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1206:
112:
866:{\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b}e^{yt}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}
577:
1794:{\displaystyle \Psi _{1}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,b,-,c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
2566:{\displaystyle \Xi _{1}(a_{1},a_{2},b,c;x,y)=F_{3}(a_{1},a_{2},b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
1178:{\displaystyle \Phi _{2}(b_{1},b_{2},c;x,y)=F_{1}(-,b_{1},b_{2},c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
527:
2883:{\displaystyle \Xi _{2}(a,b,c;x,y)=\Xi _{1}(a,-,b,c;x,y)=F_{3}(a,-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.}
383:
1465:{\displaystyle \Phi _{3}(b,c;x,y)=\Phi _{2}(b,-,c;x,y)=F_{1}(-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
70:
3059:
353:{\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)=F_{1}(a,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
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877:
499:{\displaystyle (q)_{n}=q\,(q+1)\cdots (q+n-1)={\frac {\Gamma (q+n)}{\Gamma (q)}}~,}
3007:
606:
82:
of one variable. The first of these double series was introduced by
3082:
Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences
2974:
Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite
3069:
2950:
of one variable in a similar manner and which were introduced by
3041:; Jeffrey, Alan (2015) . "9.26.". In Zwillinger, Daniel;
3051:. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.).
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of the integrand, followed by termwise integration.
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571:
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509:where the second equality is true for all complex
498:
352:
2909:There are four related series of two variables,
876:This representation can be verified by means of
3080:(1920). "Sur les fonctions hypercylindriques".
8:
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120:
114:
3048:Table of Integrals, Series, and Products
58:Kummer's confluent hypergeometric series
3006:. New York: McGraw–Hill. Archived from
3000:Higher Transcendental Functions, Vol. I
87:
71:confluent hypergeometric limit function
2976:(in French). Paris: Gauthier–Villars.
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572:{\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }
377:represents the rising factorial:
3027:Gradshteyn, Izrail Solomonovich
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2939:Gauss's hypergeometric series
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3132:
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883:Similarly, the function Φ
69:of one variable and the
3111:Hypergeometric functions
3031:Ryzhik, Iosif Moiseevich
2584:| < 1 by the series:
2255:| < 1 by the series:
1483:| < 1 by the series:
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582:For other values of
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98:The Humbert series Φ
3116:Mathematical series
2937:, which generalize
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2986:(see p. 126)
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