1465:
1041:
3686:
1460:{\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}}
3288:
2667:
1786:
1030:
4041:
3681:{\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}}
2251:
58:
spin systems. Informally, it says that in ferromagnetic spin systems, if the 'a-priori distribution' of the spin is invariant under spin flipping, the correlation of any monomial of the spins is non-negative; and the two point correlation of two monomial of the spins is non-negative.
4567:
62:
The inequality was proved by
Griffiths for Ising ferromagnets with two-body interactions, then generalised by Kelly and Sherman to interactions involving an arbitrary number of spins, and then by Griffiths to systems with arbitrary spins. A more general formulation was given by
2446:
769:
1650:
1903:
809:
3921:
618:
2923:
2741:
3192:
463:
2062:
3089:
4187:
This property can be shown in a hierarchical approximation, that differs from the full model by the absence of some interactions: arguing as above with the second
Griffiths inequality, the results carries over the full
3816:
4749:
131:
1562:
204:
4464:
4660:
1940:
2662:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}
297:
370:
3293:
2451:
2067:
1046:
2337:
673:
3277:
2407:
4264:
4148:
2023:
4078:
696:
1781:{\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}
1025:{\displaystyle e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}
4036:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}
4296:
4180:
2438:
2285:
2054:
1971:
1622:
517:
2364:
2788:
4454:
1642:
4591:
4426:
4369:
4349:
1797:
4400:
4323:
2246:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}
3120:
385:
2969:
2675:
376:
5157:
4201:. Besides, through Ginibre inequality, Kunz and Pfister proved the presence of a phase transition for the ferromagnetic XY model with interaction
3697:
4679:
4562:{\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}
82:
1492:
151:
4995:
4968:
4598:
1911:
5184:
231:
3873:
312:
5153:
4859:
4786:
639:
3208:
3858:
2290:
4204:
4088:
4194:
4050:
764:{\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle }
2369:
1976:
1599:. For the second Griffiths inequality, double the random variable, i.e. consider a second copy of the spin,
4824:
Kelly, D.J.; Sherman, S. (1968). "General
Griffiths' inequalities on correlations in Ising ferromagnets".
51:
5179:
31:
4269:
4153:
5119:
5077:
5027:
4918:
4871:
4833:
4798:
3827:
To recover the (second) Griffiths inequality, take Γ = {−1, +1}, where Λ is a lattice, and let
613:{\displaystyle \tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}}
539:
5108:"Correlation inequalities and the thermodynamic limit for classical and quantum continuous systems"
4301:
Aizenman and Simon used the
Ginibre inequality to prove that the two point spin correlation of the
3891:
3865:
2918:{\displaystyle \langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}
47:
5103:
2412:
2259:
2028:
1945:
5135:
5043:
4934:
4593:
of the XY model cannot be smaller than the double of the critical temperature of the Ising model
4198:
2342:
2866:
4991:
4964:
4431:
3835:
of polynomials with positive coefficients satisfies the assumptions of the
Ginibre inequality.
2771:
1602:
1627:
5127:
5085:
5061:
5035:
4926:
4879:
4841:
4806:
4765:
4576:
4405:
4354:
4328:
1898:{\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.}
469:
4985:
134:
5123:
5081:
5031:
4922:
4875:
4837:
4802:
4080:
is monotonically increasing with the volume; then it converges since it is bounded by 1.
3187:{\displaystyle \langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.}
458:{\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }f(\sigma )e^{-H(\sigma )}}
4385:
4308:
3894:
of the correlations of the ferromagnetic Ising model (with non-negative external field
3877:
5173:
5139:
5089:
5047:
5011:
4938:
3846:
3084:{\displaystyle \iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}
2736:{\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }
55:
4956:
4902:
3850:
64:
17:
5107:
5015:
4906:
4193:
The
Ginibre inequality provides the existence of the thermodynamic limit for the
5065:
4952:
4758:
4379:
3903:
This is because increasing the volume is the same as switching on new couplings
3843:
3107:
4987:
Statistical
Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction
1571:
is odd, and the same expression is obviously non-negative for even values of
785:
The first inequality is a special case of the second one, corresponding to
5156:(1972). "Rigorous results and theorems". In C. Domb and M.S.Green (ed.).
3811:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).}
5016:"Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet"
3872:
is the cone of real positive non-decreasing functions on Γ. This yields
5131:
5039:
4930:
690:
In a ferromagnetic spin system which is invariant under spin flipping,
633:
In a ferromagnetic spin system which is invariant under spin flipping,
4883:
4845:
4810:
4862:(1969). "Rigorous Results for Ising Ferromagnets of Arbitrary Spin".
3691:
Now the inequality follows from the assumption and from the identity
2758:
is an extension, found by Jean
Ginibre, of the Griffiths inequality.
4744:{\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}
4375:
by (i.e. has upper bound given by) the two point correlation of the
797:
Observe that the partition function is non-negative by definition.
4761:
that implies the existence of thermodynamic limit of correlations.
3831:
be a measure on Γ that is invariant under sign flipping. The cone
126:{\displaystyle \textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }}
4085:
The one-dimensional, ferromagnetic Ising model with interactions
1557:{\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}
199:{\displaystyle \textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}}
4768:
in spin systems, XY model, XYZ quantum chain) are reviewed in.
4655:{\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}
606:
1935:{\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle }
148:
is a list of lattice sites, possibly with duplicates, let
133:
be a configuration of (continuous or discrete) spins on a
4757:
There exists a version of the
Ginibre inequality for the
5068:(1980). "A comparison of plane rotor and Ising models".
292:{\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,}
155:
86:
4682:
4601:
4579:
4467:
4434:
4408:
4388:
4357:
4331:
4311:
4272:
4207:
4156:
4091:
4053:
3924:
3700:
3291:
3211:
3123:
2972:
2791:
2678:
2449:
2415:
2372:
2345:
2293:
2262:
2065:
2031:
1979:
1948:
1914:
1800:
1653:
1630:
1605:
1495:
1044:
812:
699:
642:
520:
388:
315:
234:
154:
85:
4961:
Quantum
Physics. A functional integral point of view
365:{\displaystyle Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}}
5162:. Vol. 1. New York: Academic Press. p. 7.
4743:
4654:
4585:
4561:
4448:
4420:
4394:
4363:
4343:
4317:
4290:
4258:
4174:
4142:
4072:
4035:
3810:
3680:
3271:
3186:
3083:
2917:
2735:
2661:
2432:
2401:
2358:
2331:
2279:
2245:
2048:
2017:
1965:
1934:
1897:
1780:
1636:
1616:
1556:
1459:
1024:
763:
667:
612:
457:
364:
291:
198:
125:
4789:(1967). "Correlations in Ising Ferromagnets. I".
668:{\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}
4907:"General formulation of Griffiths' inequalities"
3876:. For extension to partially ordered sets, see
3272:{\displaystyle Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}
27:Correlation inequality in statistical mechanics
4197:and spin correlations for the two-dimensional
40:Griffiths–Kelly–Sherman inequality
2332:{\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}
8:
4544:
4520:
4499:
4468:
4259:{\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}
4143:{\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}
4067:
4054:
4024:
4011:
4008:
3995:
3989:
3966:
3960:
3947:
3362:
3355:
3346:
3339:
3327:
3317:
3169:
3162:
3153:
3146:
3134:
3124:
2799:
2792:
2730:
2727:
2682:
2679:
1929:
1926:
1918:
1915:
1769:
1766:
1721:
1718:
1712:
1699:
1696:
1683:
1677:
1654:
1288:
1274:
1147:
1133:
1065:
1052:
930:
916:
758:
745:
742:
729:
723:
700:
656:
643:
395:
389:
107:
93:
4073:{\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }
2672:The first Griffiths inequality applied to
1925:
1921:
1486:. Now, by invariance under spin flipping,
4990:. Cambridge: Cambridge University Press.
4719:
4692:
4687:
4681:
4636:
4635:
4630:
4611:
4606:
4600:
4578:
4547:
4537:
4527:
4502:
4492:
4487:
4477:
4472:
4466:
4438:
4433:
4407:
4387:
4356:
4330:
4310:
4271:
4247:
4242:
4227:
4212:
4206:
4155:
4131:
4126:
4111:
4096:
4090:
4061:
4052:
4018:
4002:
3983:
3973:
3954:
3938:
3925:
3923:
3762:
3716:
3699:
3654:
3614:
3553:
3529:
3518:
3470:
3405:
3365:
3349:
3330:
3306:
3301:
3292:
3290:
3250:
3232:
3216:
3210:
3172:
3156:
3137:
3122:
3057:
3035:
3022:
3011:
2991:
2971:
2896:
2878:
2865:
2864:
2848:
2830:
2802:
2790:
2715:
2702:
2689:
2677:
2640:
2624:
2608:
2600:
2599:
2563:
2543:
2530:
2507:
2491:
2475:
2458:
2450:
2448:
2414:
2390:
2377:
2371:
2350:
2344:
2292:
2287:is invariant under spin flipping because
2261:
2230:
2214:
2198:
2190:
2189:
2153:
2143:
2133:
2110:
2097:
2084:
2074:
2066:
2064:
2030:
1978:
1947:
1913:
1880:
1867:
1851:
1831:
1818:
1805:
1799:
1754:
1741:
1728:
1706:
1690:
1671:
1661:
1652:
1629:
1604:
1533:
1528:
1518:
1494:
1430:
1420:
1398:
1393:
1388:
1372:
1338:
1325:
1320:
1315:
1309:
1303:
1291:
1281:
1273:
1251:
1246:
1241:
1231:
1197:
1184:
1179:
1174:
1168:
1162:
1150:
1140:
1132:
1107:
1097:
1059:
1045:
1043:
1004:
990:
985:
980:
968:
963:
958:
951:
945:
933:
923:
915:
891:
886:
876:
871:
864:
852:
842:
817:
811:
752:
736:
717:
707:
698:
650:
641:
580:
546:
534:
525:
519:
507:is preserved under the sign flipping map
437:
415:
401:
387:
344:
314:
277:
267:
257:
233:
189:
173:
160:
153:
110:
100:
84:
5159:Phase Transitions and Critical Phenomena
2402:{\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}
4778:
2628:
2495:
2218:
2018:{\displaystyle -H(\sigma )-H(\sigma ')}
3916:. By the second Griffiths inequality
3898:and free boundary conditions) exists.
302:where the sum is over lists of sites
7:
1478:stands for the number of times that
225:be an energy functional of the form
4897:
4895:
4893:
4640:
4637:
3931:
3927:
3530:
1379:
117:
25:
4984:Friedli, S.; Velenik, Y. (2017).
4291:{\displaystyle 2<\alpha <4}
4175:{\displaystyle 1<\alpha <2}
2963:, and for any choice of signs ±,
1624:, with the same distribution of
4488:
4473:
4305:classical XY model in dimension
4150:displays a phase transition if
3510:
3383:
1846:
206:be the product of the spins in
4726:
4710:
4243:
4228:
4127:
4112:
3802:
3799:
3793:
3784:
3778:
3772:
3756:
3753:
3747:
3738:
3732:
3726:
3710:
3704:
3651:
3647:
3641:
3632:
3626:
3617:
3611:
3608:
3602:
3593:
3587:
3581:
3578:
3572:
3566:
3560:
3550:
3544:
3498:
3492:
3483:
3477:
3463:
3460:
3454:
3445:
3439:
3433:
3430:
3424:
3418:
3412:
3402:
3396:
3263:
3257:
3245:
3239:
3072:
3069:
3063:
3047:
3041:
3028:
3004:
2998:
2988:
2982:
2932:be a set of real functions on
2909:
2903:
2891:
2885:
2861:
2855:
2843:
2837:
2823:
2817:
2724:
2695:
2609:
2601:
2596:
2586:
2326:
2315:
2306:
2300:
2199:
2191:
2186:
2176:
2119:
2090:
2012:
2001:
1992:
1986:
1763:
1734:
1543:
1537:
1511:
1505:
1442:
1436:
1410:
1404:
1365:
1359:
1224:
1218:
1120:
1114:
1090:
1084:
830:
824:
450:
444:
430:
424:
357:
351:
337:
331:
244:
238:
1:
4963:. New York: Springer-Verlag.
2750:Extension: Ginibre inequality
493:invariant under spin flipping
5090:10.1016/0375-9601(80)90493-4
2433:{\displaystyle \tau ,\tau '}
2280:{\displaystyle \tau ,\tau '}
2049:{\displaystyle \tau ,\tau '}
1966:{\displaystyle \tau ,\tau '}
1791:Introduce the new variables
3859:positive definite functions
2440:with positive coefficients
2359:{\displaystyle \sigma _{A}}
2339:is. Finally the monomials
2056:with positive coefficients
686:Second Griffiths inequality
5201:
4428:, and inverse temperature
3874:Chebyshev's sum inequality
2746:More details are in and.
1597:Proof of second inequality
629:First Griffiths inequality
479:if, for any list of sites
801:Proof of first inequality
624:Statement of inequalities
4449:{\displaystyle \beta /2}
4351:and inverse temperature
1617:{\displaystyle \sigma '}
67:, and is now called the
38:, sometimes also called
2256:Besides the measure on
1637:{\displaystyle \sigma }
1586:>≥0, hence also <
774:for any lists of spins
491:. The system is called
4745:
4656:
4587:
4586:{\displaystyle \beta }
4563:
4450:
4422:
4421:{\displaystyle J>0}
4396:
4365:
4364:{\displaystyle \beta }
4345:
4344:{\displaystyle J>0}
4319:
4292:
4260:
4176:
4144:
4074:
4037:
3812:
3682:
3534:
3273:
3188:
3085:
3027:
2919:
2737:
2663:
2434:
2403:
2360:
2333:
2281:
2247:
2050:
2019:
1967:
1936:
1899:
1782:
1638:
1618:
1558:
1461:
1026:
765:
678:for any list of spins
669:
614:
459:
366:
293:
200:
127:
52:correlation inequality
5185:Statistical mechanics
5106:; Park, Y.M. (1978).
4746:
4657:
4588:
4564:
4451:
4423:
4397:
4366:
4346:
4320:
4293:
4261:
4177:
4145:
4075:
4038:
3912:for a certain subset
3813:
3683:
3514:
3274:
3189:
3086:
3007:
2936:such that. for every
2920:
2738:
2664:
2435:
2404:
2361:
2334:
2282:
2248:
2051:
2020:
1968:
1937:
1900:
1783:
1639:
1619:
1559:
1462:
1027:
766:
670:
615:
475:The system is called
460:
367:
294:
201:
128:
32:statistical mechanics
4764:Other applications (
4680:
4599:
4577:
4465:
4432:
4406:
4386:
4355:
4329:
4309:
4270:
4205:
4154:
4089:
4051:
3922:
3857:is the cone of real
3698:
3289:
3209:
3121:
2970:
2789:
2676:
2447:
2413:
2370:
2343:
2291:
2260:
2063:
2029:
2025:is a polynomial in
1977:
1946:
1942:is ferromagnetic in
1912:
1798:
1651:
1628:
1603:
1493:
1042:
810:
697:
640:
518:
386:
313:
232:
152:
83:
36:Griffiths inequality
5124:1978CMaPh..59..235F
5082:1980PhLA...76..281A
5032:1969CMaPh..12...91D
4923:1970CMaPh..16..310G
4876:1969JMP....10.1559G
4838:1968JMP.....9..466K
4803:1967JMP.....8..478G
4700:
4645:
4619:
4573:Hence the critical
3892:thermodynamic limit
3866:totally ordered set
3311:
2723:
2648:
2551:
2515:
2409:are polynomials in
2398:
2238:
2118:
1908:The doubled system
1888:
1859:
1839:
1762:
1547:
1446:
1332:
1258:
1191:
997:
975:
896:
881:
48:Robert B. Griffiths
5132:10.1007/BF01611505
5040:10.1007/BF01645907
4931:10.1007/BF01646537
4741:
4683:
4652:
4626:
4602:
4583:
4559:
4446:
4418:
4392:
4361:
4341:
4315:
4288:
4256:
4199:classical XY model
4172:
4140:
4070:
4033:
3808:
3678:
3676:
3297:
3269:
3184:
3081:
2915:
2756:Ginibre inequality
2743:gives the result.
2733:
2711:
2659:
2657:
2636:
2574:
2539:
2503:
2486:
2430:
2399:
2386:
2356:
2329:
2277:
2243:
2241:
2226:
2164:
2138:
2106:
2079:
2046:
2015:
1963:
1932:
1895:
1876:
1847:
1827:
1778:
1750:
1634:
1614:
1554:
1524:
1523:
1457:
1455:
1384:
1383:
1311:
1308:
1298:
1237:
1170:
1167:
1157:
1022:
976:
954:
950:
940:
882:
867:
863:
847:
761:
665:
610:
605:
455:
420:
377:partition function
362:
289:
262:
221:on the spins; let
196:
195:
184:
123:
122:
69:Ginibre inequality
18:Ginibre inequality
4884:10.1063/1.1665005
4846:10.1063/1.1664600
4811:10.1063/1.1705219
4766:phase transitions
4737:
4724:
4670:= 2 and coupling
4648:
4395:{\displaystyle D}
4318:{\displaystyle D}
3945:
3770:
3724:
3669:
2772:probability space
2651:
2559:
2518:
2471:
2149:
2129:
2070:
1891:
1842:
1774:
1514:
1449:
1368:
1348:
1299:
1269:
1207:
1158:
1128:
1018:
1014:
941:
911:
906:
848:
838:
411:
409:
285:
253:
169:
16:(Redirected from
5192:
5164:
5163:
5150:
5144:
5143:
5112:Comm. Math. Phys
5100:
5094:
5093:
5076:(3–4): 281–282.
5058:
5052:
5051:
5020:Comm. Math. Phys
5008:
5002:
5001:
4981:
4975:
4974:
4949:
4943:
4942:
4911:Comm. Math. Phys
4899:
4888:
4887:
4870:(9): 1559–1565.
4856:
4850:
4849:
4821:
4815:
4814:
4783:
4750:
4748:
4747:
4742:
4735:
4725:
4720:
4699:
4691:
4674:= 1, this gives
4661:
4659:
4658:
4653:
4646:
4644:
4643:
4634:
4618:
4610:
4592:
4590:
4589:
4584:
4568:
4566:
4565:
4560:
4558:
4557:
4542:
4541:
4532:
4531:
4516:
4515:
4497:
4496:
4491:
4482:
4481:
4476:
4455:
4453:
4452:
4447:
4442:
4427:
4425:
4424:
4419:
4401:
4399:
4398:
4393:
4370:
4368:
4367:
4362:
4350:
4348:
4347:
4342:
4324:
4322:
4321:
4316:
4297:
4295:
4294:
4289:
4265:
4263:
4262:
4257:
4255:
4254:
4246:
4231:
4223:
4222:
4181:
4179:
4178:
4173:
4149:
4147:
4146:
4141:
4139:
4138:
4130:
4115:
4107:
4106:
4079:
4077:
4076:
4071:
4066:
4065:
4042:
4040:
4039:
4034:
4023:
4022:
4007:
4006:
3988:
3987:
3978:
3977:
3959:
3958:
3946:
3944:
3943:
3942:
3926:
3817:
3815:
3814:
3809:
3771:
3763:
3725:
3717:
3687:
3685:
3684:
3679:
3677:
3670:
3668:
3660:
3659:
3658:
3615:
3533:
3528:
3506:
3502:
3501:
3379:
3375:
3371:
3370:
3369:
3354:
3353:
3335:
3334:
3310:
3305:
3295:
3278:
3276:
3275:
3270:
3249:
3248:
3221:
3220:
3193:
3191:
3190:
3185:
3177:
3176:
3161:
3160:
3142:
3141:
3090:
3088:
3087:
3082:
3062:
3061:
3040:
3039:
3026:
3021:
2924:
2922:
2921:
2916:
2895:
2894:
2870:
2869:
2847:
2846:
2807:
2806:
2774:. For functions
2742:
2740:
2739:
2734:
2719:
2707:
2706:
2694:
2693:
2668:
2666:
2665:
2660:
2658:
2649:
2644:
2635:
2634:
2619:
2615:
2614:
2613:
2612:
2604:
2573:
2547:
2535:
2534:
2516:
2511:
2502:
2501:
2485:
2463:
2462:
2439:
2437:
2436:
2431:
2429:
2408:
2406:
2405:
2400:
2394:
2382:
2381:
2365:
2363:
2362:
2357:
2355:
2354:
2338:
2336:
2335:
2330:
2325:
2286:
2284:
2283:
2278:
2276:
2252:
2250:
2249:
2244:
2242:
2234:
2225:
2224:
2209:
2205:
2204:
2203:
2202:
2194:
2163:
2148:
2147:
2137:
2114:
2102:
2101:
2089:
2088:
2078:
2055:
2053:
2052:
2047:
2045:
2024:
2022:
2021:
2016:
2011:
1972:
1970:
1969:
1964:
1962:
1941:
1939:
1938:
1933:
1904:
1902:
1901:
1896:
1889:
1884:
1872:
1871:
1855:
1840:
1835:
1823:
1822:
1810:
1809:
1787:
1785:
1784:
1779:
1772:
1758:
1746:
1745:
1733:
1732:
1711:
1710:
1695:
1694:
1676:
1675:
1666:
1665:
1643:
1641:
1640:
1635:
1623:
1621:
1620:
1615:
1613:
1567:if at least one
1563:
1561:
1560:
1555:
1546:
1532:
1522:
1466:
1464:
1463:
1458:
1456:
1447:
1445:
1435:
1434:
1425:
1424:
1403:
1402:
1392:
1382:
1349:
1347:
1343:
1342:
1331:
1330:
1329:
1319:
1310:
1307:
1297:
1296:
1295:
1286:
1285:
1262:
1257:
1256:
1255:
1245:
1236:
1235:
1208:
1206:
1202:
1201:
1190:
1189:
1188:
1178:
1169:
1166:
1156:
1155:
1154:
1145:
1144:
1124:
1123:
1102:
1101:
1064:
1063:
1031:
1029:
1028:
1023:
1016:
1015:
1013:
1009:
1008:
998:
996:
995:
994:
984:
974:
973:
972:
962:
952:
949:
939:
938:
937:
928:
927:
907:
905:
897:
895:
890:
880:
875:
865:
862:
846:
834:
833:
770:
768:
767:
762:
757:
756:
741:
740:
722:
721:
712:
711:
674:
672:
671:
666:
655:
654:
619:
617:
616:
611:
609:
608:
585:
584:
551:
550:
530:
529:
470:ensemble average
464:
462:
461:
456:
454:
453:
419:
410:
402:
371:
369:
368:
363:
361:
360:
298:
296:
295:
290:
283:
282:
281:
272:
271:
261:
205:
203:
202:
197:
194:
193:
183:
165:
164:
132:
130:
129:
124:
121:
120:
105:
104:
21:
5200:
5199:
5195:
5194:
5193:
5191:
5190:
5189:
5170:
5169:
5168:
5167:
5154:Griffiths, R.B.
5152:
5151:
5147:
5102:
5101:
5097:
5060:
5059:
5055:
5010:
5009:
5005:
4998:
4983:
4982:
4978:
4971:
4951:
4950:
4946:
4901:
4900:
4891:
4860:Griffiths, R.B.
4858:
4857:
4853:
4823:
4822:
4818:
4787:Griffiths, R.B.
4785:
4784:
4780:
4775:
4678:
4677:
4597:
4596:
4575:
4574:
4543:
4533:
4523:
4498:
4486:
4471:
4463:
4462:
4430:
4429:
4404:
4403:
4384:
4383:
4353:
4352:
4327:
4326:
4307:
4306:
4268:
4267:
4241:
4208:
4203:
4202:
4152:
4151:
4125:
4092:
4087:
4086:
4057:
4049:
4048:
4014:
3998:
3979:
3969:
3950:
3934:
3930:
3920:
3919:
3911:
3887:
3824:
3696:
3695:
3675:
3674:
3661:
3650:
3616:
3504:
3503:
3466:
3377:
3376:
3361:
3345:
3326:
3316:
3312:
3287:
3286:
3228:
3212:
3207:
3206:
3200:
3168:
3152:
3133:
3119:
3118:
3053:
3031:
2968:
2967:
2958:
2949:
2942:
2874:
2826:
2798:
2787:
2786:
2764:
2752:
2698:
2685:
2674:
2673:
2656:
2655:
2620:
2595:
2579:
2575:
2552:
2526:
2523:
2522:
2487:
2464:
2454:
2445:
2444:
2422:
2411:
2410:
2373:
2368:
2367:
2346:
2341:
2340:
2318:
2289:
2288:
2269:
2258:
2257:
2240:
2239:
2210:
2185:
2169:
2165:
2139:
2122:
2093:
2080:
2061:
2060:
2038:
2027:
2026:
2004:
1975:
1974:
1955:
1944:
1943:
1910:
1909:
1863:
1814:
1801:
1796:
1795:
1737:
1724:
1702:
1686:
1667:
1657:
1649:
1648:
1626:
1625:
1606:
1601:
1600:
1591:
1584:
1491:
1490:
1475:
1454:
1453:
1426:
1416:
1394:
1334:
1333:
1321:
1287:
1277:
1260:
1259:
1247:
1227:
1193:
1192:
1180:
1146:
1136:
1103:
1093:
1068:
1055:
1040:
1039:
1000:
999:
986:
964:
953:
929:
919:
898:
866:
813:
808:
807:
795:
748:
732:
713:
703:
695:
694:
688:
646:
638:
637:
631:
626:
604:
603:
589:
576:
570:
569:
555:
542:
535:
521:
516:
515:
488:
468:stands for the
433:
384:
383:
340:
311:
310:
273:
263:
230:
229:
185:
156:
150:
149:
106:
96:
81:
80:
77:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
5198:
5196:
5188:
5187:
5182:
5172:
5171:
5166:
5165:
5145:
5118:(3): 235–266.
5095:
5053:
5003:
4996:
4976:
4969:
4944:
4917:(4): 310–328.
4889:
4851:
4832:(3): 466–484.
4816:
4797:(3): 478–483.
4777:
4776:
4774:
4771:
4770:
4769:
4762:
4754:
4753:
4752:
4751:
4740:
4734:
4731:
4728:
4723:
4718:
4715:
4712:
4709:
4706:
4703:
4698:
4695:
4690:
4686:
4664:
4663:
4662:
4651:
4642:
4639:
4633:
4629:
4625:
4622:
4617:
4614:
4609:
4605:
4582:
4571:
4570:
4569:
4556:
4553:
4550:
4546:
4540:
4536:
4530:
4526:
4522:
4519:
4514:
4511:
4508:
4505:
4501:
4495:
4490:
4485:
4480:
4475:
4470:
4457:
4456:
4445:
4441:
4437:
4417:
4414:
4411:
4391:
4360:
4340:
4337:
4334:
4314:
4299:
4287:
4284:
4281:
4278:
4275:
4253:
4250:
4245:
4240:
4237:
4234:
4230:
4226:
4221:
4218:
4215:
4211:
4190:
4189:
4184:
4183:
4171:
4168:
4165:
4162:
4159:
4137:
4134:
4129:
4124:
4121:
4118:
4114:
4110:
4105:
4102:
4099:
4095:
4082:
4081:
4069:
4064:
4060:
4056:
4045:
4044:
4043:
4032:
4029:
4026:
4021:
4017:
4013:
4010:
4005:
4001:
3997:
3994:
3991:
3986:
3982:
3976:
3972:
3968:
3965:
3962:
3957:
3953:
3949:
3941:
3937:
3933:
3929:
3907:
3900:
3899:
3886:
3883:
3882:
3881:
3878:FKG inequality
3862:
3836:
3823:
3820:
3819:
3818:
3807:
3804:
3801:
3798:
3795:
3792:
3789:
3786:
3783:
3780:
3777:
3774:
3769:
3766:
3761:
3758:
3755:
3752:
3749:
3746:
3743:
3740:
3737:
3734:
3731:
3728:
3723:
3720:
3715:
3712:
3709:
3706:
3703:
3689:
3688:
3673:
3667:
3664:
3657:
3653:
3649:
3646:
3643:
3640:
3637:
3634:
3631:
3628:
3625:
3622:
3619:
3613:
3610:
3607:
3604:
3601:
3598:
3595:
3592:
3589:
3586:
3583:
3580:
3577:
3574:
3571:
3568:
3565:
3562:
3559:
3556:
3552:
3549:
3546:
3543:
3540:
3537:
3532:
3527:
3524:
3521:
3517:
3513:
3509:
3507:
3505:
3500:
3497:
3494:
3491:
3488:
3485:
3482:
3479:
3476:
3473:
3469:
3465:
3462:
3459:
3456:
3453:
3450:
3447:
3444:
3441:
3438:
3435:
3432:
3429:
3426:
3423:
3420:
3417:
3414:
3411:
3408:
3404:
3401:
3398:
3395:
3392:
3389:
3386:
3382:
3380:
3378:
3374:
3368:
3364:
3360:
3357:
3352:
3348:
3344:
3341:
3338:
3333:
3329:
3325:
3322:
3319:
3315:
3309:
3304:
3300:
3296:
3294:
3280:
3279:
3268:
3265:
3262:
3259:
3256:
3253:
3247:
3244:
3241:
3238:
3235:
3231:
3227:
3224:
3219:
3215:
3199:
3196:
3195:
3194:
3183:
3180:
3175:
3171:
3167:
3164:
3159:
3155:
3151:
3148:
3145:
3140:
3136:
3132:
3129:
3126:
3094:Then, for any
3092:
3091:
3080:
3077:
3074:
3071:
3068:
3065:
3060:
3056:
3052:
3049:
3046:
3043:
3038:
3034:
3030:
3025:
3020:
3017:
3014:
3010:
3006:
3003:
3000:
2997:
2994:
2990:
2987:
2984:
2981:
2978:
2975:
2954:
2947:
2940:
2926:
2925:
2914:
2911:
2908:
2905:
2902:
2899:
2893:
2890:
2887:
2884:
2881:
2877:
2873:
2868:
2863:
2860:
2857:
2854:
2851:
2845:
2842:
2839:
2836:
2833:
2829:
2825:
2822:
2819:
2816:
2813:
2810:
2805:
2801:
2797:
2794:
2763:
2760:
2751:
2748:
2732:
2729:
2726:
2722:
2718:
2714:
2710:
2705:
2701:
2697:
2692:
2688:
2684:
2681:
2670:
2669:
2654:
2647:
2643:
2639:
2633:
2630:
2627:
2623:
2618:
2611:
2607:
2603:
2598:
2594:
2591:
2588:
2585:
2582:
2578:
2572:
2569:
2566:
2562:
2558:
2555:
2553:
2550:
2546:
2542:
2538:
2533:
2529:
2525:
2524:
2521:
2514:
2510:
2506:
2500:
2497:
2494:
2490:
2484:
2481:
2478:
2474:
2470:
2467:
2465:
2461:
2457:
2453:
2452:
2428:
2425:
2421:
2418:
2397:
2393:
2389:
2385:
2380:
2376:
2353:
2349:
2328:
2324:
2321:
2317:
2314:
2311:
2308:
2305:
2302:
2299:
2296:
2275:
2272:
2268:
2265:
2254:
2253:
2237:
2233:
2229:
2223:
2220:
2217:
2213:
2208:
2201:
2197:
2193:
2188:
2184:
2181:
2178:
2175:
2172:
2168:
2162:
2159:
2156:
2152:
2146:
2142:
2136:
2132:
2128:
2125:
2123:
2121:
2117:
2113:
2109:
2105:
2100:
2096:
2092:
2087:
2083:
2077:
2073:
2069:
2068:
2044:
2041:
2037:
2034:
2014:
2010:
2007:
2003:
2000:
1997:
1994:
1991:
1988:
1985:
1982:
1961:
1958:
1954:
1951:
1931:
1928:
1924:
1920:
1917:
1906:
1905:
1894:
1887:
1883:
1879:
1875:
1870:
1866:
1862:
1858:
1854:
1850:
1845:
1838:
1834:
1830:
1826:
1821:
1817:
1813:
1808:
1804:
1789:
1788:
1777:
1771:
1768:
1765:
1761:
1757:
1753:
1749:
1744:
1740:
1736:
1731:
1727:
1723:
1720:
1717:
1714:
1709:
1705:
1701:
1698:
1693:
1689:
1685:
1682:
1679:
1674:
1670:
1664:
1660:
1656:
1633:
1612:
1609:
1589:
1582:
1565:
1564:
1553:
1550:
1545:
1542:
1539:
1536:
1531:
1527:
1521:
1517:
1513:
1510:
1507:
1504:
1501:
1498:
1473:
1468:
1467:
1452:
1444:
1441:
1438:
1433:
1429:
1423:
1419:
1415:
1412:
1409:
1406:
1401:
1397:
1391:
1387:
1381:
1378:
1375:
1371:
1367:
1364:
1361:
1358:
1355:
1352:
1346:
1341:
1337:
1328:
1324:
1318:
1314:
1306:
1302:
1294:
1290:
1284:
1280:
1276:
1272:
1268:
1265:
1263:
1261:
1254:
1250:
1244:
1240:
1234:
1230:
1226:
1223:
1220:
1217:
1214:
1211:
1205:
1200:
1196:
1187:
1183:
1177:
1173:
1165:
1161:
1153:
1149:
1143:
1139:
1135:
1131:
1127:
1122:
1119:
1116:
1113:
1110:
1106:
1100:
1096:
1092:
1089:
1086:
1083:
1080:
1077:
1074:
1071:
1069:
1067:
1062:
1058:
1054:
1051:
1048:
1047:
1033:
1032:
1021:
1012:
1007:
1003:
993:
989:
983:
979:
971:
967:
961:
957:
948:
944:
936:
932:
926:
922:
918:
914:
910:
904:
901:
894:
889:
885:
879:
874:
870:
861:
858:
855:
851:
845:
841:
837:
832:
829:
826:
823:
820:
816:
794:
791:
772:
771:
760:
755:
751:
747:
744:
739:
735:
731:
728:
725:
720:
716:
710:
706:
702:
687:
684:
676:
675:
664:
661:
658:
653:
649:
645:
630:
627:
625:
622:
621:
620:
607:
602:
599:
596:
593:
590:
588:
583:
579:
575:
572:
571:
568:
565:
562:
559:
556:
554:
549:
545:
541:
540:
538:
533:
528:
524:
503:, the measure
486:
466:
465:
452:
449:
446:
443:
440:
436:
432:
429:
426:
423:
418:
414:
408:
405:
400:
397:
394:
391:
373:
372:
359:
356:
353:
350:
347:
343:
339:
336:
333:
330:
327:
324:
321:
318:
300:
299:
288:
280:
276:
270:
266:
260:
256:
252:
249:
246:
243:
240:
237:
192:
188:
182:
179:
176:
172:
168:
163:
159:
119:
116:
113:
109:
103:
99:
95:
92:
89:
76:
73:
46:, named after
44:GKS inequality
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5197:
5186:
5183:
5181:
5178:
5177:
5175:
5161:
5160:
5155:
5149:
5146:
5141:
5137:
5133:
5129:
5125:
5121:
5117:
5113:
5109:
5105:
5099:
5096:
5091:
5087:
5083:
5079:
5075:
5071:
5070:Phys. Lett. A
5067:
5063:
5057:
5054:
5049:
5045:
5041:
5037:
5033:
5029:
5026:(2): 91–107.
5025:
5021:
5017:
5013:
5007:
5004:
4999:
4997:9781107184824
4993:
4989:
4988:
4980:
4977:
4972:
4970:0-387-96476-2
4966:
4962:
4958:
4954:
4948:
4945:
4940:
4936:
4932:
4928:
4924:
4920:
4916:
4912:
4908:
4904:
4898:
4896:
4894:
4890:
4885:
4881:
4877:
4873:
4869:
4865:
4864:J. Math. Phys
4861:
4855:
4852:
4847:
4843:
4839:
4835:
4831:
4827:
4826:J. Math. Phys
4820:
4817:
4812:
4808:
4804:
4800:
4796:
4792:
4791:J. Math. Phys
4788:
4782:
4779:
4772:
4767:
4763:
4760:
4756:
4755:
4738:
4732:
4729:
4721:
4716:
4713:
4707:
4704:
4701:
4696:
4693:
4688:
4684:
4676:
4675:
4673:
4669:
4666:in dimension
4665:
4649:
4631:
4627:
4623:
4620:
4615:
4612:
4607:
4603:
4595:
4594:
4580:
4572:
4554:
4551:
4548:
4538:
4534:
4528:
4524:
4517:
4512:
4509:
4506:
4503:
4493:
4483:
4478:
4461:
4460:
4459:
4458:
4443:
4439:
4435:
4415:
4412:
4409:
4389:
4382:in dimension
4381:
4378:
4377:ferromagnetic
4374:
4358:
4338:
4335:
4332:
4312:
4304:
4303:ferromagnetic
4300:
4285:
4282:
4279:
4276:
4273:
4251:
4248:
4238:
4235:
4232:
4224:
4219:
4216:
4213:
4209:
4200:
4196:
4192:
4191:
4186:
4185:
4169:
4166:
4163:
4160:
4157:
4135:
4132:
4122:
4119:
4116:
4108:
4103:
4100:
4097:
4093:
4084:
4083:
4062:
4058:
4046:
4030:
4027:
4019:
4015:
4003:
3999:
3992:
3984:
3980:
3974:
3970:
3963:
3955:
3951:
3939:
3935:
3918:
3917:
3915:
3910:
3906:
3902:
3901:
3897:
3893:
3889:
3888:
3884:
3879:
3875:
3871:
3867:
3863:
3860:
3856:
3852:
3848:
3847:compact group
3845:
3841:
3837:
3834:
3830:
3826:
3825:
3821:
3805:
3796:
3790:
3787:
3781:
3775:
3767:
3764:
3759:
3750:
3744:
3741:
3735:
3729:
3721:
3718:
3713:
3707:
3701:
3694:
3693:
3692:
3671:
3665:
3662:
3655:
3644:
3638:
3635:
3629:
3623:
3620:
3605:
3599:
3596:
3590:
3584:
3575:
3569:
3563:
3557:
3554:
3547:
3541:
3538:
3535:
3525:
3522:
3519:
3515:
3511:
3508:
3495:
3489:
3486:
3480:
3474:
3471:
3467:
3457:
3451:
3448:
3442:
3436:
3427:
3421:
3415:
3409:
3406:
3399:
3393:
3390:
3387:
3384:
3381:
3372:
3366:
3358:
3350:
3342:
3336:
3331:
3323:
3320:
3313:
3307:
3302:
3298:
3285:
3284:
3283:
3266:
3260:
3254:
3251:
3242:
3236:
3233:
3229:
3225:
3222:
3217:
3213:
3205:
3204:
3203:
3197:
3181:
3178:
3173:
3165:
3157:
3149:
3143:
3138:
3130:
3127:
3117:
3116:
3115:
3113:
3110:generated by
3109:
3105:
3101:
3097:
3078:
3075:
3066:
3058:
3054:
3050:
3044:
3036:
3032:
3023:
3018:
3015:
3012:
3008:
3001:
2995:
2992:
2985:
2979:
2976:
2973:
2966:
2965:
2964:
2962:
2957:
2953:
2946:
2939:
2935:
2931:
2912:
2906:
2900:
2897:
2888:
2882:
2879:
2875:
2871:
2858:
2852:
2849:
2840:
2834:
2831:
2827:
2820:
2814:
2811:
2808:
2803:
2795:
2785:
2784:
2783:
2782:on Γ, denote
2781:
2777:
2773:
2769:
2766:Let (Γ,
2761:
2759:
2757:
2749:
2747:
2744:
2720:
2716:
2712:
2708:
2703:
2699:
2690:
2686:
2652:
2645:
2641:
2637:
2631:
2625:
2621:
2616:
2605:
2592:
2589:
2583:
2580:
2576:
2570:
2567:
2564:
2560:
2556:
2554:
2548:
2544:
2540:
2536:
2531:
2527:
2519:
2512:
2508:
2504:
2498:
2492:
2488:
2482:
2479:
2476:
2472:
2468:
2466:
2459:
2455:
2443:
2442:
2441:
2426:
2423:
2419:
2416:
2395:
2391:
2387:
2383:
2378:
2374:
2351:
2347:
2322:
2319:
2312:
2309:
2303:
2297:
2294:
2273:
2270:
2266:
2263:
2235:
2231:
2227:
2221:
2215:
2211:
2206:
2195:
2182:
2179:
2173:
2170:
2166:
2160:
2157:
2154:
2150:
2144:
2140:
2134:
2130:
2126:
2124:
2115:
2111:
2107:
2103:
2098:
2094:
2085:
2081:
2075:
2071:
2059:
2058:
2057:
2042:
2039:
2035:
2032:
2008:
2005:
1998:
1995:
1989:
1983:
1980:
1959:
1956:
1952:
1949:
1922:
1892:
1885:
1881:
1877:
1873:
1868:
1864:
1860:
1856:
1852:
1848:
1843:
1836:
1832:
1828:
1824:
1819:
1815:
1811:
1806:
1802:
1794:
1793:
1792:
1775:
1759:
1755:
1751:
1747:
1742:
1738:
1729:
1725:
1715:
1707:
1703:
1691:
1687:
1680:
1672:
1668:
1662:
1658:
1647:
1646:
1645:
1631:
1610:
1607:
1598:
1594:
1592:
1585:
1578:
1575:. Therefore,
1574:
1570:
1551:
1548:
1540:
1534:
1529:
1525:
1519:
1515:
1508:
1502:
1499:
1496:
1489:
1488:
1487:
1485:
1481:
1477:
1450:
1439:
1431:
1427:
1421:
1417:
1413:
1407:
1399:
1395:
1389:
1385:
1376:
1373:
1369:
1362:
1356:
1353:
1350:
1344:
1339:
1335:
1326:
1322:
1316:
1312:
1304:
1300:
1292:
1282:
1278:
1270:
1266:
1264:
1252:
1248:
1242:
1238:
1232:
1228:
1221:
1215:
1212:
1209:
1203:
1198:
1194:
1185:
1181:
1175:
1171:
1163:
1159:
1151:
1141:
1137:
1129:
1125:
1117:
1111:
1108:
1104:
1098:
1094:
1087:
1081:
1078:
1075:
1072:
1070:
1060:
1056:
1049:
1038:
1037:
1036:
1019:
1010:
1005:
1001:
991:
987:
981:
977:
969:
965:
959:
955:
946:
942:
934:
924:
920:
912:
908:
902:
899:
892:
887:
883:
877:
872:
868:
859:
856:
853:
849:
843:
839:
835:
827:
821:
818:
814:
806:
805:
804:
802:
798:
792:
790:
788:
783:
781:
777:
753:
749:
737:
733:
726:
718:
714:
708:
704:
693:
692:
691:
685:
683:
681:
662:
659:
651:
647:
636:
635:
634:
628:
623:
600:
597:
594:
591:
586:
581:
577:
573:
566:
563:
560:
557:
552:
547:
543:
536:
531:
526:
522:
514:
513:
512:
510:
506:
502:
498:
494:
490:
482:
478:
477:ferromagnetic
473:
471:
447:
441:
438:
434:
427:
421:
416:
412:
406:
403:
398:
392:
382:
381:
380:
378:
354:
348:
345:
341:
334:
328:
325:
322:
319:
316:
309:
308:
307:
305:
286:
278:
274:
268:
264:
258:
254:
250:
247:
241:
235:
228:
227:
226:
224:
220:
216:
211:
209:
190:
186:
180:
177:
174:
170:
166:
161:
157:
147:
143:
139:
136:
114:
111:
101:
97:
90:
87:
74:
72:
70:
66:
60:
57:
56:ferromagnetic
53:
49:
45:
41:
37:
33:
19:
5180:Inequalities
5158:
5148:
5115:
5111:
5104:Fröhlich, J.
5098:
5073:
5069:
5062:Aizenman, M.
5056:
5023:
5019:
5006:
4986:
4979:
4960:
4947:
4914:
4910:
4867:
4863:
4854:
4829:
4825:
4819:
4794:
4790:
4781:
4671:
4667:
4376:
4372:
4302:
3913:
3908:
3904:
3895:
3885:Applications
3869:
3854:
3851:Haar measure
3839:
3832:
3828:
3690:
3281:
3201:
3111:
3103:
3099:
3095:
3093:
2960:
2955:
2951:
2944:
2937:
2933:
2929:
2927:
2779:
2775:
2767:
2765:
2755:
2753:
2745:
2671:
2255:
1907:
1790:
1596:
1595:
1587:
1580:
1576:
1572:
1568:
1566:
1483:
1479:
1471:
1469:
1034:
800:
799:
796:
786:
784:
779:
775:
773:
689:
679:
677:
632:
508:
504:
500:
496:
495:if, for any
492:
484:
480:
476:
474:
467:
379:. As usual,
374:
303:
301:
222:
218:
214:
212:
207:
145:
141:
137:
78:
68:
61:
43:
39:
35:
29:
5012:Dyson, F.J.
4903:Ginibre, J.
4759:Coulomb gas
4402:, coupling
4380:Ising model
4325:, coupling
4195:free energy
3844:commutative
3108:convex cone
2762:Formulation
1482:appears in
75:Definitions
5174:Categories
4773:References
306:, and let
213:Assign an
5140:119758048
5066:Simon, B.
5048:122117175
4957:Jaffe, A.
4953:Glimm, J.
4939:120649586
4730:≈
4708:
4702:≥
4685:β
4628:β
4621:≥
4604:β
4581:β
4555:β
4545:⟩
4535:σ
4525:σ
4521:⟨
4518:≤
4513:β
4500:⟩
4484:⋅
4469:⟨
4436:β
4373:dominated
4359:β
4280:α
4252:α
4249:−
4236:−
4225:∼
4164:α
4136:α
4133:−
4120:−
4109:∼
4068:⟩
4059:σ
4055:⟨
4028:≥
4025:⟩
4016:σ
4012:⟨
4009:⟩
4000:σ
3996:⟨
3993:−
3990:⟩
3981:σ
3971:σ
3967:⟨
3961:⟩
3952:σ
3948:⟨
3932:∂
3928:∂
3849:with the
3838:(Γ,
3788:−
3636:−
3621:−
3597:−
3558:μ
3542:μ
3536:∬
3531:∞
3516:∑
3487:−
3472:−
3449:−
3410:μ
3394:μ
3388:∬
3363:⟩
3356:⟨
3347:⟩
3340:⟨
3337:−
3328:⟩
3318:⟨
3255:μ
3234:−
3226:∫
3179:≥
3170:⟩
3163:⟨
3154:⟩
3147:⟨
3144:−
3135:⟩
3125:⟨
3076:≥
3051:±
3009:∏
2996:μ
2980:μ
2974:∬
2901:μ
2880:−
2872:∫
2853:μ
2832:−
2812:∫
2800:⟩
2793:⟨
2731:⟩
2728:⟩
2713:σ
2709:−
2700:σ
2687:σ
2683:⟨
2680:⟨
2638:τ
2629:∖
2622:τ
2590:−
2584:−
2568:⊂
2561:∑
2541:σ
2537:−
2528:σ
2505:τ
2496:∖
2489:τ
2480:⊂
2473:∑
2456:σ
2424:τ
2417:τ
2388:σ
2384:−
2375:σ
2348:σ
2320:σ
2313:μ
2304:σ
2298:μ
2271:τ
2264:τ
2228:τ
2219:∖
2212:τ
2180:−
2158:⊂
2151:∑
2131:∑
2108:σ
2095:σ
2072:∑
2040:τ
2033:τ
2006:σ
1996:−
1990:σ
1981:−
1957:τ
1950:τ
1930:⟩
1927:⟩
1923:⋅
1919:⟨
1916:⟨
1878:τ
1874:−
1865:τ
1849:σ
1829:τ
1816:τ
1803:σ
1770:⟩
1767:⟩
1752:σ
1748:−
1739:σ
1726:σ
1722:⟨
1719:⟨
1713:⟩
1704:σ
1700:⟨
1697:⟩
1688:σ
1684:⟨
1681:−
1678:⟩
1669:σ
1659:σ
1655:⟨
1632:σ
1608:σ
1526:σ
1516:∏
1509:σ
1503:μ
1497:∫
1386:σ
1380:Λ
1377:∈
1370:∏
1363:σ
1357:μ
1351:∫
1301:∏
1271:∑
1239:σ
1229:σ
1222:σ
1216:μ
1210:∫
1160:∏
1130:∑
1118:σ
1109:−
1095:σ
1088:σ
1082:μ
1076:∫
1066:⟩
1057:σ
1053:⟨
978:σ
943:∏
913:∑
884:σ
857:≥
850:∑
840:∏
828:σ
819:−
803:: Expand
759:⟩
750:σ
746:⟨
743:⟩
734:σ
730:⟨
727:≥
724:⟩
715:σ
705:σ
701:⟨
660:≥
657:⟩
648:σ
644:⟨
578:σ
574:−
561:≠
544:σ
523:τ
448:σ
439:−
428:σ
417:σ
413:∑
396:⟩
390:⟨
355:σ
346:−
335:σ
329:μ
323:∫
275:σ
255:∑
251:−
242:σ
187:σ
178:∈
171:∏
158:σ
118:Λ
115:∈
98:σ
88:σ
5014:(1969).
4959:(1987).
4905:(1970).
3822:Examples
3102:,−
2721:′
2646:′
2549:′
2513:′
2427:′
2396:′
2323:′
2274:′
2236:′
2116:′
2043:′
2009:′
1973:because
1960:′
1886:′
1857:′
1837:′
1760:′
1611:′
1593:>≥0.
511:, where
217:measure
215:a-priori
5120:Bibcode
5078:Bibcode
5028:Bibcode
4919:Bibcode
4872:Bibcode
4834:Bibcode
4799:Bibcode
4047:Hence
3864:Γ is a
3842:) is a
3106:in the
2778:,
2770:) be a
1644:. Then
375:be the
135:lattice
65:Ginibre
50:, is a
5138:
5046:
4994:
4967:
4937:
4736:
4647:
4188:model.
3829:μ
2650:
2517:
1890:
1841:
1773:
1470:where
1448:
1017:
284:
140:. If
34:, the
5136:S2CID
5044:S2CID
4935:S2CID
3861:on Γ.
3282:Then
3198:Proof
2950:,...,
1035:then
793:Proof
789:= ∅.
509:σ → τ
219:dμ(σ)
4992:ISBN
4965:ISBN
4733:0.88
4413:>
4336:>
4283:<
4277:<
4167:<
4161:<
3890:The
3202:Let
2928:Let
2754:The
1579:<
1569:n(j)
778:and
79:Let
54:for
5128:doi
5086:doi
5036:doi
4927:doi
4880:doi
4842:doi
4807:doi
4371:is
4266:if
2959:in
1476:(j)
499:in
489:≥ 0
42:or
30:In
5176::
5134:.
5126:.
5116:59
5114:.
5110:.
5084:.
5074:76
5072:.
5064:;
5042:.
5034:.
5024:12
5022:.
5018:.
4955:;
4933:.
4925:.
4915:16
4913:.
4909:.
4892:^
4878:.
4868:10
4866:.
4840:.
4828:.
4805:.
4793:.
4705:ln
3868:,
3853:,
3182:0.
3114:,
3079:0.
2366:,
782:.
682:.
483:,
472:.
210:.
144:⊂
71:.
5142:.
5130::
5122::
5092:.
5088::
5080::
5050:.
5038::
5030::
5000:.
4973:.
4941:.
4929::
4921::
4886:.
4882::
4874::
4848:.
4844::
4836::
4830:9
4813:.
4809::
4801::
4795:8
4739:.
4727:)
4722:2
4717:+
4714:1
4711:(
4697:Y
4694:X
4689:c
4672:J
4668:D
4650:;
4641:s
4638:I
4632:c
4624:2
4616:Y
4613:X
4608:c
4552:,
4549:J
4539:j
4529:i
4510:2
4507:,
4504:J
4494:j
4489:s
4479:i
4474:s
4444:2
4440:/
4416:0
4410:J
4390:D
4339:0
4333:J
4313:D
4298:.
4286:4
4274:2
4244:|
4239:y
4233:x
4229:|
4220:y
4217:,
4214:x
4210:J
4182:.
4170:2
4158:1
4128:|
4123:y
4117:x
4113:|
4104:y
4101:,
4098:x
4094:J
4063:A
4031:0
4020:B
4004:A
3985:B
3975:A
3964:=
3956:A
3940:B
3936:J
3914:B
3909:B
3905:J
3896:h
3880:.
3870:A
3855:A
3840:μ
3833:A
3806:.
3803:)
3800:)
3797:y
3794:(
3791:f
3785:)
3782:x
3779:(
3776:f
3773:(
3768:2
3765:1
3760:+
3757:)
3754:)
3751:y
3748:(
3745:f
3742:+
3739:)
3736:x
3733:(
3730:f
3727:(
3722:2
3719:1
3714:=
3711:)
3708:x
3705:(
3702:f
3672:.
3666:!
3663:k
3656:k
3652:)
3648:)
3645:y
3642:(
3639:h
3633:)
3630:x
3627:(
3624:h
3618:(
3612:)
3609:)
3606:y
3603:(
3600:g
3594:)
3591:x
3588:(
3585:g
3582:(
3579:)
3576:x
3573:(
3570:f
3567:)
3564:y
3561:(
3555:d
3551:)
3548:x
3545:(
3539:d
3526:0
3523:=
3520:k
3512:=
3499:)
3496:y
3493:(
3490:h
3484:)
3481:x
3478:(
3475:h
3468:e
3464:)
3461:)
3458:y
3455:(
3452:g
3446:)
3443:x
3440:(
3437:g
3434:(
3431:)
3428:x
3425:(
3422:f
3419:)
3416:y
3413:(
3407:d
3403:)
3400:x
3397:(
3391:d
3385:=
3373:)
3367:h
3359:g
3351:h
3343:f
3332:h
3324:g
3321:f
3314:(
3308:2
3303:h
3299:Z
3267:.
3264:)
3261:x
3258:(
3252:d
3246:)
3243:x
3240:(
3237:h
3230:e
3223:=
3218:h
3214:Z
3174:h
3166:g
3158:h
3150:f
3139:h
3131:g
3128:f
3112:A
3104:h
3100:g
3098:,
3096:f
3073:)
3070:)
3067:y
3064:(
3059:j
3055:f
3048:)
3045:x
3042:(
3037:j
3033:f
3029:(
3024:n
3019:1
3016:=
3013:j
3005:)
3002:y
2999:(
2993:d
2989:)
2986:x
2983:(
2977:d
2961:A
2956:n
2952:f
2948:2
2945:f
2943:,
2941:1
2938:f
2934:Γ
2930:A
2913:.
2910:)
2907:x
2904:(
2898:d
2892:)
2889:x
2886:(
2883:h
2876:e
2867:/
2862:)
2859:x
2856:(
2850:d
2844:)
2841:x
2838:(
2835:h
2828:e
2824:)
2821:x
2818:(
2815:f
2809:=
2804:h
2796:f
2780:h
2776:f
2768:μ
2725:)
2717:B
2704:B
2696:(
2691:A
2653:.
2642:X
2632:X
2626:B
2617:]
2610:|
2606:X
2602:|
2597:)
2593:1
2587:(
2581:1
2577:[
2571:B
2565:X
2557:=
2545:B
2532:B
2520:,
2509:X
2499:X
2493:A
2483:A
2477:X
2469:=
2460:A
2420:,
2392:B
2379:B
2352:A
2327:)
2316:(
2310:d
2307:)
2301:(
2295:d
2267:,
2232:X
2222:X
2216:A
2207:]
2200:|
2196:X
2192:|
2187:)
2183:1
2177:(
2174:+
2171:1
2167:[
2161:A
2155:X
2145:A
2141:J
2135:A
2127:=
2120:)
2112:A
2104:+
2099:A
2091:(
2086:A
2082:J
2076:A
2036:,
2013:)
2002:(
1999:H
1993:)
1987:(
1984:H
1953:,
1893:.
1882:j
1869:j
1861:=
1853:j
1844:,
1833:j
1825:+
1820:j
1812:=
1807:j
1776:.
1764:)
1756:B
1743:B
1735:(
1730:A
1716:=
1708:B
1692:A
1673:B
1663:A
1590:A
1588:σ
1583:A
1581:σ
1577:Z
1573:n
1552:0
1549:=
1544:)
1541:j
1538:(
1535:n
1530:j
1520:j
1512:)
1506:(
1500:d
1484:A
1480:j
1474:A
1472:n
1451:,
1443:)
1440:j
1437:(
1432:B
1428:n
1422:B
1418:k
1414:+
1411:)
1408:j
1405:(
1400:A
1396:n
1390:j
1374:j
1366:)
1360:(
1354:d
1345:!
1340:B
1336:k
1327:B
1323:k
1317:B
1313:J
1305:B
1293:C
1289:}
1283:C
1279:k
1275:{
1267:=
1253:B
1249:k
1243:B
1233:A
1225:)
1219:(
1213:d
1204:!
1199:B
1195:k
1186:B
1182:k
1176:B
1172:J
1164:B
1152:C
1148:}
1142:C
1138:k
1134:{
1126:=
1121:)
1115:(
1112:H
1105:e
1099:A
1091:)
1085:(
1079:d
1073:=
1061:A
1050:Z
1020:,
1011:!
1006:B
1002:k
992:B
988:k
982:B
970:B
966:k
960:B
956:J
947:B
935:C
931:}
925:C
921:k
917:{
909:=
903:!
900:k
893:k
888:B
878:k
873:B
869:J
860:0
854:k
844:B
836:=
831:)
825:(
822:H
815:e
787:B
780:B
776:A
754:B
738:A
719:B
709:A
680:A
663:0
652:A
601:.
598:j
595:=
592:k
587:,
582:k
567:,
564:j
558:k
553:,
548:k
537:{
532:=
527:k
505:μ
501:Λ
497:j
487:A
485:J
481:A
451:)
445:(
442:H
435:e
431:)
425:(
422:f
407:Z
404:1
399:=
393:f
358:)
352:(
349:H
342:e
338:)
332:(
326:d
320:=
317:Z
304:A
287:,
279:A
269:A
265:J
259:A
248:=
245:)
239:(
236:H
223:H
208:A
191:j
181:A
175:j
167:=
162:A
146:Λ
142:A
138:Λ
112:j
108:}
102:j
94:{
91:=
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.