447:
723:
176:
537:
2028:
2033:
This conjecture was proved to be true by Green, Tao, and
Ziegler. It should be stressed that the appearance of nilsequences in the above statement is necessary. The statement is no longer true if we only consider polynomial phases.
1411:
442:{\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}(G)}^{2^{d}}=\sum _{x,h_{1},\ldots ,h_{d}\in G}\prod _{\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}}f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}}\right)\ .}
1294:
1756:
1889:
1711:
1250:
2168:
1656:
1570:
1847:
1002:
1465:
524:
827:
718:{\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}}=\Vert {\tilde {f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}}
1530:
1155:
1099:
1073:
957:
752:
1798:
2496:
2398:
1125:
1917:
1504:
888:
856:
785:
1596:
1909:
1616:
1195:
1175:
928:
908:
168:
144:
124:
97:
1302:
2574:
2052:
2172:
2085:
2609:
2562:
1255:
1716:
2566:
1852:
1661:
1200:
2445:
2347:
2139:
68:
1128:
1621:
1544:
1803:
2294:
962:
2232:(2010). "The inverse conjecture for the Gowers norm over finite fields via the correspondence principle".
60:
48:
32:
2500:
1419:
459:
2556:
794:
147:
52:
1509:
1138:
1078:
1056:
933:
728:
55:
or group-like object which quantify the amount of structure present, or conversely, the amount of
2535:
2509:
2409:
2329:
2303:
2267:
2241:
2207:
2181:
2110:
788:
44:
2292:(2011). "The Inverse Conjecture for the Gowers Norm over Finite Fields in Low Characteristic".
1764:
2570:
2023:{\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n){\overline {F(g^{n}x}})\right|\geq c.}
2459:
2361:
2588:
2519:
2419:
2313:
2251:
2191:
2094:
1104:
1017:
2584:
2531:
2431:
2325:
2263:
2203:
2106:
1473:
861:
2592:
2580:
2527:
2427:
2321:
2259:
2199:
2102:
832:
757:
1575:
1406:{\displaystyle \left|{\frac {1}{|V|}}\sum _{x\in V}f(x)e\left(-P(x)\right)\right|\geq c,}
2136:(2010). "An inverse theorem for the uniformity seminorms associated with the action of
2076:
1894:
1601:
1180:
1160:
913:
893:
153:
129:
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100:
82:
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2603:
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2317:
2195:
2098:
2080:
56:
2423:
2255:
1043:). The precise statement depends on the Gowers norm under consideration.
1467:. This conjecture was proved to be true by Bergelson, Tao, and Ziegler.
531:
1891:
bounded by 1 in absolute value and with
Lipschitz constant bounded by
16:"Uniformity norm" redirects here. For the function field norm, see
2514:
2414:
2308:
2246:
2186:
2053:"Mathematicians Catch a Pattern by Figuring Out How to Avoid It"
1035:− 1 or other object with polynomial behaviour (e.g. a (
1737:
1551:
452:
Gowers norms are also defined for complex-valued functions
1289:{\displaystyle P\colon V\to \mathbb {R} /\mathbb {Z} }
2462:
2364:
2142:
1920:
1897:
1855:
1806:
1767:
1751:{\displaystyle G/\Gamma \in {\mathcal {M}}_{\delta }}
1719:
1664:
1624:
1604:
1578:
1547:
1512:
1476:
1422:
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1258:
1203:
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1163:
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1107:
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1059:
965:
936:
916:
896:
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835:
797:
760:
731:
540:
462:
179:
156:
132:
112:
85:
1016:for these norms is a statement asserting that if a
534:. In this context, the uniformity norm is given as
2490:
2392:
2162:
2022:
1903:
1883:
1841:
1792:
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1650:
1610:
1590:
1564:
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1459:
1405:
1288:
1244:
1189:
1169:
1149:
1119:
1093:
1067:
996:
951:
922:
902:
882:
850:
821:
779:
746:
717:
518:
441:
162:
138:
118:
91:
1884:{\displaystyle F\colon G/\Gamma \to \mathbb {C} }
1706:{\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}}\geq \delta }
1245:{\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}}\geq \delta }
1598:can be found, so that the following is true. If
1031:correlates with a polynomial phase of degree
8:
1672:
1665:
1211:
1204:
666:
646:
592:
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541:
324:
312:
187:
180:
2456:(2012). "An inverse theorem for the Gowers
2358:(2011). "An inverse theorem for the Gowers
2163:{\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\infty }}
2513:
2467:
2461:
2413:
2369:
2363:
2307:
2245:
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2149:
2145:
2144:
2141:
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1975:
1951:
1940:
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1919:
1896:
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1876:
1865:
1854:
1831:
1805:
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1643:
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1546:
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1475:
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1325:
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1304:
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1281:
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1257:
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1214:
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1162:
1143:
1142:
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1060:
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937:
935:
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798:
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732:
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705:
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155:
131:
111:
84:
1651:{\displaystyle f\colon \to \mathbb {C} }
1565:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{\delta }}
2043:
1842:{\displaystyle g\in G,\ x\in G/\Gamma }
1658:is bounded in absolute value by 1 and
997:{\displaystyle {\tilde {N}}>2^{d}N}
1252:, there exists a polynomial sequence
930:. This definition does not depend on
7:
2081:"A new proof of Szemerédi's theorem"
63:in the group. They are named after
2173:Geometric & Functional Analysis
2086:Geometric & Functional Analysis
67:, who introduced it in his work on
2155:
1870:
1836:
1728:
1713:, then there exists a nilmanifold
1470:The Inverse Conjecture for Gowers
20:. For uniformity in topology, see
14:
2565:. Vol. 142. Providence, RI:
2402:Electron. Res. Announc. Math. Sci
1460:{\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}
1157:and any complex-valued function
519:{\displaystyle ={0,1,2,...,N-1}}
59:. They are used in the study of
2563:Graduate Studies in Mathematics
822:{\displaystyle {\tilde {f}}(x)}
2485:
2479:
2387:
2381:
2003:
1981:
1972:
1966:
1873:
1787:
1771:
1692:
1686:
1640:
1637:
1631:
1493:
1487:
1432:
1426:
1381:
1375:
1358:
1352:
1326:
1318:
1268:
1231:
1225:
972:
943:
877:
871:
845:
839:
816:
810:
804:
772:
766:
738:
710:
699:
680:
660:
654:
636:
625:
606:
585:
568:
562:
469:
463:
207:
201:
1:
2567:American Mathematical Society
2558:Higher order Fourier analysis
103:-valued function on a finite
2524:10.4007/annals.2012.176.2.11
1998:
1525:{\displaystyle \delta >0}
1150:{\displaystyle \mathbb {F} }
1094:{\displaystyle \delta >0}
1068:{\displaystyle \mathbb {F} }
952:{\displaystyle {\tilde {N}}}
747:{\displaystyle {\tilde {N}}}
1046:The Inverse Conjecture for
2626:
1618:is a positive integer and
1532:, a finite collection of (
1506:norm asserts that for any
1197:, bounded by 1, such that
15:
2318:10.1007/s00026-011-0124-3
2196:10.1007/s00039-010-0051-1
2099:10.1007/s00039-001-0332-9
1793:{\displaystyle F(g^{n}x)}
1101:there exists a constant
2491:{\displaystyle U^{s+1}}
2393:{\displaystyle U^{s+1}}
2295:Annals of Combinatorics
61:arithmetic progressions
2610:Additive combinatorics
2492:
2424:10.3934/era.2011.18.69
2394:
2164:
2024:
1962:
1905:
1885:
1843:
1794:
1752:
1707:
1652:
1612:
1592:
1566:
1526:
1500:
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1407:
1290:
1246:
1191:
1171:
1151:
1121:
1120:{\displaystyle c>0}
1095:
1069:
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953:
924:
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852:
823:
781:
748:
719:
520:
443:
164:
140:
120:
93:
33:additive combinatorics
2501:Annals of Mathematics
2493:
2395:
2256:10.2140/apde.2010.3.1
2165:
2025:
1936:
1906:
1886:
1844:
1795:
1753:
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1527:
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1462:
1408:
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1152:
1122:
1096:
1075:asserts that for any
1070:
999:
954:
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885:
883:{\displaystyle x\in }
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521:
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2362:
2140:
1918:
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1853:
1804:
1765:
1717:
1662:
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1602:
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1545:
1510:
1474:
1420:
1303:
1256:
1201:
1181:
1161:
1139:
1105:
1079:
1057:
963:
934:
914:
894:
862:
851:{\displaystyle f(x)}
833:
795:
780:{\displaystyle 1_{}}
758:
754:is a large integer,
729:
538:
460:
177:
154:
130:
110:
83:
2159:
2128:Bergelson, Vitaly;
1591:{\displaystyle c,C}
1023:has a large Gowers
1008:Inverse conjectures
223:
148:complex conjugation
69:Szemerédi's theorem
2488:
2390:
2234:Analysis & PDE
2160:
2143:
2020:
1901:
1881:
1839:
1790:
1748:
1703:
1648:
1608:
1588:
1562:
1522:
1496:
1457:
1403:
1348:
1286:
1242:
1187:
1167:
1147:
1129:finite-dimensional
1127:such that for any
1117:
1091:
1065:
1014:inverse conjecture
994:
949:
920:
900:
880:
848:
819:
789:indicator function
777:
744:
715:
516:
439:
328:
274:
186:
160:
136:
116:
89:
31:, in the field of
2576:978-0-8218-8986-2
2051:Hartnett, Kevin.
2001:
1934:
1904:{\displaystyle C}
1821:
1611:{\displaystyle N}
1333:
1331:
1190:{\displaystyle V}
1170:{\displaystyle f}
975:
946:
923:{\displaystyle x}
903:{\displaystyle 0}
807:
741:
702:
628:
588:
435:
275:
227:
163:{\displaystyle d}
139:{\displaystyle J}
119:{\displaystyle G}
92:{\displaystyle f}
2617:
2596:
2544:
2543:
2517:
2508:(2): 1231–1372.
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2495:
2494:
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2435:
2417:
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2397:
2396:
2391:
2380:
2379:
2344:
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2337:
2311:
2282:
2276:
2275:
2249:
2222:
2216:
2215:
2189:
2180:(6): 1539–1596.
2169:
2167:
2166:
2161:
2158:
2153:
2148:
2125:
2119:
2118:
2073:
2067:
2066:
2064:
2063:
2048:
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1880:
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1684:
1657:
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