1681:
909:
438:
1455:
715:
244:
2052:
1202:
1098:
1676:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}g(x),&x\in C,\\\infty ,&x\not \in C,\end{cases}}\\f_{n}(x)&={\begin{cases}g_{n}(x),&x\in C_{n},\\\infty ,&x\not \in C_{n}.\end{cases}}\end{aligned}}}
904:{\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.\end{aligned}}}
433:{\displaystyle {\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x{\text{ and }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.\end{aligned}}}
501:
1445:
Epi-convergence provides an answer to the question: In what sense should the approximations converge to the original problem in order to guarantee that approximate solutions converge to a solution of the original?
1460:
580:
720:
249:
1898:
2620:
682:
2269:
1383:
118:
1781:
2325:
2295:
1295:
211:
1729:
1258:
2481:
608:
2857:
1321:
2696:
2658:
1993:
2152:
2923:
2890:
2805:
2749:
2514:
2210:
2096:
1817:
980:
933:
641:
174:
708:
237:
2449:
2379:
1945:
1440:
1413:
532:
2175:
2943:
2828:
2769:
2716:
2554:
2534:
2419:
2399:
2349:
2230:
2116:
1985:
1965:
1918:
1837:
1109:
1008:
1000:
141:
73:
945:
Epi-convergence is the appropriate topology with which to approximate minimization problems. For maximization problems one uses the symmetric notion of
454:
35:
Epi-convergence is important because it is the appropriate notion of convergence with which to approximate minimization problems in the field of
2987:
3067:
3072:
2999:
537:
2974:. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Springer Science & Business Media. pp. 238–297.
3062:
1842:
2562:
1449:
We can embed these optimization problems into the epi-convergence framework by defining extended real-valued functions
646:
2952:. Additional assumptions can be placed on an pointwise convergent family of functions to guarantee epi-convergence.
448:
The following extension allows epi-convergence to be applied to a sequence of functions with non-constant domain.
2235:
36:
29:
1329:
82:
1734:
2304:
2274:
2963:
2328:
2298:
1266:
182:
2949:
1689:
1218:
504:
17:
2458:
585:
2833:
3033:
25:
1585:
1487:
2807:
2047:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {argmin} f_{n}\subseteq \operatorname {argmin} f.}
1300:
2663:
2625:
2983:
2121:
915:
44:
2895:
2862:
2777:
2721:
2486:
2182:
2068:
1789:
952:
918:
613:
146:
3041:
3008:
2975:
687:
216:
2427:
2357:
1923:
1418:
1391:
510:
2452:
1197:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ for some }}x_{n}\to x.}
1093:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ for every }}x_{n}\to x}
3037:
2157:
2928:
2813:
2754:
2701:
2539:
2519:
2404:
2384:
2334:
2215:
2101:
1970:
1950:
1903:
1822:
985:
126:
121:
58:
3045:
3056:
2997:
Kall, Peter (1986). "Approximation to optimization problems: an elementary review".
76:
2057:
Epi-convergence is the weakest notion of convergence for which this result holds.
2979:
3021:
2967:
1323:. We can attempt to approximate this problem by a sequence of easier problems
496:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}
3012:
1783:
are equivalent to the original and approximate problems, respectively.
47:
is a generalization of epi-convergence to infinite dimensional spaces.
2948:
In general, epi-convergence neither implies nor is implied by
1665:
1546:
2931:
2898:
2865:
2836:
2816:
2780:
2757:
2724:
2704:
2666:
2628:
2565:
2542:
2522:
2489:
2461:
2430:
2407:
2387:
2360:
2337:
2307:
2277:
2238:
2218:
2185:
2160:
2124:
2104:
2071:
1996:
1973:
1953:
1926:
1906:
1845:
1825:
1792:
1737:
1692:
1458:
1421:
1394:
1332:
1303:
1269:
1221:
1112:
1011:
988:
955:
921:
718:
690:
649:
616:
588:
575:{\displaystyle f_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
540:
513:
457:
247:
219:
185:
149:
129:
85:
61:
2937:
2917:
2884:
2851:
2822:
2799:
2763:
2743:
2710:
2690:
2652:
2614:
2548:
2528:
2508:
2475:
2443:
2413:
2393:
2373:
2343:
2319:
2289:
2263:
2224:
2204:
2169:
2146:
2110:
2090:
2046:
1979:
1959:
1939:
1912:
1893:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\leq \inf f}
1892:
1831:
1811:
1775:
1723:
1675:
1434:
1407:
1377:
1315:
1289:
1252:
1196:
1092:
994:
974:
927:
903:
702:
676:
635:
602:
574:
526:
495:
432:
231:
205:
168:
135:
112:
67:
2615:{\displaystyle f_{n}^{1}\leq f_{n}\leq f_{n}^{2}}
1212:Assume we have a difficult minimization problem
677:{\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}
1998:
1884:
1865:
1847:
1739:
1694:
1334:
1223:
1114:
1013:
817:
727:
346:
256:
8:
914:In fact, epi-convergence coincides with the
490:
481:
2264:{\displaystyle (\operatorname {epi} f_{n})}
1378:{\displaystyle \inf _{x\in C_{n}}g_{n}(x)}
43:is appropriate for maximization problems.
2930:
2906:
2897:
2873:
2864:
2843:
2839:
2838:
2835:
2815:
2788:
2779:
2756:
2732:
2723:
2703:
2679:
2674:
2665:
2641:
2636:
2627:
2606:
2601:
2588:
2575:
2570:
2564:
2541:
2521:
2497:
2488:
2469:
2468:
2460:
2435:
2429:
2406:
2386:
2365:
2359:
2336:
2306:
2276:
2252:
2237:
2217:
2193:
2184:
2159:
2135:
2123:
2103:
2079:
2070:
2023:
2001:
1995:
1972:
1952:
1931:
1925:
1905:
1872:
1850:
1844:
1824:
1800:
1791:
1758:
1742:
1736:
1697:
1691:
1653:
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1580:
1558:
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1337:
1331:
1302:
1283:
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1268:
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1220:
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873:
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246:
218:
199:
198:
184:
157:
148:
128:
106:
105:
90:
84:
60:
113:{\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }
3026:Annales de l'Institut Henri Poincaré C
1776:{\displaystyle \inf _{x\in X}f_{n}(x)}
2925:epi-converges and hypo-converges to
2320:{\displaystyle \operatorname {epi} f}
2290:{\displaystyle \operatorname {epi} f}
1208:Relationship to minimization problems
40:
7:
1290:{\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }
206:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
3000:Mathematics of Operations Research
2008:
1920:is a limit point of minimizers of
1857:
1724:{\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)}
1635:
1523:
1253:{\displaystyle \inf _{x\in C}g(x)}
1124:
1023:
922:
827:
737:
487:
356:
266:
14:
3024:(1989). "Epigraphical analysis".
2476:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
603:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2852:{\displaystyle \mathbb {R} _{n}}
120:a real-valued function for each
2970:(2009). "Epigraphical Limits".
2912:
2899:
2879:
2866:
2794:
2781:
2738:
2725:
2685:
2667:
2647:
2629:
2503:
2490:
2258:
2239:
2199:
2186:
2141:
2125:
2085:
2072:
2005:
1878:
1862:
1854:
1806:
1793:
1770:
1764:
1718:
1712:
1604:
1598:
1570:
1564:
1499:
1493:
1472:
1466:
1372:
1366:
1279:
1247:
1241:
1185:
1167:
1161:
1152:
1139:
1121:
1084:
1066:
1060:
1051:
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1020:
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780:
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765:
752:
734:
659:
630:
617:
557:
444:Extended real-valued extension
417:
399:
393:
384:
371:
353:
327:
309:
303:
294:
281:
263:
195:
163:
150:
102:
1:
3046:10.1016/S0294-1449(17)30036-7
24:is a type of convergence for
1316:{\displaystyle C\subseteq X}
669:
567:
465:
3068:Topology of function spaces
2980:10.1007/978-3-642-02431-3_7
2691:{\displaystyle (f_{n}^{2})}
2653:{\displaystyle (f_{n}^{1})}
937:in first countable spaces.
143:. We say that the sequence
3089:
2301:of set convergence. Here,
39:. The symmetric notion of
3073:Convergence (mathematics)
2421:is lower semi-continuous.
2299:Painlevé–Kuratowski sense
37:mathematical optimization
2147:{\displaystyle (-f_{n})}
2964:Rockafellar, R. Tyrrell
2918:{\displaystyle (f_{n})}
2885:{\displaystyle (f_{n})}
2830:on each compact set of
2800:{\displaystyle (f_{n})}
2744:{\displaystyle (f_{n})}
2509:{\displaystyle (f_{n})}
2205:{\displaystyle (f_{n})}
2091:{\displaystyle (f_{n})}
1812:{\displaystyle (f_{n})}
975:{\displaystyle (f_{n})}
928:{\displaystyle \Gamma }
636:{\displaystyle (f_{n})}
169:{\displaystyle (f^{n})}
2939:
2919:
2886:
2853:
2824:
2801:
2765:
2745:
2712:
2692:
2654:
2616:
2550:
2530:
2510:
2477:
2445:
2415:
2395:
2375:
2345:
2321:
2291:
2265:
2226:
2206:
2171:
2148:
2112:
2092:
2048:
1981:
1961:
1941:
1914:
1894:
1833:
1813:
1777:
1725:
1677:
1436:
1409:
1379:
1317:
1291:
1254:
1198:
1094:
996:
976:
929:
905:
704:
703:{\displaystyle x\in X}
678:
637:
604:
576:
528:
497:
434:
233:
232:{\displaystyle x\in X}
207:
170:
137:
114:
69:
2950:pointwise convergence
2940:
2920:
2892:are continuous, then
2887:
2854:
2825:
2802:
2766:
2746:
2713:
2693:
2655:
2617:
2551:
2531:
2511:
2478:
2446:
2444:{\displaystyle f_{n}}
2416:
2396:
2376:
2374:{\displaystyle f_{n}}
2346:
2322:
2292:
2266:
2227:
2207:
2172:
2149:
2113:
2093:
2049:
1982:
1962:
1942:
1940:{\displaystyle f_{n}}
1915:
1895:
1834:
1814:
1778:
1726:
1686:So that the problems
1678:
1437:
1435:{\displaystyle C_{n}}
1410:
1408:{\displaystyle g_{n}}
1380:
1318:
1292:
1255:
1199:
1095:
1071: for every
997:
977:
930:
906:
785: for every
705:
679:
638:
605:
577:
529:
527:{\displaystyle f_{n}}
505:extended real numbers
498:
435:
314: for every
234:
208:
171:
138:
115:
70:
18:mathematical analysis
2972:Variational Analysis
2929:
2896:
2863:
2834:
2814:
2778:
2755:
2722:
2702:
2664:
2626:
2563:
2540:
2520:
2487:
2459:
2428:
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2358:
2335:
2305:
2275:
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2216:
2183:
2158:
2122:
2102:
2069:
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1971:
1951:
1924:
1904:
1843:
1823:
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1735:
1690:
1456:
1419:
1392:
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1172: for some
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