1259:
2536:
2307:
2223:
1931:
1130:
1122:
280:
2416:
2055:
786:
1007:
391:
1364:
1070:
1523:
718:
542:
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1304:
666:
917:
590:
2408:
1973:
2345:
2142:
1788:
1729:
185:
154:
2375:
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2087:
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1659:
1470:
2649:
1607:
1545:
2571:
1581:
1438:
1399:
2238:
2150:
1823:
948:
824:
2617:
2595:
1691:
1631:
1254:{\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}
2574:
2531:{\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}
1075:
216:
1985:
2062:
2823:
2783:
2748:
2707:
723:
964:
2852:
295:
2699:
1312:
1015:
1479:
682:
506:
430:
2862:
1267:
603:
2857:
839:
547:
2702:, vol. 7 (second ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, Proposition I.8.2,
2674:
2383:
1694:
1942:
2319:
2116:
1762:
1703:
159:
128:
2356:
2092:
2068:
1796:
1734:
478:
402:
2810:, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin: Springer-Verlag, Lemma 6.2,
1636:
1447:
2351:
1756:
111:
45:
37:
17:
2632:
2377:
can be used to give an upper bound on the field norm of the smallest nonzero element it contains:
1590:
1528:
2549:
2230:
286:
96:
49:
1557:
2819:
2779:
2744:
2730:
2703:
2302:{\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}
1548:
1402:
204:
1408:
1369:
2811:
2740:
2313:
2218:{\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}
1926:{\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}
1698:
1584:
959:
951:
593:
200:
103:
53:
2833:
2793:
2758:
2717:
2829:
2789:
2754:
2713:
1976:
1610:
1473:
830:
92:
29:
925:
791:
2602:
2580:
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1616:
2846:
1662:
69:
33:
2735:
955:
468:
397:
188:
41:
2815:
2669:
1552:
669:
25:
2620:
1117:{\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}
275:{\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}
2050:{\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}
1936:
By convention, the norm of the zero ideal is taken to be zero.
2739:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, translated by
781:{\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}
2326:
2260:
2251:
2123:
1891:
1854:
1769:
1710:
1491:
1343:
1324:
1283:
1274:
1161:
1142:
1101:
1092:
1051:
1028:
1002:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}
988:
971:
699:
523:
261:
244:
166:
135:
386:{\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{}}
52:. When the less complicated number ring is taken to be the
1359:{\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}
1065:{\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}
2778:, Universitext, New York: Springer-Verlag, Theorem 22c,
833:
is thus compatible with the field norm of an element:
2635:
2605:
2583:
2552:
2419:
2386:
2359:
2322:
2241:
2153:
2119:
2095:
2071:
1988:
1945:
1826:
1799:
1765:
1737:
1706:
1679:
1639:
1619:
1593:
1560:
1531:
1518:{\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}
1482:
1450:
1411:
1372:
1315:
1270:
1133:
1078:
1018:
967:
928:
842:
794:
726:
713:{\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}
685:
606:
550:
537:{\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}
509:
481:
460:{\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}
433:
405:
298:
219:
162:
131:
1299:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}
661:{\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}
2743:, New York: Springer-Verlag, 1.5, Proposition 14,
2643:
2611:
2589:
2565:
2530:
2402:
2369:
2339:
2301:
2217:
2136:
2105:
2081:
2049:
1967:
1925:
1809:
1782:
1747:
1723:
1685:
1653:
1625:
1601:
1575:
1539:
1517:
1464:
1432:
1393:
1358:
1298:
1253:
1116:
1064:
1001:
942:
911:
818:
780:
712:
660:
584:
536:
491:
459:
415:
385:
274:
179:
148:
1613:. Under this convention the relative norm from
1609:is generated by a uniquely determined positive
2619:is the number of pairs of (non-real) complex
2229:Thus the absolute norm extends uniquely to a
8:
1570:
1561:
655:
607:
199:, respectively (i.e., the sets of nonzero
2637:
2636:
2634:
2604:
2582:
2557:
2551:
2516:
2515:
2497:
2487:
2481:
2467:
2439:
2438:
2433:
2429:
2418:
2394:
2393:
2385:
2361:
2360:
2358:
2331:
2325:
2324:
2321:
2290:
2282:
2278:
2277:
2265:
2259:
2258:
2256:
2250:
2249:
2240:
2206:
2205:
2190:
2189:
2171:
2170:
2161:
2160:
2152:
2128:
2122:
2121:
2118:
2097:
2096:
2094:
2073:
2072:
2070:
2027:
2026:
2021:
2017:
1996:
1995:
1987:
1947:
1946:
1944:
1922:
1908:
1907:
1902:
1896:
1890:
1889:
1869:
1868:
1859:
1853:
1852:
1834:
1833:
1825:
1801:
1800:
1798:
1774:
1768:
1767:
1764:
1739:
1738:
1736:
1715:
1709:
1708:
1705:
1678:
1647:
1646:
1638:
1618:
1595:
1594:
1592:
1559:
1533:
1532:
1530:
1514:
1508:
1507:
1502:
1496:
1490:
1489:
1487:
1481:
1458:
1457:
1449:
1420:
1416:
1410:
1381:
1377:
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1348:
1342:
1341:
1335:
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1323:
1322:
1320:
1314:
1288:
1282:
1281:
1279:
1273:
1272:
1269:
1239:
1238:
1219:
1200:
1178:
1177:
1166:
1160:
1159:
1153:
1147:
1141:
1140:
1138:
1132:
1106:
1100:
1099:
1097:
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1090:
1080:
1079:
1077:
1056:
1050:
1049:
1033:
1027:
1026:
1017:
993:
987:
986:
976:
970:
969:
966:
932:
927:
884:
880:
851:
847:
841:
793:
772:
766:
765:
749:
748:
735:
731:
725:
704:
698:
697:
687:
686:
684:
649:
648:
637:
618:
614:
605:
573:
572:
559:
555:
549:
528:
522:
521:
511:
510:
508:
483:
482:
480:
445:
444:
435:
434:
432:
407:
406:
404:
372:
371:
366:
354:
353:
348:
341:
335:
334:
321:
320:
307:
303:
297:
266:
260:
259:
249:
243:
242:
228:
224:
218:
171:
165:
164:
161:
140:
134:
133:
130:
2769:
2767:
912:{\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}
585:{\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}
203:.) Following the technique developed by
2686:
1405:that is compatible with also writing
7:
2403:{\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}
1440:for the field norm, as noted above.
2517:
2395:
2362:
2207:
2191:
2172:
2162:
2098:
2074:
1997:
1968:{\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}
1948:
1909:
1870:
1835:
1802:
1740:
1472:, it is reasonable to use positive
1240:
1179:
1081:
767:
750:
688:
650:
574:
512:
484:
446:
436:
408:
373:
355:
336:
322:
60:, then the norm of a nonzero ideal
2554:
2494:
2340:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
2137:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
1783:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
1724:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}
180:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}
149:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}
32:. It is particularly important in
14:
2651:(the number of complex places of
68:is simply the size of the finite
36:since it measures the size of an
1012:Then the preceding applies with
125:is also a Dedekind domain.) Let
2700:Graduate Studies in Mathematics
2370:{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
2106:{\displaystyle {\mathfrak {b}}}
2082:{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
1810:{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
1748:{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
492:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
416:{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
2522:
2512:
2451:
2445:
2380:there always exists a nonzero
2273:
2212:
2202:
2196:
2186:
2177:
2157:
2039:
2033:
2002:
1992:
1962:
1956:
1840:
1830:
1654:{\displaystyle K=\mathbb {Q} }
1465:{\displaystyle K=\mathbb {Q} }
1245:
1235:
1227:
1213:
1184:
1174:
900:
894:
870:
861:
813:
801:
758:
745:
638:
634:
628:
579:
569:
378:
342:
327:
317:
255:
1:
2644:{\displaystyle \mathbb {C} }
1602:{\displaystyle \mathbb {Z} }
1540:{\displaystyle \mathbb {Z} }
544:one can equivalently define
2566:{\displaystyle \Delta _{L}}
2879:
2774:Marcus, Daniel A. (1977),
2694:Janusz, Gerald J. (1996),
1366:is sometimes shortened to
2816:10.1007/978-3-662-03983-0
2806:Neukirch, Jürgen (1999),
2063:completely multiplicative
1576:{\displaystyle \{\pm 1\}}
24:is a generalization of a
2312:defined for all nonzero
2853:Algebraic number theory
2808:Algebraic number theory
2696:Algebraic number fields
1433:{\displaystyle N_{L/K}}
1394:{\displaystyle N_{L/K}}
1264:which is an element of
503:Alternatively, for any
2675:Dedekind zeta function
2645:
2613:
2591:
2567:
2532:
2404:
2371:
2341:
2303:
2219:
2138:
2107:
2083:
2051:
1969:
1927:
1811:
1784:
1749:
1725:
1687:
1655:
1627:
1603:
1577:
1541:
1519:
1466:
1434:
1395:
1360:
1300:
1255:
1118:
1066:
1003:
944:
913:
820:
782:
714:
662:
586:
538:
493:
461:
417:
387:
276:
181:
150:
121:. (this implies that
48:in a less complicated
2741:Greenberg, Marvin Jay
2646:
2614:
2592:
2568:
2533:
2405:
2372:
2342:
2304:
2220:
2139:
2108:
2084:
2052:
1970:
1928:
1812:
1793:The absolute norm of
1785:
1755:a nonzero (integral)
1750:
1726:
1688:
1656:
1628:
1604:
1578:
1542:
1520:
1467:
1435:
1396:
1361:
1301:
1256:
1119:
1067:
1004:
945:
914:
821:
783:
715:
663:
600:generated by the set
587:
539:
494:
462:
418:
388:
277:
182:
151:
28:of an element in the
2863:Ideals (ring theory)
2633:
2603:
2581:
2550:
2417:
2384:
2357:
2320:
2239:
2151:
2117:
2093:
2069:
1986:
1943:
1824:
1797:
1763:
1735:
1704:
1677:
1637:
1617:
1591:
1583:, thus each nonzero
1558:
1529:
1480:
1448:
1409:
1370:
1313:
1268:
1131:
1076:
1016:
965:
926:
840:
829:The ideal norm of a
792:
724:
683:
604:
548:
507:
479:
431:
403:
296:
217:
160:
129:
2858:Commutative algebra
2295:
1661:coincides with the
943:{\displaystyle L/K}
112:separable extension
18:commutative algebra
2731:Serre, Jean-Pierre
2641:
2609:
2587:
2563:
2528:
2400:
2367:
2337:
2299:
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