7663:
7142:
7658:{\displaystyle {\begin{aligned}(\gamma a_{1})(\gamma a_{2})\dots (\gamma a_{m})&\equiv {\zeta _{n}^{b(1)}a_{\pi (1)}}{\zeta _{n}^{b(2)}a_{\pi (2)}}\dots {\zeta _{n}^{b(m)}a_{\pi (m)}}&{\pmod {\mathfrak {p}}}\\&\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}a_{\pi (1)}a_{\pi (2)}\dots a_{\pi (m)}&{\pmod {\mathfrak {p}}}\\&\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}a_{1}a_{2}\dots a_{m}&{\pmod {\mathfrak {p}}},\end{aligned}}}
8755:
7125:
8715:
8735:
8725:
8745:
4108:
6882:
4613:
7863:
2470:
2265:
1172:
808:
3936:
7120:{\displaystyle {\begin{aligned}(\gamma a_{1})(\gamma a_{2})\dots (\gamma a_{m})&=\gamma ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}a_{1}a_{2}\dots a_{m}\\&\equiv \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}a_{1}a_{2}\dots a_{m}{\pmod {\mathfrak {p}}},\end{aligned}}}
8065:
4481:
2089:
979:
6697:
4413:
3619:
3866:
3453:
6251:
7674:
2291:
2122:
633:
1330:
3279:
6129:
4281:
5642:
5503:
5202:
5876:
1013:
2480:
Generalizations of Gauss's lemma can be used to compute higher power residue symbols. In his second monograph on biquadratic reciprocity, Gauss used a fourth-power lemma to derive the formula for the biquadratic character of
4855:
2805:
6578:
6493:
6821:
662:
5006:
518:
4103:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} {\mathfrak {p}}&=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|\\&=\left|({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }\right|+1\\&\equiv 1{\pmod {n}}.\end{aligned}}}
4669:
1395:
5352:
5261:
1602:
3922:
4608:{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}&=\zeta _{n}^{s}\\&\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\pmod {\mathfrak {p}}}.\end{aligned}}}
7942:
5815:
2607:
402:
1650:
249:
1780:
7147:
6887:
4486:
4319:
3941:
3011:
1018:
3751:
2737:
2864:
1907:
5768:
5095:
154:
4209:
8208:
4932:
4179:
4709:
2643:
1515:
287:
2928:
1939:
838:
6589:
1839:
3102:
4333:
1473:
4472:
2566:
4142:
3495:
8280:
are as in the statement of the lemma. Gauss's lemma may then be viewed as a computation that explicitly identifies this homomorphism as being the quadratic residue character.
5976:
5707:
5049:
3705:
1720:
8098:
7912:
6730:
5900:
4743:
3771:
3652:
3487:
3126:
3035:
2958:
2894:
2691:
2667:
3678:
8253:
7858:{\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}a_{1}a_{2}\dots a_{m}\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}a_{1}a_{2}\dots a_{m}{\pmod {\mathfrak {p}}},}
3297:
6146:
5385:
2465:{\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}={\begin{cases}+1{\text{ if }}p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1{\text{ if }}p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\end{cases}}}
426:
In this form, the integers larger than 11/2 appear as negative numbers. It is also apparent that the absolute values of the residues are a permutation of the residues
2260:{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right).}
533:
1670:
1238:
3145:
6037:
4217:
5529:
5390:
5100:
1167:{\displaystyle {\begin{aligned}|ra|&\equiv |sa|&{\pmod {p}}\\ra&\equiv \pm sa&{\pmod {p}}\\r&\equiv \pm s&{\pmod {p}}\end{aligned}}}
5820:
8738:
4760:
2742:
6504:
6422:
8438:
3707:
but under the assumption, one of the factors on the right must be zero. Therefore, the assumption that two distinct roots are congruent is false.
803:{\displaystyle |x|={\begin{cases}x&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\frac {p-1}{2}},\\p-x&{\mbox{if }}{\frac {p+1}{2}}\leq x\leq p-1.\end{cases}}}
6744:
4937:
449:
8339:
440:
4624:
1341:
5298:
5207:
1553:
8794:
8390:
8323:
3871:
20:
8382:
8060:{\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}{\pmod {\mathfrak {p}}},}
8779:
5779:
2571:
341:
38:
8469:
1607:
194:
1728:
4289:
2966:
8728:
8515:
3713:
2699:
2822:
1847:
8784:
8510:
8495:
8431:
5729:
5056:
91:
4184:
8151:
4866:
8789:
4147:
8528:
2084:{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{(p-1)/2}{\frac {\sin {(2\pi an/p)}}{\sin {(2\pi n/p)}}},}
8690:
8649:
4677:
2619:
1485:
974:{\displaystyle Z=(-1)^{n}\left(|a|\cdot |2a|\cdot |3a|\cdot \cdots \cdots \left|{\frac {p-1}{2}}a\right|\right).}
257:
6692:{\displaystyle \zeta _{n}^{s-r}\gamma a_{i}\equiv \zeta _{n}^{s}a_{p}\equiv \gamma a_{j}{\pmod {\mathfrak {p}}}}
8754:
8534:
2903:
8477:
4408:{\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\pmod {\mathfrak {p}}}}
1785:
8461:
8214:
3069:
2099:
1406:
8718:
8538:
8487:
8424:
3614:{\displaystyle n\equiv (1-\zeta _{n})(1-\zeta _{n}^{2})\dots (1-\zeta _{n}^{n-1}){\pmod {\mathfrak {p}}}.}
2528:
4443:
2537:
8695:
8624:
4116:
3861:{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }={\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}-\{0\}.}
49:
8316:
Untersuchungen uber hohere
Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory)
5954:
5685:
5027:
3683:
3448:{\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=(x-\zeta _{n})(x-\zeta _{n}^{2})\dots (x-\zeta _{n}^{n-1}).}
1675:
8685:
8520:
8289:
8079:
7893:
6711:
6246:{\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}.}
5881:
4724:
3633:
3468:
3107:
3016:
2939:
2875:
2672:
2648:
2518:
1479:
45:
37:. Although it is not useful computationally, it has theoretical significance, being involved in some
3657:
2370:
687:
8744:
8654:
8563:
8558:
8552:
8544:
8505:
8223:
2503:
2107:
1924:
1920:
Gauss's lemma is used in many, but by no means all, of the known proofs of quadratic reciprocity.
8700:
8644:
8548:
8465:
5357:
8758:
8614:
8386:
8319:
2499:
2495:
2113:
2103:
2095:
34:
8619:
8604:
2532:
1538:
628:{\displaystyle Z=a^{(p-1)/2}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right)}
73:
2285:
It is also used in what are probably the simplest proofs of the "second supplementary law"
8748:
8633:
8609:
8524:
1325:{\displaystyle Z=(-1)^{n}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right).}
290:
3274:{\displaystyle x^{n}-1=(x-1)(x-\zeta _{n})(x-\zeta _{n}^{2})\dots (x-\zeta _{n}^{n-1}),}
8670:
8589:
8473:
6342:
th-power lemma uses the same ideas that were used in the proof of the quadratic lemma.
6124:{\displaystyle \gamma a_{i}\equiv \zeta _{n}^{b(i)}a_{\pi (i)}{\pmod {\mathfrak {p}}},}
4276:{\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\pmod {\mathfrak {p}}},}
1655:
5637:{\displaystyle a_{2},a_{2}\zeta _{n},a_{2}\zeta _{n}^{2},\dots ,a_{2}\zeta _{n}^{n-1}}
5498:{\displaystyle a_{1},a_{1}\zeta _{n},a_{1}\zeta _{n}^{2},\dots ,a_{1}\zeta _{n}^{n-1}}
5197:{\displaystyle A\mu =\{a_{i}\zeta _{n}^{j}\;:\;1\leq i\leq m,\;\;\;0\leq j\leq n-1\},}
8773:
8629:
8481:
8447:
2817:
30:
8675:
8599:
8499:
5871:{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {O}}_{k},\;\;n\gamma \not \in {\mathfrak {p}},}
2694:
2610:
8217:
to this collection of coset representatives, we obtain the transfer homomorphism
8133:
be the subgroup {+1, −1}. Consider the following coset representatives of
4850:{\displaystyle \mu _{n}=\{1,\zeta _{n},\zeta _{n}^{2},\dots ,\zeta _{n}^{n-1}\}}
2800:{\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|}
8680:
8639:
8491:
6573:{\displaystyle \gamma a_{j}\equiv \zeta _{n}^{s}a_{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}.}
2614:
6488:{\displaystyle \gamma a_{i}\equiv \zeta _{n}^{r}a_{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}}
1482:
the left hand side is just an alternative expression for the
Legendre symbol
6256:
The classical lemma for the quadratic
Legendre symbol is the special case
2498:. Subsequently, Eisenstein used third- and fourth-power versions to prove
1335:
Comparing with our first evaluation, we may cancel out the nonzero factor
19:
This article is about Gauss's lemma in number theory. For other uses, see
6816:{\displaystyle \zeta _{n}^{s-r}a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {\mathfrak {p}}},}
5001:{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }/\mu _{n}.}
407:
This is indeed correct, because 7 is not a quadratic residue modulo 11.
8318:(in German), translated by H. Maser (2nd ed.), New York: Chelsea,
2897:
513:{\displaystyle Z=a\cdot 2a\cdot 3a\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}a}
329:
Three of these integers are larger than 11/2 (namely 6, 7 and 10), so
8579:
6876:
Then on the one hand, by the definition of the power residue symbol,
5273:, used in the original version of the lemma, are a 1/2 system (mod
4664:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=1}
1390:{\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}}
8416:
2963:
This can be proved by contradiction, beginning by assuming that
8420:
5347:{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }.}
5256:{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }.}
2669:
is defined as the cardinality of the residue class ring. Since
2094:
and used this formula to prove quadratic reciprocity. By using
1597:{\displaystyle I\subset (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}
3917:{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }}
825:
which are in the latter range, and since for those multiples,
1224:
of them, so their values are a rearrangement of the integers
5833:
5796:
5749:
5308:
5217:
4947:
4690:
4450:
4160:
4123:
4020:
3971:
3881:
3820:
3781:
3720:
2842:
2769:
2706:
2588:
2544:
8070:
and the theorem follows from the fact that no two distinct
2458:
796:
8114:
be the multiplicative group of nonzero residue classes in
439:
A fairly simple proof, reminiscent of one of the simplest
8594:
8584:
5810:{\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}
2602:{\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}
397:{\displaystyle \left({\frac {7}{11}}\right)=(-1)^{3}=-1.}
8407:
Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda
16:
Condition under which an integer is a quadratic residue
1645:{\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}
751:
696:
181:
be the number of these residues that are greater than
8226:
8154:
8082:
7945:
7896:
7677:
7145:
6885:
6747:
6714:
6592:
6507:
6425:
6149:
6040:
5957:
5884:
5823:
5782:
5732:
5688:
5532:
5393:
5360:
5301:
5210:
5103:
5059:
5030:
4940:
4869:
4763:
4727:
4680:
4627:
4484:
4446:
4336:
4292:
4220:
4187:
4150:
4119:
3939:
3874:
3774:
3716:
3686:
3660:
3636:
3498:
3471:
3300:
3148:
3110:
3072:
3019:
2969:
2942:
2906:
2878:
2825:
2745:
2702:
2675:
2651:
2622:
2574:
2540:
2294:
2125:
1942:
1850:
1788:
1731:
1678:
1658:
1610:
1556:
1488:
1409:
1344:
1241:
1016:
841:
665:
536:
452:
344:
260:
244:{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n},}
197:
94:
7936:
can be cancelled from both sides of the congruence,
1775:{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{t}}
8663:
8572:
8454:
4314:{\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1}
3006:{\displaystyle \zeta _{n}^{r}\equiv \zeta _{n}^{s}}
1216:are positive least residues. But there are exactly
8409:, vol. 7, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci
8247:
8202:
8092:
8059:
7906:
7857:
7657:
7119:
6815:
6724:
6691:
6572:
6487:
6245:
6123:
5970:
5894:
5870:
5809:
5762:
5701:
5636:
5497:
5379:
5346:
5255:
5204:and this set constitutes a representative set for
5196:
5089:
5043:
5000:
4926:
4849:
4737:
4703:
4663:
4607:
4466:
4407:
4313:
4275:
4203:
4173:
4136:
4102:
3916:
3860:
3746:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}}
3745:
3699:
3672:
3646:
3613:
3481:
3447:
3273:
3120:
3096:
3029:
3005:
2952:
2922:
2888:
2858:
2799:
2732:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}}
2731:
2685:
2661:
2637:
2601:
2560:
2464:
2259:
2083:
1901:
1833:
1774:
1714:
1664:
1644:
1596:
1509:
1467:
1389:
1324:
1166:
973:
802:
627:
527:in two different ways. On one hand it is equal to
512:
396:
281:
243:
148:
52:and he proved it again in his fifth proof (1818).
2859:{\displaystyle \zeta _{n}\in {\mathcal {O}}_{k},}
1902:{\displaystyle I=\{1,2,\dots ,{\frac {p-1}{2}}\}}
335:= 3. Correspondingly Gauss's lemma predicts that
321:After reduction modulo 11, this sequence becomes
165:. These residues are all distinct, so there are (
8309:
8307:
8305:
6140:th-power residue symbol is given by the formula
5763:{\displaystyle \zeta _{n}\in {\mathcal {O}}_{k}}
5090:{\displaystyle mn=\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}
149:{\displaystyle a,2a,3a,\dots ,{\frac {p-1}{2}}a}
4204:{\displaystyle \alpha \not \in {\mathfrak {p}}}
8203:{\displaystyle 1,2,3,\dots ,{\frac {p-1}{2}}.}
4927:{\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}\}}
8432:
8372:
8370:
8368:
8366:
8364:
8362:
8360:
8358:
8356:
8354:
4174:{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}}
8:
5188:
5113:
4921:
4876:
4844:
4777:
4113:There is an analogue of Fermat's theorem in
3852:
3846:
1896:
1857:
1828:
1798:
1709:
1688:
443:, can be obtained by evaluating the product
4704:{\displaystyle \eta \in {\mathcal {O}}_{k}}
2638:{\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}}
1510:{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}
282:{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}
8734:
8724:
8439:
8425:
8417:
8379:Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein
5848:
5847:
5166:
5165:
5164:
5145:
5141:
4418:is well-defined and congruent to a unique
3139:. From the definition of roots of unity,
2936:th roots of unity can be congruent modulo
638:The second evaluation takes more work. If
313:= 7, the relevant sequence of integers is
8258:which turns out to be the map that sends
8225:
8179:
8153:
8084:
8083:
8081:
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6732:are coprime both sides can be divided by
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6467:
6461:
6451:
6446:
6433:
6424:
6379:), respectively, come from the fact that
6189:
6184:
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6160:
6155:
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6109:
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2943:
2941:
2923:{\displaystyle n\not \in {\mathfrak {p}}}
2914:
2913:
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2299:
2293:
2282:immediately gives quadratic reciprocity.
2239:
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1627:
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1015:
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563:
547:
535:
489:
451:
379:
349:
343:
265:
259:
232:
202:
196:
159:and their least positive residues modulo
125:
93:
33:gives a condition for an integer to be a
8104:Relation to the transfer in group theory
8076:th roots of unity can be congruent (mod
5726:th power residue symbol as follows. Let
3768:of its (multiplicative) group of units,
650:, let us define the "absolute value" of
8301:
1834:{\displaystyle t=\#\{j\in I:aj\in -I\}}
1478:This is the desired result, because by
3097:{\displaystyle \zeta _{n}^{t}\equiv 1}
5720:Gauss's lemma may be extended to the
1468:{\displaystyle a^{(p-1)/2}=(-1)^{n}.}
7:
5526:and remove the numbers congruent to
5387:and remove the numbers congruent to
4934:be representatives of the cosets of
1927:used Gauss's lemma to prove that if
8085:
8046:
8044:
7957:
7899:
7844:
7842:
7689:
7640:
7638:
7517:
7515:
7367:
7365:
7102:
7100:
7043:
6971:
6802:
6800:
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6679:
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6557:
6477:
6475:
6161:
6110:
6108:
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5887:
5860:
5785:
5691:
5326:
5235:
5076:
5033:
4965:
4857:be the multiplicative group of the
4730:
4639:
4590:
4588:
4562:
4500:
4467:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}
4397:
4395:
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4233:
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2577:
2561:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}
2447:
2440:
2404:
2397:
1152:
1114:
1070:
422:−4, 3, −1, −5, 2.
6965:
5070:
4556:
4345:
4294:
4227:
4137:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}
3945:
2747:
2624:
1795:
14:
4433:This root of unity is called the
441:proofs of Fermat's little theorem
8753:
8743:
8733:
8723:
8714:
8713:
5971:{\displaystyle {\mathfrak {p}}.}
5702:{\displaystyle {\mathfrak {p}}.}
5044:{\displaystyle {\mathfrak {p}}.}
3700:{\displaystyle {\mathfrak {p}},}
1715:{\displaystyle -I=\{-i:i\in I\}}
44:It made its first appearance in
8093:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
8037:
7907:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
7835:
7631:
7508:
7358:
7093:
6793:
6725:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
6672:
6550:
6468:
6101:
5895:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
5289:system is straightforward: let
4738:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
4581:
4388:
4253:
4078:
3647:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
3591:
3482:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
3121:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
3030:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2953:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2889:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2686:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2662:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
1145:
1107:
1063:
832:is in the first range, we have
410:The above sequence of residues
39:proofs of quadratic reciprocity
8492:analytic theory of L-functions
8470:non-abelian class field theory
8405:Gauss, Carl Friedrich (1832),
8341:Lectures in number theory 2022
8314:Gauss, Carl Friedrich (1965),
8236:
8213:Applying the machinery of the
8050:
8038:
8031:
8025:
8010:
8004:
7995:
7989:
7848:
7836:
7796:
7790:
7775:
7769:
7760:
7754:
7644:
7632:
7590:
7584:
7569:
7563:
7554:
7548:
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7500:
7494:
7478:
7472:
7459:
7453:
7440:
7434:
7419:
7413:
7404:
7398:
7371:
7359:
7349:
7343:
7330:
7324:
7301:
7295:
7282:
7276:
7256:
7250:
7237:
7231:
7207:
7191:
7185:
7169:
7166:
7150:
7106:
7094:
6947:
6931:
6925:
6909:
6906:
6890:
6806:
6794:
6685:
6673:
6563:
6551:
6481:
6469:
6345:The existence of the integers
6235:
6229:
6214:
6208:
6199:
6193:
6114:
6102:
6095:
6089:
6076:
6070:
5332:
5302:
5241:
5211:
4971:
4941:
4594:
4582:
4401:
4389:
4266:
4254:
4089:
4079:
4044:
4014:
3995:
3964:
3905:
3875:
3805:
3775:
3673:{\displaystyle n\not \equiv 0}
3604:
3592:
3587:
3557:
3551:
3527:
3524:
3505:
3439:
3409:
3403:
3379:
3376:
3357:
3265:
3235:
3229:
3205:
3202:
3183:
3180:
3168:
2793:
2762:
2451:
2441:
2408:
2398:
2349:
2330:
2326:
2316:
2071:
2051:
2038:
2015:
1992:
1980:
1912:The proof is almost the same.
1763:
1753:
1633:
1611:
1585:
1563:
1453:
1443:
1427:
1415:
1258:
1248:
1156:
1146:
1118:
1108:
1074:
1064:
1056:
1045:
1033:
1022:
919:
908:
900:
889:
881:
873:
858:
848:
675:
667:
560:
548:
376:
366:
229:
219:
1:
8248:{\displaystyle \phi :G\to H,}
7130:and on the other hand, since
6367:, and their uniqueness (mod
8516:Transcendental number theory
6865:is a permutation of the set
5295:be a representative set for
4440:th-power residue symbol for
3710:Thus the residue classes of
2116:used the lemma to show that
984:Now observe that the values
644:is a nonzero residue modulo
8739:List of recreational topics
8511:Computational number theory
8496:probabilistic number theory
8377:Lemmermeyer, Franz (2000),
4863:th roots of unity, and let
4674:if and only if there is an
1844:In the original statement,
8811:
5380:{\displaystyle a_{1}\in M}
5053:In other words, there are
2516:
18:
8709:
8691:Diophantine approximation
8650:Chinese remainder theorem
6385:is a representative set.
3753:containing the powers of
2102:functions, he proved the
1652:is the disjoint union of
48:'s third proof (1808) of
8795:Squares in number theory
8535:Arithmetic combinatorics
3868:Therefore, the order of
3762:are a subgroup of order
3465:and taking residues mod
2930:). Then no two distinct
2810:Assume that a primitive
8780:Lemmas in number theory
8506:Geometric number theory
8462:Algebraic number theory
4424:th root of unity ζ
2739:, so the ideal norm is
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