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Hardy–Littlewood zeta function conjectures

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770: 365: 310: 220: 97: 1140: 856: 605: 1042: 1321: 677: 1397: 1253: 1181: 969: 897: 468: 1085: 801: 550: 520: 1214: 930: 638: 1447: 165: 715: 403: 494: 429: 1358: 252: 129: 1331: 720: 315: 260: 170: 47: 1556: 1090: 806: 555: 974: 1258: 643: 1363: 1219: 1145: 935: 861: 522:
is an arbitrarily small number – open two new directions in the investigation of the Riemann zeta function.
25: 434: 257:
Hardy and Littlewood claimed two conjectures. These conjectures – on the distance between real zeros of
29: 1064: 780: 529: 499: 1526:
Karatsuba, A. A. (1984). "On the zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line".
1551: 21: 1489: 1186: 902: 610: 1423: 134: 682: 370: 28:, are two conjectures concerning the distances between zeros and the density of zeros of the 1481: 473: 408: 1337: 225: 105: 1400: 1545: 1493: 1327: 1054: 41: 1485: 1469: 1507:
Selberg, A. (1942). "On the zeros of Riemann's zeta-function".
1470:"The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line" 765:{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} 360:{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} 305:{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} 215:{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} 167:
be the total number of zeros of odd order of the function
92:{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} 1334:
that it's possible to decrease the value of the exponent
735: 330: 275: 185: 62: 1426: 1366: 1340: 1261: 1222: 1189: 1148: 1093: 1067: 977: 938: 905: 864: 809: 783: 723: 685: 646: 613: 558: 532: 502: 476: 437: 411: 373: 318: 263: 228: 173: 137: 108: 50: 1441: 1420:Hardy, G.H. (1914). "Sur les zeros de la fonction 1391: 1352: 1315: 1247: 1208: 1175: 1134: 1079: 1036: 963: 924: 891: 850: 795: 764: 709: 671: 632: 599: 544: 514: 488: 462: 423: 397: 359: 304: 246: 214: 159: 123: 91: 1135:{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} 851:{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} 600:{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} 757: 729: 717:contains a zero of odd order of the function 352: 324: 297: 269: 207: 179: 84: 56: 8: 1037:{\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH} 18:Hardy–Littlewood zeta function conjectures 1425: 1377: 1365: 1339: 1260: 1233: 1221: 1200: 1188: 1147: 1111: 1098: 1092: 1066: 1010: 982: 976: 949: 937: 916: 904: 863: 827: 814: 808: 782: 756: 755: 734: 728: 727: 722: 684: 657: 645: 624: 612: 576: 563: 557: 531: 501: 475: 448: 436: 410: 372: 351: 350: 329: 323: 322: 317: 296: 295: 274: 268: 267: 262: 227: 206: 205: 184: 178: 177: 172: 142: 136: 107: 83: 82: 61: 55: 54: 49: 1316:{\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T} 1412: 672:{\displaystyle H=T^{0.25+\varepsilon }} 1468:Hardy, G.H.; Littlewood, J.E. (1921). 1392:{\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }} 1248:{\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }} 1176:{\displaystyle c=c(\varepsilon )>0} 964:{\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }} 892:{\displaystyle c=c(\varepsilon )>0} 470:and with as less as possible value of 44:proved that the Riemann zeta function 7: 463:{\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }} 1399:which was proved 42 years later by 131:be the total number of real zeros, 14: 1080:{\displaystyle \varepsilon >0} 796:{\displaystyle \varepsilon >0} 545:{\displaystyle \varepsilon >0} 515:{\displaystyle \varepsilon >0} 99:has infinitely many real zeros. 312:and on the density of zeros of 1528:Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat 1436: 1430: 1292: 1286: 1277: 1265: 1164: 1158: 1123: 1117: 1022: 1016: 1000: 988: 880: 874: 839: 833: 704: 686: 588: 582: 392: 374: 241: 229: 154: 148: 118: 112: 1: 1509:SHR. Norske Vid. Akad. Oslo 1209:{\displaystyle T\geq T_{0}} 925:{\displaystyle T\geq T_{0}} 633:{\displaystyle T\geq T_{0}} 1573: 1442:{\displaystyle \zeta (s)} 1061:and proved that for any 405:for sufficiently great 222:, lying on the interval 160:{\displaystyle N_{0}(T)} 710:{\displaystyle (T,T+H]} 398:{\displaystyle (T,T+H]} 26:John Edensor Littlewood 1451:Compt. Rend. Acad. Sci 1443: 1393: 1354: 1317: 1249: 1210: 1177: 1136: 1081: 1038: 965: 926: 893: 852: 797: 766: 711: 673: 634: 601: 546: 516: 490: 489:{\displaystyle a>0} 464: 425: 424:{\displaystyle T>0} 399: 361: 306: 248: 216: 161: 125: 93: 1444: 1394: 1355: 1353:{\displaystyle a=0.5} 1318: 1250: 1211: 1178: 1137: 1082: 1039: 966: 927: 894: 853: 798: 767: 712: 674: 635: 602: 547: 517: 491: 465: 426: 400: 362: 307: 249: 247:{\displaystyle (0,T]} 217: 162: 126: 94: 30:Riemann zeta function 1557:Zeta and L-functions 1424: 1364: 1338: 1259: 1220: 1187: 1146: 1091: 1065: 1057:studied the problem 975: 936: 903: 862: 807: 781: 721: 683: 644: 611: 556: 530: 500: 474: 435: 409: 371: 316: 261: 226: 171: 135: 124:{\displaystyle N(T)} 106: 48: 42:Godfrey Harold Hardy 22:Godfrey Harold Hardy 16:In mathematics, the 1486:10.1007/bf01211614 1439: 1389: 1350: 1313: 1245: 1206: 1173: 1132: 1087:there exists such 1077: 1034: 961: 922: 889: 848: 793: 762: 744: 707: 669: 630: 597: 552:there exists such 542: 512: 486: 460: 421: 395: 357: 339: 302: 284: 244: 212: 194: 157: 121: 89: 71: 743: 338: 283: 193: 70: 1564: 1536: 1535: 1523: 1517: 1516: 1504: 1498: 1497: 1480:(3–4): 283–317. 1465: 1459: 1458: 1448: 1446: 1445: 1440: 1417: 1398: 1396: 1395: 1390: 1388: 1387: 1359: 1357: 1356: 1351: 1322: 1320: 1319: 1314: 1255:the inequality 1254: 1252: 1251: 1246: 1244: 1243: 1215: 1213: 1212: 1207: 1205: 1204: 1183:, such that for 1182: 1180: 1179: 1174: 1141: 1139: 1138: 1133: 1116: 1115: 1103: 1102: 1086: 1084: 1083: 1078: 1043: 1041: 1040: 1035: 1015: 1014: 987: 986: 970: 968: 967: 962: 960: 959: 931: 929: 928: 923: 921: 920: 899:, such that for 898: 896: 895: 890: 857: 855: 854: 849: 832: 831: 819: 818: 802: 800: 799: 794: 771: 769: 768: 763: 761: 760: 745: 736: 733: 732: 716: 714: 713: 708: 678: 676: 675: 670: 668: 667: 639: 637: 636: 631: 629: 628: 606: 604: 603: 598: 581: 580: 568: 567: 551: 549: 548: 543: 521: 519: 518: 513: 495: 493: 492: 487: 469: 467: 466: 461: 459: 458: 430: 428: 427: 422: 404: 402: 401: 396: 366: 364: 363: 358: 356: 355: 340: 331: 328: 327: 311: 309: 308: 303: 301: 300: 285: 276: 273: 272: 253: 251: 250: 245: 221: 219: 218: 213: 211: 210: 195: 186: 183: 182: 166: 164: 163: 158: 147: 146: 130: 128: 127: 122: 98: 96: 95: 90: 88: 87: 72: 63: 60: 59: 1572: 1571: 1567: 1566: 1565: 1563: 1562: 1561: 1542: 1541: 1540: 1539: 1525: 1524: 1520: 1506: 1505: 1501: 1467: 1466: 1462: 1422: 1421: 1419: 1418: 1414: 1409: 1373: 1362: 1361: 1336: 1335: 1257: 1256: 1229: 1218: 1217: 1196: 1185: 1184: 1144: 1143: 1107: 1094: 1089: 1088: 1063: 1062: 1051: 1006: 978: 973: 972: 971:the inequality 945: 934: 933: 912: 901: 900: 860: 859: 823: 810: 805: 804: 779: 778: 719: 718: 681: 680: 653: 642: 641: 620: 609: 608: 572: 559: 554: 553: 528: 527: 498: 497: 472: 471: 444: 433: 432: 407: 406: 369: 368: 314: 313: 259: 258: 224: 223: 169: 168: 138: 133: 132: 104: 103: 46: 45: 38: 12: 11: 5: 1570: 1568: 1560: 1559: 1554: 1544: 1543: 1538: 1537: 1518: 1499: 1460: 1438: 1435: 1432: 1429: 1411: 1410: 1408: 1405: 1401:A.A. Karatsuba 1386: 1383: 1380: 1376: 1372: 1369: 1349: 1346: 1343: 1332:his conjecture 1312: 1309: 1306: 1303: 1300: 1297: 1294: 1291: 1288: 1285: 1282: 1279: 1276: 1273: 1270: 1267: 1264: 1242: 1239: 1236: 1232: 1228: 1225: 1203: 1199: 1195: 1192: 1172: 1169: 1166: 1163: 1160: 1157: 1154: 1151: 1131: 1128: 1125: 1122: 1119: 1114: 1110: 1106: 1101: 1097: 1076: 1073: 1070: 1050: 1047: 1033: 1030: 1027: 1024: 1021: 1018: 1013: 1009: 1005: 1002: 999: 996: 993: 990: 985: 981: 958: 955: 952: 948: 944: 941: 919: 915: 911: 908: 888: 885: 882: 879: 876: 873: 870: 867: 847: 844: 841: 838: 835: 830: 826: 822: 817: 813: 792: 789: 786: 759: 754: 751: 748: 742: 739: 731: 726: 706: 703: 700: 697: 694: 691: 688: 666: 663: 660: 656: 652: 649: 627: 623: 619: 616: 596: 593: 590: 587: 584: 579: 575: 571: 566: 562: 541: 538: 535: 511: 508: 505: 485: 482: 479: 457: 454: 451: 447: 443: 440: 420: 417: 414: 394: 391: 388: 385: 382: 379: 376: 354: 349: 346: 343: 337: 334: 326: 321: 299: 294: 291: 288: 282: 279: 271: 266: 243: 240: 237: 234: 231: 209: 204: 201: 198: 192: 189: 181: 176: 156: 153: 150: 145: 141: 120: 117: 114: 111: 86: 81: 78: 75: 69: 66: 58: 53: 37: 34: 20:, named after 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1569: 1558: 1555: 1553: 1550: 1549: 1547: 1534:(3): 569–584. 1533: 1529: 1522: 1519: 1514: 1510: 1503: 1500: 1495: 1491: 1487: 1483: 1479: 1475: 1471: 1464: 1461: 1456: 1452: 1433: 1427: 1416: 1413: 1406: 1404: 1402: 1384: 1381: 1378: 1374: 1370: 1367: 1347: 1344: 1341: 1333: 1329: 1326:In his turn, 1324: 1310: 1307: 1304: 1301: 1298: 1295: 1289: 1283: 1280: 1274: 1271: 1268: 1262: 1240: 1237: 1234: 1230: 1226: 1223: 1201: 1197: 1193: 1190: 1170: 1167: 1161: 1155: 1152: 1149: 1129: 1126: 1120: 1112: 1108: 1104: 1099: 1095: 1074: 1071: 1068: 1060: 1056: 1048: 1046: 1045: 1031: 1028: 1025: 1019: 1011: 1007: 1003: 997: 994: 991: 983: 979: 956: 953: 950: 946: 942: 939: 917: 913: 909: 906: 886: 883: 877: 871: 868: 865: 845: 842: 836: 828: 824: 820: 815: 811: 790: 787: 784: 774: 773: 752: 749: 746: 740: 737: 724: 701: 698: 695: 692: 689: 679:the interval 664: 661: 658: 654: 650: 647: 625: 621: 617: 614: 594: 591: 585: 577: 573: 569: 564: 560: 539: 536: 533: 523: 509: 506: 503: 483: 480: 477: 455: 452: 449: 445: 441: 438: 418: 415: 412: 389: 386: 383: 380: 377: 367:on intervals 347: 344: 341: 335: 332: 319: 292: 289: 286: 280: 277: 264: 255: 238: 235: 232: 202: 199: 196: 190: 187: 174: 151: 143: 139: 115: 109: 100: 79: 76: 73: 67: 64: 51: 43: 35: 33: 31: 27: 23: 19: 1531: 1527: 1521: 1512: 1508: 1502: 1477: 1473: 1463: 1457:: 1012–1014. 1454: 1450: 1415: 1325: 1058: 1055:Atle Selberg 1052: 803:there exist 776: 775: 525: 524: 256: 101: 39: 17: 15: 1552:Conjectures 777:2. For any 526:1. For any 36:Conjectures 1546:Categories 1407:References 1494:126338046 1428:ζ 1385:ε 1323:is true. 1308:⁡ 1296:≥ 1281:− 1241:ε 1194:≥ 1162:ε 1121:ε 1069:ε 1053:In 1942, 1026:≥ 1004:− 957:ε 910:≥ 878:ε 837:ε 785:ε 725:ζ 665:ε 618:≥ 607:that for 586:ε 534:ε 504:ε 496:, where 456:ε 320:ζ 265:ζ 175:ζ 52:ζ 40:In 1914, 1044:is true. 1515:: 1–59. 1474:Math. 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Index

Godfrey Harold Hardy
John Edensor Littlewood
Riemann zeta function
Godfrey Harold Hardy
Atle Selberg
Selberg
his conjecture
A.A. Karatsuba
"The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line"
doi
10.1007/bf01211614
S2CID
126338046
Categories
Conjectures
Zeta and L-functions

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