4037:
2208:
3562:
6301:
3294:
1793:
4032:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}&=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}\\{\hat {A}}_{2}&={\tfrac {1}{5760}}\left(-4p_{2}+7p_{1}^{2}\right)\\{\hat {A}}_{3}&={\tfrac {1}{967680}}\left(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3}\right)\\{\hat {A}}_{4}&={\tfrac {1}{464486400}}\left(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
5620:
5631:
20:
2931:
2203:{\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}&={\tfrac {1}{3}}p_{1}\\L_{2}&={\tfrac {1}{45}}\left(7p_{2}-p_{1}^{2}\right)\\L_{3}&={\tfrac {1}{945}}\left(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3}\right)\\L_{4}&={\tfrac {1}{14175}}\left(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}
5146:
6296:{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(OP^{2})&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}\left\\&=\int _{OP^{2}}{\tfrac {1}{113400}}{\big }\\&=\int _{OP^{2}}{\big }\\&=\epsilon ^{2}\int _{OP^{2}}{\big }\\&=\epsilon ^{2}*1=\epsilon ^{2}\\&=\Phi _{ell}(HP^{2})^{2}\end{aligned}}}
3519:
1748:
3289:{\displaystyle {\begin{aligned}Td_{0}&=1\\Td_{1}&={\frac {1}{2}}c_{1}\\Td_{2}&={\frac {1}{12}}\left(c_{2}+c_{1}^{2}\right)\\Td_{3}&={\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}\\Td_{4}&={\frac {1}{720}}\left(-c_{1}^{4}+4c_{2}c_{1}^{2}+3c_{2}^{2}+c_{3}c_{1}-c_{4}\right)\end{aligned}}}
1015:
6472:
4435:
794:
4758:
5615:{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{ell}(HP^{2})&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big }\\&=\int _{HP^{2}}{\tfrac {1}{90}}{\big }\\&=\int _{HP^{2}}\\&=\epsilon \int _{HP^{2}}\\&=\epsilon *1=\epsilon \end{aligned}}}
4672:
2893:
3384:
2516:
1253:
4077:
deduced that if a compact spin manifold admits a metric with positive scalar curvature, its  genus must vanish. This only gives an obstruction to positive scalar curvature when the dimension is a multiple of 4, but
1581:
4494:
805:
4288:
2772:
3356:
1479:
5636:
5151:
3567:
2936:
1798:
205:
4572:
289:
6321:
4805:
402:
1116:
5135:
4938:
611:
565:
4146:
4109:
4354:
2285:
623:
6672:
4148:-valued analog are the only obstructions to the existence of positive-scalar-curvature metrics on simply-connected spin manifolds of dimension greater than or equal to 5.
4210:
2380:
326:
4331:
2714:
2678:
477:
445:
367:
133:
104:
4311:
225:
4679:
3554:
1781:
2923:
2642:
2599:
2560:
1545:
1509:
1373:
1346:
1319:
1284:
505:
425:
1047:
4579:
336:
The manifolds and manifolds with boundary may be required to have additional structure; for example, they might be oriented, spin, stably complex, and so on (see
2325:
2351:
2792:
3514:{\displaystyle Q(z)={\frac {{\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}}{\sinh \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)}}=1-{\frac {z}{24}}+{\frac {7z^{2}}{5760}}-\cdots }
2219:
3363:
2408:
1127:
1743:{\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{k}}{(2k)!}}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }
4446:
1010:{\displaystyle \sum _{j}K_{j}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{j}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}}
6621:
6607:
6590:
2719:
6521:
4059:
2574:. Pontryagin numbers can also be defined for PL manifolds, and Milnor showed that his PL manifold had a non-integral value of
4218:
4112:
3302:
1401:
6655:
6638:
1291:
2524:
145:
4512:
232:
6650:
6633:
6526:
337:
6467:{\displaystyle Q(z)={\frac {z}{\sigma _{L}(z)}}=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}
1551:, which states that the rationals tensored with the cobordism ring is a polynomial algebra in generators of degree 4
6677:
6482:
1563:
with rational coefficients and leading coefficient 1, and genera from oriented manifolds to the rational numbers.
3358:), and this suffices to show that the Todd genus agrees with the arithmetic genus for algebraic varieties as the
4770:
2716:, we have its signature. This can be used to compute its intersection form as a unimodular lattice since it has
372:
6594:
3299:
The Todd genus has the particular property that it assigns the value 1 to all complex projective spaces (i.e.
1063:
4944:
1384:
516:
4811:
447:
is a ring homomorphism from the cobordism ring of manifolds (with additional structure) to another ring.
2680:. It can be computed as -48 using the tangent sequence and comparisons with complex chern classes. Since
570:
524:
4430:{\displaystyle f(z)={\frac {1}{a}}\operatorname {sn} \left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{a^{2}}}\right)}
6546:
4074:
6628:
4122:
4085:
789:{\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )}
6645:
4051:
4047:
2383:
2288:
480:
2241:
4070:
2391:
1050:
4163:
52:
2356:
296:
4753:{\displaystyle \epsilon =\delta ^{2},f(z)={\frac {\tanh({\sqrt {\delta }}z)}{\sqrt {\delta }}}}
4316:
3524:(There is also an A genus which is less commonly used, associated to the characteristic series
2683:
6617:
6603:
6586:
6494:
2647:
2304:
453:
430:
343:
109:
89:
48:
6504:
dimensional compact oriented smooth spin manifold with vanishing first
Pontryagin class is a
4296:
4111:-valued obstruction in dimensions 1 or 2 mod 8. These results are essentially sharp. Indeed,
4046:
is an integer, and an even integer if the dimension is 4 mod 8 (which in dimension 4 implies
210:
6560:
4667:{\displaystyle \delta =-{\frac {1}{8}},\epsilon =0,f(z)=2\sinh \left({\frac {1}{2}}z\right)}
4116:
3527:
3359:
2614:
2610:
2571:
2236:
1784:
1756:
1512:
1349:
2901:
2620:
2577:
2538:
1530:
1487:
1358:
1324:
1297:
1262:
490:
410:
3366:, and in fact is one of the key developments that led to the formulation of that theorem.
1380:
1023:
369:
is in some ring, often the ring of rational numbers, though it can be other rings such as
64:
56:
59:
up to the equivalence of bounding a smooth manifold with boundary (i.e., up to suitable
4063:
2310:
2330:
6666:
4079:
4043:
2888:{\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i!}}z^{i}}
1388:
1376:
4050:) – for general manifolds, the  genus is not always an integer. This was proven by
6505:
4055:
72:
3362:
is also 1 for complex projective spaces. This observation is a consequence of the
1548:
4062:, which showed that the  genus of a spin manifold is equal to the index of its
2567:
2563:
40:
6559:
Huybrechts, Daniel. "14.1 Existence, uniqueness, and embeddings of lattices".
71:
of polynomials in characteristic classes that arise as coefficients in formal
6595:
http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf
2511:{\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\ldots ,p_{n}(M)),\rangle }
1248:{\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots }
60:
5625:
Example (elliptic genus for octonionic projective plane, or Cayley plane):
68:
16:
A ring homomorphism from the cobordism ring of manifolds to another ring
2613:
are smooth complex manifolds of dimension two, their only non-trivial
19:
4489:{\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {\delta ^{2}-\epsilon }}}}}
5140:
Example (elliptic genus for quaternionic projective plane) :
1559:, implies that this gives a bijection between formal power series
18:
4119:, and Stephan Stolz later proved that the  genus and Hitchin's
1057:
with constant term 1, we can define a multiplicative sequence
4058:; this result both motivated and was later explained by the
2767:{\displaystyle \operatorname {dim} \left(H^{2}(X)\right)=22}
507:
is a genus from oriented manifolds to the ring of integers.
6315:
is the genus associated to the characteristic power series
3378:
is the genus associated to the characteristic power series
2223:
2925:
as before, Bernoulli numbers. The first few values are
4283:{\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}
2774:, and using the classification of unimodular lattices.
67:, having the property that they are constructed from a
5893:
5702:
5360:
5217:
3889:
3774:
3685:
3633:
3351:{\displaystyle \mathrm {Td} _{n}(\mathbb {CP} ^{n})=1}
2063:
1960:
1886:
1843:
6324:
5634:
5149:
4947:
4814:
4773:
4682:
4582:
4515:
4449:
4357:
4319:
4299:
4221:
4166:
4125:
4088:
3565:
3530:
3387:
3305:
2934:
2904:
2795:
2722:
2686:
2650:
2623:
2580:
2562:
is always integral for a smooth manifold was used by
2541:
2411:
2359:
2333:
2313:
2244:
1796:
1759:
1584:
1533:
1490:
1474:{\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}
1404:
1361:
1327:
1300:
1265:
1130:
1066:
1026:
808:
626:
573:
527:
493:
456:
433:
413:
375:
346:
299:
235:
213:
148:
112:
92:
2231:
be a closed smooth oriented manifold of dimension 4
6466:
6295:
5614:
5129:
4932:
4799:
4752:
4666:
4566:
4488:
4429:
4337:is the characteristic power series of the genus.)
4325:
4305:
4282:
4204:
4140:
4103:
4031:
3548:
3513:
3350:
3288:
2917:
2887:
2766:
2708:
2672:
2636:
2593:
2554:
2510:
2374:
2345:
2319:
2279:
2202:
1775:
1742:
1539:
1503:
1473:
1367:
1340:
1313:
1278:
1247:
1110:
1041:
1009:
788:
605:
559:
499:
471:
439:
419:
396:
361:
320:
283:
219:
200:{\displaystyle \Phi (X\sqcup Y)=\Phi (X)+\Phi (Y)}
199:
127:
98:
6599:Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung
4567:{\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)}
284:{\displaystyle \Phi (X\times Y)=\Phi (X)\Phi (Y)}
6193:
6176:
6129:
6102:
6065:
5906:
5480:
5373:
5324:
5230:
511:The genus associated to a formal power series
8:
2505:
2427:
332:is the boundary of a manifold with boundary.
4800:{\displaystyle {\frac {1}{3}}\delta p_{1}}
4760:. This is a generalization of the L-genus.
397:{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
6673:Topological methods of algebraic geometry
6584:Topological Methods in Algebraic Geometry
6430:
6408:
6398:
6386:
6350:
6340:
6323:
6283:
6273:
6251:
6231:
6212:
6192:
6191:
6185:
6175:
6174:
6166:
6158:
6148:
6128:
6127:
6121:
6111:
6101:
6100:
6092:
6084:
6064:
6063:
6057:
6035:
6016:
6000:
5978:
5959:
5940:
5924:
5905:
5904:
5892:
5884:
5876:
5851:
5846:
5833:
5814:
5798:
5779:
5766:
5747:
5731:
5701:
5693:
5685:
5665:
5643:
5635:
5633:
5574:
5559:
5551:
5522:
5507:
5499:
5479:
5478:
5472:
5441:
5419:
5391:
5372:
5371:
5359:
5351:
5343:
5323:
5322:
5316:
5311:
5289:
5270:
5248:
5229:
5228:
5216:
5208:
5200:
5180:
5158:
5150:
5148:
5116:
5111:
5084:
5063:
5053:
5026:
5002:
4975:
4948:
4946:
4919:
4914:
4890:
4869:
4845:
4815:
4813:
4791:
4774:
4772:
4764:The first few values of such genera are:
4729:
4717:
4693:
4681:
4646:
4592:
4581:
4514:
4470:
4464:
4456:
4448:
4414:
4403:
4373:
4356:
4318:
4298:
4274:
4258:
4233:
4223:
4220:
4185:
4165:
4132:
4128:
4127:
4124:
4095:
4091:
4090:
4087:
4014:
4009:
3993:
3988:
3978:
3962:
3957:
3941:
3931:
3915:
3888:
3875:
3864:
3863:
3847:
3842:
3826:
3816:
3800:
3773:
3760:
3749:
3748:
3732:
3727:
3711:
3684:
3671:
3660:
3659:
3648:
3632:
3616:
3605:
3604:
3583:
3572:
3571:
3566:
3564:
3529:
3493:
3483:
3470:
3446:
3436:
3416:
3406:
3403:
3386:
3333:
3329:
3326:
3325:
3315:
3307:
3304:
3271:
3258:
3248:
3235:
3230:
3214:
3209:
3199:
3183:
3178:
3156:
3143:
3126:
3116:
3102:
3089:
3067:
3062:
3049:
3030:
3017:
3000:
2986:
2973:
2946:
2935:
2933:
2909:
2903:
2879:
2859:
2853:
2847:
2836:
2796:
2794:
2786:is the genus of the formal power series
2738:
2721:
2691:
2685:
2655:
2649:
2628:
2622:
2585:
2579:
2546:
2540:
2475:
2447:
2434:
2410:
2358:
2332:
2312:
2262:
2249:
2243:
2185:
2180:
2164:
2154:
2149:
2133:
2128:
2112:
2102:
2086:
2062:
2049:
2030:
2025:
2009:
1999:
1983:
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1583:
1575:is the genus of the formal power series
1532:
1495:
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1154:
1141:
1129:
1096:
1083:
1065:
1025:
1001:
982:
969:
956:
946:
936:
917:
904:
891:
881:
868:
849:
836:
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813:
807:
771:
761:
745:
717:
707:
691:
663:
653:
637:
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591:
578:
572:
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532:
526:
492:
455:
432:
412:
390:
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376:
374:
345:
298:
234:
212:
147:
111:
91:
6538:
2566:to give an example of an 8-dimensional
1111:{\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots }
6512:, with integral Fourier coefficients.
5130:{\displaystyle {\frac {1}{1890}}\left}
4069:By combining this index result with a
6593:Text of the original German version:
75:with good multiplicative properties.
7:
6547:"Computing Hirzebruch L-Polynomials"
4933:{\displaystyle {\frac {1}{90}}\left}
606:{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }
560:{\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots }
340:for many more examples). The value
6248:
5640:
5155:
3311:
3308:
2848:
1534:
1405:
1362:
494:
457:
414:
347:
300:
269:
257:
236:
185:
170:
149:
113:
45:genus of a multiplicative sequence
14:
4503:is the Jacobi elliptic function.
4141:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
4104:{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
427:can be rephrased as saying that
3364:Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
63:) to another ring, usually the
6450:
6441:
6423:
6417:
6362:
6356:
6334:
6328:
6280:
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4199:
4193:
4176:
4170:
4082:later discovered an analogous
3869:
3754:
3665:
3610:
3577:
3543:
3534:
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729:
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460:
404:or the ring of modular forms.
356:
350:
309:
303:
278:
272:
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260:
251:
239:
194:
188:
179:
173:
164:
152:
122:
116:
1:
2601:, and so was not smoothable.
1787:. The first few values are:
1292:elementary symmetric function
4340:One explicit expression for
3556:.) The first few values are
2525:Hirzebruch signature theorem
2390:(i.e., the signature of the
6651:Encyclopedia of Mathematics
6634:Encyclopedia of Mathematics
6627:A.F. Kharshiladze (2001) ,
6601:Manifolds and Modular Forms
6527:List of cohomology theories
6522:Atiyah–Singer index theorem
4205:{\displaystyle Q(z)=z/f(z)}
4060:Atiyah–Singer index theorem
1525:characteristic power series
1391:manifolds corresponding to
6694:
6483:Weierstrass sigma function
2605:Application on K3 surfaces
2375:{\displaystyle \sigma (M)}
1348:will often in practice be
521:A sequence of polynomials
514:
338:list of cobordism theories
321:{\displaystyle \Phi (X)=0}
4326:{\displaystyle \epsilon }
4212:satisfies the condition
4073:for the Dirac Laplacian,
2709:{\displaystyle L_{1}=-16}
2522:This is now known as the
483:of the oriented manifold
2673:{\displaystyle H^{4}(X)}
2530:Hirzebruch index theorem
472:{\displaystyle \Phi (X)}
440:{\displaystyle \varphi }
362:{\displaystyle \Phi (X)}
128:{\displaystyle \Phi (X)}
99:{\displaystyle \varphi }
6562:Lectures on K3 Surfaces
6500:The Witten genus of a 4
4306:{\displaystyle \delta }
2398:th cohomology group of
517:Multiplicative sequence
227:is the disjoint union);
220:{\displaystyle \sqcup }
6614:Characteristic classes
6468:
6297:
5616:
5131:
4934:
4801:
4754:
4674:. This is the  genus.
4668:
4574:. This is the L-genus.
4568:
4490:
4431:
4327:
4307:
4284:
4206:
4142:
4105:
4033:
3550:
3549:{\displaystyle Q(16z)}
3515:
3352:
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2281:
2204:
1777:
1776:{\displaystyle B_{2k}}
1744:
1555:for positive integers
1541:
1505:
1475:
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1342:
1315:
1294:of the indeterminates
1280:
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322:
285:
221:
201:
129:
100:
36:
6545:McTague, Carl (2014)
6469:
6298:
5617:
5132:
4935:
4802:
4755:
4669:
4569:
4491:
4432:
4328:
4308:
4285:
4207:
4156:A genus is called an
4143:
4106:
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2557:
2555:{\displaystyle L_{2}}
2513:
2377:
2348:
2322:
2282:
2217:-polynomials see or
2205:
1778:
1745:
1542:
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1506:
1504:{\displaystyle p_{k}}
1476:
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1368:{\displaystyle \Phi }
1343:
1341:{\displaystyle p_{k}}
1316:
1314:{\displaystyle z_{i}}
1281:
1279:{\displaystyle p_{k}}
1250:
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1012:
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562:
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500:{\displaystyle \Phi }
474:
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422:
420:{\displaystyle \Phi }
399:
364:
323:
286:
222:
202:
130:
101:
22:
6582:Friedrich Hirzebruch
6493:is a multiple of an
6322:
5632:
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4164:
4160:if the power series
4123:
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2289:Friedrich Hirzebruch
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1042:{\displaystyle Q(z)}
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4071:Weitzenbock formula
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3219:
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2138:
2035:
1932:
1519:. The power series
1051:formal power series
6629:"Pontryagin class"
6612:Milnor, Stasheff,
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4075:André Lichnerowicz
4029:
4027:
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2552:
2528:(or sometimes the
2508:
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2343:
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2237:Pontrjagin classes
2200:
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2072:
2021:
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1918:
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1852:
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1753:where the numbers
1740:
1635:
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1350:Pontryagin classes
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417:
407:The conditions on
394:
359:
318:
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197:
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96:
37:
6678:Complex manifolds
6646:"Elliptic genera"
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4482:
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4409:
4381:
4048:Rochlin's theorem
4042:The  genus of a
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3872:
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3414:
3164:
3110:
3038:
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2827:
2609:Since projective
2392:intersection form
2320:{\displaystyle M}
2305:fundamental class
2303:evaluated on the
2071:
1968:
1894:
1851:
1785:Bernoulli numbers
1732:
1712:
1693:
1620:
1615:
1609:
1592:
1321:. (The variables
942:
877:
809:
135:to each manifold
106:assigns a number
57:compact manifolds
49:ring homomorphism
6685:
6659:
6641:
6570:
6569:
6567:
6556:
6550:
6543:
6485:for the lattice
6473:
6471:
6470:
6465:
6463:
6459:
6458:
6456:
6439:
6438:
6437:
6416:
6415:
6399:
6396:
6367:
6365:
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6354:
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6300:
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5234:
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5227:
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5215:
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5213:
5212:
5185:
5184:
5169:
5168:
5136:
5134:
5133:
5128:
5126:
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5120:
5115:
5106:
5102:
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5088:
5068:
5067:
5058:
5057:
5048:
5044:
5031:
5030:
5007:
5006:
4997:
4993:
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4957:
4949:
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4937:
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