956:
is in a finite set {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 2907, 3105, 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}. If
394:
296:
1638:
1096:
134:
1239:
944:, or in the finite set {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}, in which case there are at most three solutions. Furthermore, there is at most one solution if the odd part of
652:
169:
1324:
834:
201:
784:
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579:
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696:
676:
445:
425:
1692:
452:
307:
965:, there is at most one solution except for x=2, in which case there are two known solutions. In fact, max(m,n)<4^x and y<2^(2^x).
655:
209:
1553:
1011:
1530:
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53:
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1134:
1522:
977:
5, 11111 in base 2) and 8191 (111 in base 90, 1111111111111 in base 2) are the only two numbers that are
1687:
37:
610:
448:
142:
1285:
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962:
941:
837:
937:
17:
1257:
1130:
792:
and Shorey proved in 1980 that there are only finitely many possible solutions
1656:
1549:
25:
1339:
1488:
1117:
1282:
Davenport, H.; Lewis, D. J.; Schinzel, A. (1961). "Equations of the form
978:
973:
The
Goormaghtigh conjecture may be expressed as saying that 31 (111 in
880:
lying in a given finite set and that they may be effectively computed.
41:
33:
389:{\displaystyle {\frac {90^{3}-1}{90-1}}={\frac {2^{13}-1}{2-1}}=8191.}
1002:
Goormaghtigh, Rene. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
974:
291:{\displaystyle {\frac {5^{3}-1}{5-1}}={\frac {2^{5}-1}{2-1}}=31}
1633:{\displaystyle {\tfrac {x^{3}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}-1}{y-1}}}
1391:"On the number of solutions of Goormaghtigh equation for given
1091:{\displaystyle {\tfrac {x^{m}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}-1}{y-1}}}
932:), equation has at most 15 solutions, and at most two unless
129:{\displaystyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}
447:, this equation has only finitely many solutions. But this
1596:
1558:
1054:
1016:
404:
1556:
1417:
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413:
310:
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177:
145:
56:
924:, this equation has at most one solution. For fixed
1632:
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419:
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195:
163:
128:
1521:. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87.
1234:{\displaystyle a(x^{m}-1)/(x-1)=b(y^{n}-1)/(y-1)}
614:
456:
981:with at least 3 digits in two different bases.
952:has at most two distinct odd prime factors or
407:showed that, for each pair of fixed exponents
40:. The conjecture is that the only non-trivial
8:
786:other than the two solutions given above.
1655:
1603:
1595:
1565:
1557:
1555:
1487:
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176:
144:
100:
93:
64:
57:
55:
881:
405:Davenport, Lewis & Schinzel (1961)
7:
699:
1693:Unsolved problems in number theory
1360:Unsolved Problems in Number Theory
1006:Bugeaud, Y.; Shorey, T.N. (2002).
14:
1519:Exponential Diophantine equations
1469:"On an equation of Goormaghtigh"
748:, this equation has no solution
46:exponential Diophantine equation
1313:
1307:
1298:
1292:
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1208:
1189:
1180:
1168:
1160:
1141:
1105:Pacific Journal of Mathematics
823:
799:
773:
755:
641:
617:
457:Nesterenko & Shorey (1998)
1:
1550:"On the diophantine equation
1448:10.1016/S0019-3577(08)80015-8
1008:"On the diophantine equation
647:{\displaystyle \max(x,y,m,n)}
1389:He, Bo; Togbé, Alan (2008).
884:showed that, for each fixed
658:constant depending only on
453:Siegel's finiteness theorem
164:{\displaystyle x>y>1}
1709:
1523:Cambridge University Press
1258:10.7146/math.scand.a-11861
1657:10.1016/j.jnt.2004.12.002
1319:{\displaystyle f(x)=g(y)}
829:{\displaystyle (x,y,m,n)}
1467:; Shorey, T. N. (1998).
1245:Mathematica Scandinavica
991:Feit–Thompson conjecture
455:, which is ineffective.
196:{\displaystyle n,m>2}
1489:10.4064/aa-83-4-381-389
1129:; Shorey, T.N. (1980).
1118:10.2140/pjm.2002.207.61
969:Application to repunits
779:{\displaystyle (x,y,n)}
600:{\displaystyle s\geq 1}
574:{\displaystyle r\geq 1}
548:{\displaystyle d\geq 2}
22:Goormaghtigh conjecture
1634:
1548:Yuan, Pingzhi (2005).
1425:
1405:
1340:10.1093/qmath/12.1.304
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836:to the equations with
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487:{\displaystyle m-1=dr}
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130:
1683:Diophantine equations
1635:
1426:
1406:
1328:Quad. J. Math. Oxford
1321:
1236:
1093:
919:
899:
882:He & Togbé (2008)
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1525:. pp. 203–204.
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948:is squareful unless
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1424:{\displaystyle y}
1404:{\displaystyle x}
1131:"On the equation
1085:
1047:
917:{\displaystyle y}
897:{\displaystyle x}
873:{\displaystyle y}
853:{\displaystyle x}
741:{\displaystyle n}
691:{\displaystyle s}
671:{\displaystyle r}
654:is bounded by an
440:{\displaystyle n}
420:{\displaystyle m}
378:
342:
280:
244:
124:
88:
44:solutions of the
38:René Goormaghtigh
1700:
1669:
1659:
1644:J. Number Theory
1639:
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1569:
1559:
1544:
1509:
1491:
1476:Acta Arithmetica
1473:
1460:
1450:
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1422:
1410:
1408:
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1402:
1385:
1362:(3rd ed.).
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1392:
1388:
1374:
1366:. p. 242.
1364:Springer-Verlag
1356:Guy, Richard K.
1354:
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1482:(4): 381–389.
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1437:. New Series.
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