2829:
2421:
1432:
2824:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }&=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\\&=A_{\alpha ,\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho ,\gamma }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ,\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\sigma \beta }^{\rho }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}
2130:
1075:
1841:
1427:{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,\\&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+0+g^{\mu \alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\beta }{\sqrt {-g}}\,.\end{aligned}}}
813:
475:
2125:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,;\\g_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,;\\h_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}
2410:
266:
570:
1689:
286:
2221:
275:
is not actually a scalar, this is not a tensor equation. That is, it is not generally invariant. But coordinate conditions must not be generally invariant because they are supposed to pick out (only work for) certain coordinate systems and not others. Since the partial derivative of a coordinate is
69:
selects one (or a smaller set of) such coordinate system(s). The
Cartesian coordinates used in special relativity satisfy d'Alembert's equation, so a harmonic coordinate system is the closest approximation available in general relativity to an inertial frame of reference in special relativity.
88:
808:{\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{;\rho }=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\rho }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,.}
1524:
1826:
470:{\displaystyle 0=\left(\delta _{\beta ,\gamma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\alpha }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }=\left(0-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }\right)g^{\beta \gamma }=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}
2405:{\displaystyle A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\alpha ;\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.}
64:
The laws of physics can be expressed in a generally invariant form. In other words, the real world does not care about our coordinate systems. However, for us to be able to solve the equations, we must fix upon a particular coordinate system. A
1065:
261:{\displaystyle 0=\left(x^{\alpha }\right)_{;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=\left(\left(x^{\alpha }\right)_{,\beta ,\gamma }-\left(x^{\alpha }\right)_{,\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }\,.}
877:
547:
1684:{\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \delta }\left(g_{\gamma \delta ,\beta }+g_{\beta \delta ,\gamma }-g_{\beta \gamma ,\delta }\right)g^{\beta \gamma }\,.}
1508:
2210:
2426:
1846:
1080:
1731:
993:
948:
1723:
904:
2949:
998:
821:
494:
1443:
2153:
2921:
1821:{\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,.}
2415:
Using the harmonic coordinate condition we can eliminate the right-most term and then continue evaluation as follows:
41:
906:
is not an invariant scalar, and so its covariant derivative is not the same as its ordinary derivative. Rather,
953:
909:
32:. A coordinate system is said to satisfy the harmonic coordinate condition if each of the coordinate functions
29:
1697:
485:
66:
21:
2875:
49:
2845:
79:
56:
is the generalization of
Laplace's equation to space-time, its solutions are also called "harmonic".
2840:
45:
882:
2860:
2855:
1832:
25:
1069:
Contracting ν with ρ and applying the harmonic coordinate condition to the second term, we get:
2917:
2135:
However, the last two are a different coordinate condition when you go to the second order in
2880:
2870:
2865:
277:
2147:
For example, consider the wave equation applied to the electromagnetic vector potential:
1437:
Thus, we get that an alternative way of expressing the harmonic coordinate condition is:
2934:
2885:
561:
2943:
2890:
1060:{\displaystyle {\sqrt {-g}}_{,\rho }={\sqrt {-g}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }\,.}
53:
37:
2850:
1518:
If one expresses the
Christoffel symbol in terms of the metric tensor, one gets
552:
This condition is especially useful when working with gravitational waves.
872:{\displaystyle -g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}}
542:{\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}
82:
instead of the partial derivative in d'Alembert's equation, so we get:
1503:{\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }\,.}
2205:{\displaystyle 0=A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }\,.}
48:
is a coordinate system whose coordinate functions satisfy
1835:, this is indistinguishable from these additional forms:
2935:
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicCoordinates.html
2424:
2224:
2156:
1844:
1734:
1700:
1527:
1446:
1078:
1001:
956:
912:
885:
824:
573:
497:
289:
91:
2823:
2404:
2204:
2124:
1820:
1717:
1683:
1502:
1426:
1059:
987:
942:
898:
871:
807:
541:
469:
260:
1725:and rearranging some indices and terms, one gets
984:
939:
480:And thus, dropping the minus sign, we get the
8:
78:In general relativity, we have to use the
2813:
2804:
2794:
2786:
2776:
2768:
2758:
2742:
2732:
2724:
2708:
2692:
2682:
2668:
2658:
2642:
2632:
2624:
2608:
2592:
2570:
2547:
2537:
2529:
2513:
2497:
2475:
2455:
2433:
2425:
2423:
2398:
2389:
2379:
2371:
2355:
2339:
2329:
2321:
2305:
2289:
2267:
2251:
2229:
2223:
2198:
2189:
2167:
2155:
2114:
2105:
2100:
2085:
2071:
2055:
2050:
2035:
2023:
2014:
2009:
1994:
1980:
1964:
1959:
1944:
1932:
1923:
1918:
1903:
1889:
1873:
1868:
1853:
1845:
1843:
1814:
1805:
1800:
1785:
1771:
1759:
1754:
1739:
1733:
1714:
1705:
1699:
1677:
1668:
1644:
1622:
1600:
1582:
1568:
1556:
1546:
1538:
1526:
1496:
1487:
1472:
1463:
1445:
1416:
1406:
1400:
1392:
1379:
1362:
1356:
1348:
1335:
1313:
1298:
1289:
1268:
1258:
1252:
1244:
1231:
1214:
1208:
1200:
1187:
1170:
1164:
1156:
1143:
1127:
1112:
1103:
1079:
1077:
1053:
1047:
1039:
1025:
1013:
1003:
1000:
988:{\displaystyle g_{;\rho }^{\mu \nu }=0\!}
969:
961:
955:
943:{\displaystyle {\sqrt {-g}}_{;\rho }=0\!}
924:
914:
911:
886:
884:
859:
853:
845:
832:
823:
801:
791:
785:
777:
764:
747:
741:
733:
720:
703:
697:
689:
676:
660:
645:
636:
614:
599:
590:
572:
560:Consider the covariant derivative of the
535:
526:
516:
508:
496:
484:(also known as the de Donder gauge after
463:
454:
444:
436:
417:
402:
394:
367:
352:
344:
334:
329:
316:
305:
288:
254:
245:
230:
222:
209:
199:
172:
162:
136:
117:
107:
90:
564:of the reciprocal of the metric tensor:
2950:Coordinate charts in general relativity
2901:
36:(regarded as scalar fields) satisfies
28:, which make it possible to solve the
2215:Let us evaluate the right hand side:
7:
1718:{\displaystyle g^{\alpha \delta }\,}
2783:
2765:
2721:
2665:
2621:
2526:
2368:
2318:
1535:
1389:
1345:
1241:
1197:
1153:
1036:
842:
774:
730:
686:
505:
433:
391:
341:
219:
14:
2916:, Princeton University Press,
1:
482:harmonic coordinate condition
18:harmonic coordinate condition
2914:General Theory of Relativity
899:{\displaystyle {\sqrt {-g}}}
2143:Effect on the wave equation
40:. The parallel notion of a
2966:
42:harmonic coordinate system
1694:Discarding the factor of
30:Einstein field equations
2825:
2406:
2206:
2126:
1822:
1719:
1685:
1504:
1428:
1061:
989:
944:
900:
873:
809:
543:
471:
262:
2826:
2407:
2207:
2127:
1823:
1720:
1686:
1505:
1429:
1062:
990:
945:
901:
874:
810:
544:
472:
271:Since the coordinate
263:
54:d'Alembert's equation
38:d'Alembert's equation
22:coordinate conditions
2912:P.A.M.Dirac (1975),
2846:Covariant derivative
2422:
2222:
2154:
1842:
1732:
1698:
1525:
1444:
1076:
999:
954:
910:
883:
822:
571:
495:
287:
89:
80:covariant derivative
67:coordinate condition
2841:Christoffel symbols
2799:
2781:
2737:
2687:
2637:
2542:
2384:
2334:
1551:
1405:
1361:
1257:
1213:
1169:
1052:
977:
858:
790:
746:
702:
521:
486:Théophile de Donder
449:
407:
357:
339:
321:
235:
46:Riemannian geometry
2876:Laplace's equation
2861:General covariance
2856:General relativity
2821:
2819:
2782:
2764:
2720:
2664:
2620:
2525:
2402:
2367:
2317:
2202:
2122:
2120:
1833:linearized gravity
1831:In the context of
1818:
1715:
1681:
1534:
1514:More variant forms
1500:
1424:
1422:
1388:
1344:
1240:
1196:
1152:
1057:
1035:
985:
957:
940:
896:
869:
841:
805:
773:
729:
685:
539:
504:
467:
432:
390:
340:
325:
301:
258:
218:
50:Laplace's equation
26:general relativity
20:is one of several
2079:
1988:
1897:
1779:
1576:
1480:
1414:
1370:
1306:
1266:
1222:
1178:
1120:
1033:
1011:
922:
894:
867:
799:
755:
711:
653:
607:
2957:
2906:
2881:Laplace operator
2830:
2828:
2827:
2822:
2820:
2812:
2811:
2798:
2793:
2780:
2775:
2763:
2762:
2750:
2749:
2736:
2731:
2719:
2718:
2700:
2699:
2686:
2681:
2663:
2662:
2650:
2649:
2636:
2631:
2619:
2618:
2600:
2599:
2587:
2586:
2559:
2555:
2554:
2541:
2536:
2524:
2523:
2505:
2504:
2492:
2491:
2463:
2462:
2450:
2449:
2411:
2409:
2408:
2403:
2397:
2396:
2383:
2378:
2366:
2365:
2347:
2346:
2333:
2328:
2316:
2315:
2297:
2296:
2284:
2283:
2259:
2258:
2246:
2245:
2211:
2209:
2208:
2203:
2197:
2196:
2184:
2183:
2131:
2129:
2128:
2123:
2121:
2113:
2112:
2099:
2098:
2080:
2072:
2063:
2062:
2049:
2048:
2022:
2021:
2008:
2007:
1989:
1981:
1972:
1971:
1958:
1957:
1931:
1930:
1917:
1916:
1898:
1890:
1881:
1880:
1867:
1866:
1827:
1825:
1824:
1819:
1813:
1812:
1799:
1798:
1780:
1772:
1767:
1766:
1753:
1752:
1724:
1722:
1721:
1716:
1713:
1712:
1690:
1688:
1687:
1682:
1676:
1675:
1663:
1659:
1658:
1657:
1636:
1635:
1614:
1613:
1590:
1589:
1577:
1569:
1564:
1563:
1550:
1545:
1509:
1507:
1506:
1501:
1495:
1494:
1486:
1482:
1481:
1473:
1471:
1470:
1433:
1431:
1430:
1425:
1423:
1415:
1407:
1404:
1399:
1387:
1386:
1371:
1363:
1360:
1355:
1343:
1342:
1321:
1320:
1312:
1308:
1307:
1299:
1297:
1296:
1272:
1267:
1259:
1256:
1251:
1239:
1238:
1223:
1215:
1212:
1207:
1195:
1194:
1179:
1171:
1168:
1163:
1151:
1150:
1135:
1134:
1126:
1122:
1121:
1113:
1111:
1110:
1066:
1064:
1063:
1058:
1051:
1046:
1034:
1026:
1021:
1020:
1012:
1004:
994:
992:
991:
986:
976:
968:
949:
947:
946:
941:
932:
931:
923:
915:
905:
903:
902:
897:
895:
887:
879:emerges because
878:
876:
875:
870:
868:
860:
857:
852:
840:
839:
814:
812:
811:
806:
800:
792:
789:
784:
772:
771:
756:
748:
745:
740:
728:
727:
712:
704:
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