25:
1066:
2516:
697:
2365:
2345:
1653:
1901:
602:
2824:
3137:
3789:
1061:{\displaystyle e^{\pi }=23+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{591+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
1833:
2934:
2238:
1740:
261:
3176:
3003:
2107:
2247:
1970:
1563:
677:
3543:
3059:
2873:
2605:
2511:{\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}
3255:
1527:
501:
347:
3030:
2961:
1849:
2850:
3828:
2730:
4050:
3199:
3933:
Because of the equivalence, we can use the
Gelfond-Schneider theorem to prove that the reciprocal square root of Gelfond's constant is also transcendental:
3064:
4009:
3669:
450:
1756:
42:
4232:
2161:
4280:
1674:
179:
2723:
The explanation for this seemingly remarkable coincidence was given by A. Doman in
September 2023, and is a result of a sum related to
4139:
4097:
4021:
108:
89:
61:
4275:
4252:
3977:
295:
2878:
46:
3361:
171:
68:
4045:
4013:
618:
3966:
287:
75:
4212:
35:
141:
57:
1079:
3142:
2966:
2072:
3413:, we are only able to prove this number transcendental due to properties of complex exponential forms, where
1938:
1906:
2724:
2142:
3961:
3505:
167:
4164:
3035:
2855:
2574:
2130:
made the hoax claim that the number was in fact an integer, and that the Indian mathematical genius
4216:
3972:
2131:
2122:
2117:
1544:
82:
1071:
4089:
3230:
2340:{\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}
1648:{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}
322:
4228:
4135:
4093:
4017:
3663:
3008:
2939:
163:
130:
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3803:
3181:
4107:
4063:
4031:
3997:
3659:
2113:
4168:
4189:
4176:
3387:
2534:
2127:
1910:
1666:
270:
146:
4269:
4244:
4082:
4001:
3482:
is transcendental. Further, no proof exists to show whether or not it is irrational.
170:. This was first established by Gelfond and may be considered an application of the
4257:
4193:
597:{\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}
1896:{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{Gelfond's constant}})^{\sqrt {163}}}
2153:
2146:
122:
24:
2819:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}
4197:
3360:
It is not known whether or not this number is transcendental. Note that, by
3443:
are transcendental, we can make no conclusion about the transcendence of
2137:
The coincidental closeness, to within 0.000 000 000 000 75 of the number
3132:{\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}
3784:{\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}
1552:
4084:
Mathematics by
Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century
4000:(1976). "On the Gel'fondāBaker method and its applications". In
18:
3794:
3496:
3221:
2565:
1532:
454:
149:
3969:, the study of questions related to transcendental numbers
1828:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R=1)=e^{\pi }.}
4253:
A new complex power tower identity for
Gelfond's constant
3427:, allowing the application of Gelfond-Schneider theorem.
4048:(1996). "Modular Functions and Transcendence Problems".
2826:
The first term dominates since the sum of the terms for
2112:
This number was discovered in 1859 by the mathematician
4006:
3423:, and the above equivalency given to transform it into
3201:
yields an additional order of magnitude of precision.
2929:{\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}
2533:(For more detail on this proof, consult the article on
2233:{\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}
995:
983:
969:
957:
943:
931:
917:
905:
891:
879:
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853:
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986:
972:
960:
946:
934:
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3672:
3508:
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3184:
3145:
3067:
3038:
3011:
2969:
2942:
2881:
2858:
2832:
2733:
2577:
2370:
2368:
2250:
2164:
2075:
1941:
1852:
1759:
1677:
1566:
1082:
700:
621:
504:
325:
182:
4155:
Gardner, Martin (April 1975). "Mathematical Games".
1735:{\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}R^{2n},}
256:{\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}
316:The decimal expansion of Gelfond's constant begins
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
4051:Comptes Rendus de l'AcadƩmie des Sciences, SƩrie I
3822:
3783:
3537:
3249:
3193:
3170:
3131:
3053:
3024:
2997:
2955:
2928:
2867:
2844:
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2339:
2232:
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1964:
1895:
1827:
1734:
1647:
1521:
1060:
671:
596:
341:
255:
286:is transcendental. The constant was mentioned in
3939:is both algebraic (a solution to the polynomial
3417:is considered the modulus of the complex number
1913:, where 163 is the Heegner number in question.
8:
3435:has no such equivalence, and hence, as both
4120:Connolly, Francis. University of Notre Dame
4010:Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
4221:Logarithmic Forms and Diophantine Geometry
3811:
3805:
3771:
3764:
3754:
3734:
3727:
3714:
3700:
3693:
3677:
3671:
3526:
3513:
3507:
3238:
3232:
3183:
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3072:
3066:
3037:
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3010:
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2968:
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2284:
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2260:
2249:
2224:
2216:
2193:
2180:
2163:
2126:magazine, "Mathematical Games" columnist
2087:
2082:
2074:
1950:
1946:
1940:
1885:
1876:
1861:
1857:
1851:
1816:
1785:
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1700:
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503:
330:
324:
241:
216:
203:
187:
181:
109:Learn how and when to remove this message
3178:Ironically, the crude approximation for
3171:{\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}
2998:{\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}
2102:{\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}
3989:
1669:. Any even-dimensional ball has volume
3364:, we can only infer definitively that
2875:The sum can therefore be truncated to
1965:{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=}
4134:. London: Jonathan Cape. p. 72.
4088:. Wellesley, MA: A K Peters. p.
3793:The decimal expansion of is given by
7:
4227:, Cambridge University Press, 2007,
4163:(4). Scientific American, Inc: 127.
1070:This is based on the digits for the
672:{\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}
47:adding citations to reliable sources
1744:and, summing up all the unit-ball (
4177:10.1038/scientificamerican0575-102
3538:{\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}=}
2750:
1776:
1751:) volumes of even-dimension gives
1610:
14:
2710:This is approximately equal to:
2134:had predicted itāhence its name.
1531:As given by the integer sequence
3032:and using the approximation for
3005:Rewriting the approximation for
23:
3054:{\displaystyle 7\pi \approx 22}
2868:{\displaystyle \sim 0.0003436.}
280:is algebraic but not rational,
34:needs additional citations for
4223:, New Mathematical Monographs
3761:
3747:
3711:
3686:
3139:Thus, rearranging terms gives
2600:{\displaystyle e^{\pi }-\pi =}
2526:is 0.000 000 000 000 75 below
2478:
2455:
2265:
2251:
2221:
2207:
2201:
2190:
2171:
2168:
1882:
1873:
1806:
1794:
1516:
1096:
650:
622:
238:
228:
213:
196:
1:
4014:American Mathematical Society
1932:is very close to an integer:
3967:Transcendental number theory
1838:Similar or related constants
691:Continued fraction expansion
4281:Real transcendental numbers
3946:), and not rational, hence
4297:
3978:GelfondāSchneider constant
3485:The decimal expansion for
3472:, it is not known whether
1909:. It is an application of
296:GelfondāSchneider constant
3362:Gelfond-Schneider theorem
3250:{\displaystyle \pi ^{e}=}
3214:The decimal expansion of
2554:The decimal expansion of
1522:{\displaystyle e^{\pi }=}
1072:simple continued fraction
342:{\displaystyle e^{\pi }=}
288:Hilbert's seventh problem
172:GelfondāSchneider theorem
3025:{\displaystyle e^{\pi }}
2956:{\displaystyle e^{\pi }}
1842:
290:. A related constant is
162:, this constant is both
4132:The Constants of Nature
4130:Barrow, John D (2002).
2845:{\displaystyle k\geq 2}
4276:Mathematical constants
4245:Gelfond's constant at
4012:. Vol. XXVIII.1.
3824:
3823:{\displaystyle i^{i}=}
3785:
3539:
3251:
3195:
3172:
3133:
3055:
3026:
2999:
2957:
2930:
2869:
2846:
2820:
2754:
2725:Jacobi theta functions
2601:
2512:
2341:
2234:
2143:complex multiplication
2103:
1966:
1897:
1829:
1780:
1736:
1649:
1523:
1062:
673:
598:
343:
257:
4080:; Bailey, D. (2004).
3962:Transcendental number
3825:
3786:
3540:
3370:is transcendental if
3252:
3196:
3194:{\displaystyle 7\pi }
3173:
3134:
3056:
3027:
3000:
2958:
2931:
2870:
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1967:
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1830:
1760:
1737:
1650:
1524:
1063:
681:converges rapidly to
674:
599:
344:
258:
4016:. pp. 241ā268.
3804:
3670:
3506:
3386:are both considered
3231:
3182:
3143:
3065:
3036:
3009:
2967:
2940:
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2856:
2830:
2731:
2575:
2366:
2248:
2162:
2073:
1939:
1907:Ramanujan's constant
1850:
1843:Ramanujan's constant
1757:
1675:
1564:
1080:
698:
619:
613:, then the sequence
502:
323:
308:is also irrational.
298:. The related value
180:
58:"Gelfond's constant"
43:improve this article
4169:1975SciAm.232e.102G
4157:Scientific American
3952:is transcendental.
2520:which explains why
2360:is the error term,
2132:Srinivasa Ramanujan
2123:Scientific American
1661:is its radius, and
997:
985:
971:
959:
945:
933:
919:
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789:
777:
763:
751:
737:
725:
588:
555:
16:E to the power of Ļ
4258:Almost Integer at
3820:
3781:
3535:
3247:
3191:
3168:
3129:
3051:
3022:
2995:
2953:
2936:where solving for
2926:
2865:
2842:
2816:
2597:
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2506:
2337:
2230:
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1962:
1893:
1878:Gelfond's constant
1825:
1732:
1645:
1539:Geometric property
1519:
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127:Gelfond's constant
4233:978-0-521-88268-2
3664:complex logarithm
3378:is not rational (
3374:is algebraic and
2433:
2394:
2329:
2293:
2188:
1955:
1905:This is known as
1890:
1879:
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1714:
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1595:
1549:-dimensional ball
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93:
4288:
4217:Gisbert WĆ¼stholz
4200:
4194:"Almost Integer"
4187:
4181:
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