371:
531:
1720:
1604:
715:
216:
379:
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1127:
1282:
1466:
819:
188:
947:
1951:
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2003:
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2571:
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767:
621:
601:
208:
77:
366:{\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\liminf _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y),}
526:{\displaystyle \Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\limsup _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y)}
1715:{\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\liminf _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}
1599:{\displaystyle {\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\limsup _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),}
2695:
1055:
1213:
2685:
2626:. It can also be used to rigorously justify the passage from discrete to continuum theories for materials, for example, in
1423:
776:
145:
2690:
2623:
911:
1905:
44:
710:{\displaystyle \Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}=\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}=F}
2644:
2008:
1778:
1397:
1362:
32:
2350:
1753:
1728:
770:
726:
28:
86:
2627:
1977:
1368:
1022:
1806:
1955:
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956:
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2605:
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2556:
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2216:
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1885:
1865:
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1189:
824:
752:
606:
586:
193:
62:
2679:
17:
729:, the above definition can be characterized in terms of sequential
210:. The Γ-lower limit and the Γ-upper limit are defined as follows:
1334:. The second condition means that this lower bound is optimal.
1122:{\displaystyle F(x)\leq \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n}).}
1277:{\displaystyle F(x)\geq \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})}
449:
286:
92:
2281:-convergence is stable under continuous perturbations: If
1775:
the
Kuratowski limes superior in the product topology of
2608:
2579:
2559:
2535:
2515:
2482:
2453:
2433:
2400:
2353:
2333:
2313:
2287:
2267:
2241:
2219:
2192:
2165:
2138:
2118:
2098:
2072:
2039:
2011:
1980:
1958:
1908:
1888:
1868:
1848:
1809:
1781:
1756:
1731:
1613:
1497:
1474:
1461:{\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
1426:
1406:
1371:
1347:
1313:
1293:
1216:
1192:
1165:
1139:
1058:
1025:
992:
959:
914:
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874:
847:
827:
814:{\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
779:
755:
735:
629:
609:
589:
569:
542:
382:
219:
196:
183:{\displaystyle F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
148:
122:
89:
65:
2573:, the largest lower semicontinuous functional below
2614:
2585:
2565:
2541:
2521:
2501:
2465:
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2025:
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1835:
1795:
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1714:
1598:
1480:
1460:
1412:
1388:
1353:
1326:
1307:provides an asymptotic common lower bound for the
1299:
1276:
1198:
1178:
1151:
1121:
1040:
1011:
978:
941:
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880:
860:
833:
813:
761:
741:
709:
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595:
575:
555:
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365:
202:
182:
134:
116:denote the set of all neighbourhoods of the point
108:
71:
942:{\displaystyle F:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
1762:
1737:
1673:
1631:
1557:
1515:
1233:
1075:
676:
639:
482:
466:
430:
392:
319:
303:
267:
229:
8:
2186:, then every cluster point of the sequence
1361:-convergence is connected to the notion of
953:Lower bound inequality: For every sequence
1750:denotes the Kuratowski limes inferior and
2607:
2578:
2558:
2534:
2514:
2487:
2481:
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2312:
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2266:
2240:
2218:
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2170:
2164:
2143:
2137:
2117:
2097:
2077:
2071:
2038:
2019:
2018:
2010:
1981:
1979:
1959:
1957:
1946:{\displaystyle ({\text{epi}}(F_{n}))_{n}}
1937:
1924:
1912:
1907:
1887:
1867:
1847:
1827:
1817:
1808:
1789:
1788:
1780:
1757:
1755:
1732:
1730:
1700:
1688:
1676:
1667:
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1614:
1612:
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1496:
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1446:
1431:
1425:
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1346:
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1312:
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1215:
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1170:
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171:
170:
168:
153:
147:
121:
91:
90:
88:
64:
749:-convergence in the following way. Let
2066:Minimizers converge to minimizers: If
949:if the following two conditions hold:
7:
2026:{\displaystyle X\times \mathbb {R} }
1796:{\displaystyle X\times \mathbb {R} }
721:Definition in first-countable spaces
2476:A constant sequence of functionals
2387:{\displaystyle G:X\to [0,+\infty )}
1768:{\displaystyle {\text{K-}}\limsup }
1743:{\displaystyle {\text{K-}}\liminf }
2609:
2516:
2434:
2378:
2314:
2268:
2242:
2099:
2040:
1849:
1683:
1641:
1622:
1567:
1525:
1506:
1348:
1338:Relation to Kuratowski convergence
1243:
1133:Upper bound inequality: For every
1085:
1035:
895:
875:
736:
686:
667:
649:
630:
570:
476:
402:
383:
313:
239:
220:
25:
2053:-convergence is sometimes called
109:{\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}
43:) is a notion of convergence for
2670:An introduction to Γ-convergence
2665:. Oxford University Press, 2002.
1468:be a sequence of functionals on
190:be a sequence of functionals on
1998:{\displaystyle {\text{epi}}(F)}
1389:{\displaystyle {\text{epi}}(F)}
1287:The first condition means that
2381:
2366:
2363:
1992:
1986:
1934:
1930:
1917:
1909:
1824:
1810:
1706:
1693:
1680:
1656:
1638:
1619:
1590:
1577:
1564:
1540:
1522:
1503:
1443:
1383:
1377:
1271:
1258:
1240:
1226:
1220:
1113:
1100:
1082:
1068:
1062:
1029:
1003:
924:
796:
683:
646:
603:, if there exist a functional
520:
514:
473:
460:
454:
423:
417:
399:
357:
351:
310:
297:
291:
260:
254:
236:
165:
103:
97:
1:
1041:{\displaystyle n\to +\infty }
821:a sequence of functionals on
1453:
934:
806:
175:
2663:Γ-convergence for beginners
1836:{\displaystyle (F_{n})_{n}}
2712:
1967:{\displaystyle {\text{K}}}
1012:{\displaystyle x_{n}\to x}
979:{\displaystyle x_{n}\in X}
2696:Convergence (mathematics)
2672:. Birkhäuser, Basel 1993.
2033:. This is the reason why
2615:{\displaystyle \Gamma }
2522:{\displaystyle \Gamma }
2502:{\displaystyle F_{n}=F}
2440:{\displaystyle \Gamma }
2420:{\displaystyle F_{n}+G}
2320:{\displaystyle \Gamma }
2274:{\displaystyle \Gamma }
2248:{\displaystyle \Gamma }
2105:{\displaystyle \Gamma }
2046:{\displaystyle \Gamma }
1855:{\displaystyle \Gamma }
1354:{\displaystyle \Gamma }
901:{\displaystyle \Gamma }
881:{\displaystyle \Gamma }
742:{\displaystyle \Gamma }
576:{\displaystyle \Gamma }
47:. It was introduced by
2686:Calculus of variations
2645:Kuratowski convergence
2616:
2587:
2567:
2543:
2523:
2503:
2467:
2441:
2421:
2388:
2341:
2321:
2302:
2275:
2249:
2227:
2207:
2180:
2153:
2126:
2106:
2087:
2047:
2027:
1999:
1968:
1947:
1896:
1876:
1856:
1837:
1797:
1769:
1744:
1716:
1600:
1482:
1462:
1414:
1390:
1363:Kuratowski-convergence
1355:
1328:
1301:
1278:
1200:
1180:
1159:, there is a sequence
1153:
1152:{\displaystyle x\in X}
1123:
1042:
1013:
980:
943:
902:
882:
862:
835:
815:
763:
743:
727:first-countable spaces
711:
617:
597:
577:
557:
527:
367:
204:
184:
136:
135:{\displaystyle x\in X}
110:
73:
33:calculus of variations
2624:homogenization theory
2617:
2602:An important use for
2588:
2568:
2544:
2524:
2509:does not necessarily
2504:
2468:
2442:
2422:
2389:
2342:
2322:
2303:
2301:{\displaystyle F_{n}}
2276:
2250:
2228:
2208:
2206:{\displaystyle x_{n}}
2181:
2179:{\displaystyle F_{n}}
2154:
2152:{\displaystyle x_{n}}
2127:
2107:
2088:
2086:{\displaystyle F_{n}}
2048:
2028:
2000:
1969:
1948:
1897:
1877:
1857:
1838:
1798:
1770:
1745:
1717:
1601:
1483:
1463:
1415:
1391:
1356:
1329:
1327:{\displaystyle F_{n}}
1302:
1279:
1201:
1181:
1179:{\displaystyle x_{n}}
1154:
1124:
1043:
1014:
981:
944:
903:
883:
863:
861:{\displaystyle F_{n}}
836:
816:
771:first-countable space
764:
744:
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578:
558:
556:{\displaystyle F_{n}}
528:
368:
205:
185:
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111:
74:
29:mathematical analysis
2691:Variational analysis
2606:
2577:
2557:
2533:
2513:
2480:
2451:
2431:
2398:
2394:is continuous, then
2351:
2331:
2311:
2285:
2265:
2257:lower semicontinuous
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194:
146:
120:
87:
63:
2622:-convergence is in
2466:{\displaystyle F+G}
2255:-limits are always
2159:is a minimizer for
2612:
2583:
2563:
2539:
2519:
2499:
2463:
2437:
2417:
2384:
2337:
2317:
2298:
2271:
2245:
2223:
2213:is a minimizer of
2203:
2176:
2149:
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2102:
2083:
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