3254:. Next, each 1 (activated) point in the binary image of the template is treated as a point in a set, the "shape" of the template. Similarly, an area of the binary target image is treated as a set of points. The algorithm then tries to minimize the Hausdorff distance between the template and some area of the target image. The area in the target image with the minimal Hausdorff distance to the template, can be considered the best candidate for locating the template in the target. In
3355:
142:
1338:
998:
72:
Informally, two sets are close in the
Hausdorff distance if every point of either set is close to some point of the other set. The Hausdorff distance is the longest distance someone can be forced to travel by an adversary who chooses a point in one of the two sets, from where they then must travel to
991:
1333:{\displaystyle {\begin{aligned}d_{H}(X,Y)&=\sup _{w\in M}\left|\inf _{x\in X}d(w,x)-\inf _{y\in Y}d(w,y)\right|\\&=\sup _{w\in X\cup Y}\left|\inf _{x\in X}d(w,x)-\inf _{y\in Y}d(w,y)\right|\\&=\sup _{w\in M}|d(w,X)-d(w,Y)|,\end{aligned}}}
424:
2973:
721:
1608:
3714:
Bîrsan, Temistocle; Tiba, Dan (2006), "One hundred years since the introduction of the set distance by
Dimitrie Pompeiu", in Ceragioli, Francesca; Dontchev, Asen; Futura, Hitoshi; Marti, Kurt; Pandolfi, Luciano (eds.),
890:
3230:
1817:
2066:
2026:
1737:
2776:
2656:
1003:
1540:
290:
1410:
546:
3561:
3107:
1873:
2253:
2201:
2145:
470:
446:
131:
1906:
635:
3625:
3593:
1957:
1633:
1490:
825:
781:
741:
598:
630:
3349:
243:
217:
2543:
1983:
572:
3361:
187:
2092:
3303:
3283:
1653:
1450:
1430:
885:
865:
845:
801:
761:
283:
263:
2787:
1548:
3258:
the
Hausdorff distance is used to measure the difference between two different representations of the same 3D object particularly when generating
3246:, the Hausdorff distance can be used to find a given template in an arbitrary target image. The template and image are often pre-processed via an
3738:
3936:
A short tutorial on how to compute and visualize the
Hausdorff distance between two triangulated 3D surfaces using the open source tool
3259:
73:
the other set. In other words, it is the greatest of all the distances from a point in one set to the closest point in the other set.
3864:
3779:
3698:
3136:
3490:
3720:
1748:
986:{\displaystyle d_{H}(X,Y):=\inf\{\varepsilon \geq 0\mid X\subseteq Y_{\varepsilon }{\text{ and }}Y\subseteq X_{\varepsilon }\}.}
3820:
2031:
1991:
1661:
2698:
2578:
3933:
1495:
78:
3856:
2510:
The definition of the
Hausdorff distance can be derived by a series of natural extensions of the distance function
83:
1343:
479:
3504:
3079:
3958:
3944:
1825:
3927:
2208:
2162:
2106:
419:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y):=\max \left\{\,\sup _{x\in X}d(x,Y),\ \sup _{y\in Y}d(X,y)\,\right\},}
3889:
3682:
3645:
455:
431:
89:
2450:
1878:
3598:
3566:
1911:
3894:
3655:
3640:
3354:
3016:
1616:
1463:
810:
766:
726:
577:
3907:
3880:
Cignoni, P.; Rocchini, C.; Scopigno, R. (1998). "Metro: Measuring Error on
Simplified Surfaces".
2417:
804:
606:
3312:
222:
196:
3963:
3860:
3775:
3765:
3734:
3694:
3255:
2480:
82:, first published in 1914, although a very close relative appeared in the doctoral thesis of
3899:
3848:
3724:
2513:
1962:
551:
66:
3748:
160:
141:
3744:
3430:
3243:
2968:{\textstyle d(\{1,7\},\{3,6\})=\sup\{d(1,\{3,6\}),d(7,\{3,6\})\}=\sup\{d(1,3),d(7,6)\}=2.}
716:{\displaystyle X_{\varepsilon }:=\bigcup _{x\in X}\{z\in M\mid d(z,x)\leq \varepsilon \},}
62:
2071:
2677:
Define a (not-necessarily-symmetric) "distance" function between any two non-empty sets
3686:
3650:
3288:
3268:
3247:
1638:
1603:{\displaystyle X\subseteq Y_{\varepsilon }\ {\mbox{and}}\ Y\subseteq X_{\varepsilon }.}
1435:
1415:
870:
850:
830:
786:
746:
268:
248:
3952:
3771:
3761:
3660:
58:
55:
3911:
3831:
3251:
190:
51:
61:
subsets of a metric space into a metric space in its own right. It is named after
2156:
145:
Components of the calculation of the
Hausdorff distance between the green curve
31:
17:
3306:
3377:
3363:
3903:
3729:
3806:
3794:
3468:
449:
3937:
473:
47:
3353:
140:
86:
in 1906, in his study of the space of all continuous curves from
3493:
is a related idea: measuring the distance of two metric spaces
3225:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max\{d(X,Y),d(Y,X)\}\,.}
3821:"Completeness and total boundedness of the Hausdorff metric"
1613:
For instance, consider the metric space of the real numbers
76:
This distance was first introduced by
Hausdorff in his book
3406:
A measure for the dissimilarity of two shapes is given by
1812:{\displaystyle X:=(0,1]\quad {\mbox{and}}\quad Y:=[-1,0).}
2061:{\displaystyle Y\subseteq {\overline {X_{\varepsilon }}}}
2021:{\displaystyle X\subseteq {\overline {Y_{\varepsilon }}}}
3934:
Using MeshLab to measure difference between two surfaces
1732:{\displaystyle d(x,y):=|y-x|,\quad x,y\in \mathbb {R} .}
2382:
has a non-empty interior, then there exists a constant
2790:
1775:
1572:
3601:
3569:
3507:
3478:
to itself. This distance measures how far the shapes
3315:
3291:
3271:
3139:
3082:
2701:
2581:
2516:
2211:
2165:
2109:
2074:
2034:
1994:
1965:
1914:
1881:
1828:
1751:
1664:
1641:
1619:
1551:
1498:
1466:
1438:
1418:
1346:
1001:
893:
873:
853:
833:
813:
789:
769:
749:
729:
638:
609:
603:
An equivalent definition is as follows. For each set
580:
554:
482:
458:
434:
293:
271:
251:
225:
199:
163:
92:
2771:{\displaystyle d(X,Y)=\sup\{d(x,Y)\mid x\in X\}.\ }
2651:{\displaystyle d(x,Y)=\inf\{d(x,y)\mid y\in Y\}.\ }
3619:
3587:
3555:
3343:
3305:is the land-surface of Earth, then by finding the
3297:
3277:
3224:
3123:. However, we can create a metric by defining the
3101:
2967:
2770:
2650:
2537:
2247:
2195:
2139:
2086:
2060:
2020:
1977:
1951:
1900:
1867:
1811:
1731:
1647:
1627:
1602:
1535:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\varepsilon }
1534:
1484:
1444:
1424:
1404:
1332:
985:
879:
859:
839:
819:
795:
775:
755:
735:
715:
624:
592:
566:
540:
464:
440:
418:
277:
257:
237:
211:
181:
125:
3170:
2911:
2836:
2723:
2603:
1369:
1259:
1210:
1173:
1146:
1097:
1060:
1039:
922:
505:
374:
334:
324:
2553:Define a distance function between any point
8:
3262:for efficient display of complex 3D models.
3215:
3173:
2956:
2914:
2905:
2899:
2887:
2866:
2854:
2839:
2827:
2815:
2809:
2797:
2759:
2726:
2639:
2606:
1405:{\displaystyle d(w,X):=\inf _{x\in X}d(w,x)}
977:
925:
707:
668:
541:{\displaystyle d(a,B):=\inf _{b\in B}d(a,b)}
3556:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(I(M),J(N))}
3928:Hausdorff distance between convex polygons
3102:{\displaystyle X\subseteq {\overline {Y}}}
3893:
3728:
3600:
3568:
3513:
3512:
3506:
3425:be two compact figures in a metric space
3320:
3314:
3290:
3270:
3218:
3145:
3144:
3138:
3089:
3081:
2789:
2700:
2580:
2515:
2217:
2216:
2210:
2171:
2170:
2164:
2115:
2114:
2108:
2073:
2047:
2041:
2033:
2007:
2001:
1993:
1964:
1919:
1913:
1892:
1880:
1868:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=1\ }
1834:
1833:
1827:
1774:
1750:
1722:
1721:
1700:
1686:
1663:
1640:
1621:
1620:
1618:
1591:
1571:
1562:
1550:
1504:
1503:
1497:
1465:
1437:
1417:
1372:
1345:
1318:
1274:
1262:
1213:
1176:
1149:
1100:
1063:
1042:
1010:
1002:
1000:
971:
956:
950:
898:
892:
872:
852:
832:
812:
788:
768:
748:
728:
656:
643:
637:
608:
579:
553:
508:
481:
457:
433:
407:
377:
337:
332:
299:
298:
292:
270:
250:
224:
198:
162:
117:
113:
112:
91:
54:are from each other. It turns the set of
27:Distance between two metric-space subsets
3828:MIT Undergraduate Journal of Mathematics
1412:is the smallest distance from the point
847:). Then, the Hausdorff distance between
3671:
3019:property from the distance function in
2386: > 0, such that every set
2248:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=0}
3677:
3675:
2431:) of all non-empty compact subsets of
723:which is the set of all points within
2196:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)}
2140:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)}
1460:It is not true for arbitrary subsets
548:quantifies the distance from a point
193:. For each pair of non-empty subsets
7:
3943:MATLAB code for Hausdorff distance:
2337:) is the distance between the point
2068: ; in particular it is true if
465:{\displaystyle \operatorname {inf} }
441:{\displaystyle \operatorname {sup} }
126:{\displaystyle \to \mathbb {R} ^{3}}
3807:Hausdorff Distance and Intersection
3358:Oceanic pole of inaccessibility at
3514:
3146:
2491:) depends only on the topology of
2218:
2172:
2116:
1835:
1505:
300:
25:
3408:Hausdorff distance up to isometry
2341:and the closest point in the set
1901:{\displaystyle X\nsubseteq Y_{1}}
245:, the Hausdorff distance between
3717:System Modeling and Optimization
3693:. Springer-Verlag. p. 117.
3795:Diameter and Hausdorff Distance
3563:among all isometric embeddings
3389:Oceanic Pole of Inaccessibility
3051:) is not always symmetric, and
2545:in the underlying metric space
1781:
1773:
1708:
1655:induced by the absolute value,
3627:into some common metric space
3620:{\displaystyle J\colon N\to L}
3611:
3588:{\displaystyle I\colon M\to L}
3579:
3550:
3547:
3541:
3532:
3526:
3520:
3338:
3326:
3212:
3200:
3191:
3179:
3164:
3152:
2953:
2941:
2932:
2920:
2902:
2878:
2869:
2845:
2830:
2794:
2744:
2732:
2717:
2705:
2624:
2612:
2597:
2585:
2532:
2520:
2390:whose Hausdorff distance from
2236:
2224:
2190:
2178:
2134:
2122:
1952:{\displaystyle Y_{1}=[-2,1)\ }
1943:
1928:
1853:
1841:
1803:
1788:
1770:
1758:
1701:
1687:
1680:
1668:
1523:
1511:
1399:
1387:
1362:
1350:
1319:
1315:
1303:
1294:
1282:
1275:
1240:
1228:
1203:
1191:
1127:
1115:
1090:
1078:
1028:
1016:
916:
904:
698:
686:
535:
523:
498:
486:
404:
392:
364:
352:
318:
306:
176:
164:
108:
105:
93:
1:
3285:is the surface of Earth, and
2405:On the set of all subsets of
3491:Gromov–Hausdorff convergence
3094:
2053:
2013:
1628:{\displaystyle \mathbb {R} }
1485:{\displaystyle X,Y\subset M}
820:{\displaystyle \varepsilon }
776:{\displaystyle \varepsilon }
736:{\displaystyle \varepsilon }
593:{\displaystyle B\subseteq X}
2203:is guaranteed to be finite.
625:{\displaystyle X\subset M,}
3980:
3721:Kluwer Academic Publishers
3486:are from being isometric.
3344:{\displaystyle d_{H}(X,Y)}
238:{\displaystyle Y\subset M}
212:{\displaystyle X\subset M}
44:Pompeiu–Hausdorff distance
3719:, vol. 199, Boston:
3501:by taking the infimum of
2147:may be infinite. If both
79:Grundzüge der Mengenlehre
3819:Henrikson, Jeff (1999).
3904:10.1111/1467-8659.00236
3882:Computer Graphics Forum
3830:: 69–80. Archived from
3730:10.1007/0-387-33006-2_4
3683:Rockafellar, R. Tyrrell
2468:is compact, then so is
2274:and any non-empty sets
46:, measures how far two
3646:Kuratowski convergence
3621:
3589:
3557:
3398:
3351:is around 2,704.8 km.
3345:
3299:
3279:
3226:
3121:({3,6}, {1,3,6,7}) = 0
3114:({1,3,6,7}, {3,6}) = 2
3103:
2969:
2772:
2652:
2561:and any non-empty set
2539:
2538:{\displaystyle d(x,y)}
2263:have the same closure.
2249:
2197:
2141:
2088:
2062:
2022:
1979:
1978:{\displaystyle 1\in X}
1953:
1902:
1869:
1813:
1733:
1649:
1635:with the usual metric
1629:
1604:
1536:
1486:
1446:
1426:
1406:
1334:
987:
881:
861:
841:
821:
797:
777:
763:(sometimes called the
757:
737:
717:
626:
594:
568:
567:{\displaystyle a\in X}
542:
466:
442:
420:
279:
259:
239:
213:
183:
154:
127:
3859:. pp. Ch. II.6.
3622:
3590:
3558:
3357:
3346:
3300:
3280:
3227:
3104:
3076:(It does imply that
2970:
2773:
2653:
2540:
2250:
2198:
2142:
2089:
2063:
2023:
1980:
1954:
1903:
1870:
1814:
1734:
1650:
1630:
1605:
1537:
1487:
1447:
1427:
1407:
1335:
988:
882:
862:
842:
822:
798:
778:
758:
738:
718:
627:
595:
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