841:
308:
627:
611:
149:
836:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}\,dx}{x^{4}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+2}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}.}
496:
507:
138:
303:{\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx\qquad ({\text{Note: }}F(u)\,dx,{\text{ not }}F(u)\,du)}
71:
45:
393:
366:
339:
872:
T. Amdeberhnan, M. L. Glasser, M. C. Jones, V. H. Moll, R. Posey, and D. Varela, "The Cauchy–Schlömilch transformation", arxiv.org/pdf/1004.2445.pdf
881:
A. L. Cauchy, "Sur une formule generale relative a la transformation des integrales simples prises entre les limites 0 et ∞ de la variable."
401:
606:{\displaystyle \operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx.}
931:
24:
explains how a certain broad class of substitutions can simplify certain integrals over the whole interval from
103:
93:
A special case called the Cauchy–Schlömilch substitution or Cauchy–Schlömilch transformation was known to
74:
94:
82:
50:
904:
27:
17:
907:
371:
344:
324:
925:
912:
85:. It is named after M. L. Glasser, who introduced it in 1983.
73:
It is applicable in cases where the integrals must be construed as
491:{\displaystyle u=x-a-\sum _{n=1}^{N}{\frac {|a_{n}|}{x-b_{n}}}}
859:
Glasser, M. L. "A Remarkable
Property of Definite Integrals."
630:
510:
404:
374:
347:
327:
152:
106:
53:
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89:
A special case: the Cauchy–Schlömilch transformation
835:
605:
490:
387:
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333:
302:
132:
65:
39:
889:, XIX cahier, tome XIII, 516–519, 1:275–357, 1823
313:where PV denotes the Cauchy principal value.
97:in the early 19th century. It states that if
8:
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133:{\displaystyle u=x-{\frac {1}{x}}\,}
81:it is applicable when the integral
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887:Journal de l’ecole Polytechnique
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948:
908:"Glasser's Master Theorem"
861:Mathematics of Computation
66:{\displaystyle +\infty .}
40:{\displaystyle -\infty }
22:Glasser's master theorem
75:Cauchy principal values
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932:Integral calculus
883:Oeuvres completes
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