7568:
7513:
7351:
7293:
7213:
7115:
6934:
6830:
6758:
6597:
6559:
6452:
6366:
6328:
6277:
6236:
6201:
6115:
5966:
5807:
5664:
5559:
5466:
5376:
5347:Arithmetic Frobenius
5105:
4951:
4796:
4686:
4606:
4531:
4374:
4252:
4180:
4044:
3868:
3861:on this section is:
3678:
3665:A global section of
3598:
3447:
3276:
3147:
3029:
2821:
2778:
2738:
2656:
2617:
2577:
2496:
2473:-schemes to itself.
2177:
2096:
2047:. The generators of
2013:and is generated by
1857:
1817:
1744:
1555:
1509:
1469:
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