2268:
1943:
2263:{\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{ is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}}
4436:
3602:
4169:
1674:
3988:
4115:
4582:
2912:
4431:{\displaystyle {\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}}
3820:
945:
3439:
1498:
2590:
4678:
223:
3275:
2465:
1399:
1848:
3831:
2721:
3999:
2334:
2382:
4447:
3391:
2983:
2643:
524:
2796:
1297:
444:
3146:
600:
3337:
2947:
727:
1458:
2781:
1198:
3012:
1881:
1057:
669:
299:
3597:{\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}}
3692:
1103:
789:
773:
4842:
3644:
1669:{\displaystyle (d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ and }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),}
87:
4158:
3684:
3664:
3106:
1145:
544:
3172:
1770:
983:
638:
1935:
1908:
1704:
1490:
3063:
480:
3086:
4738:
4718:
4698:
4138:
3431:
3411:
1744:
1724:
246:
107:
2473:
5023:
4589:
123:
3180:
4909:
4819:
2387:
1317:
3983:{\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}
1778:
4992:
4872:"Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist"
993:
are both integers. This may be viewed as a rational parametrization of the rational points on the unit circle. Rational points
4110:{\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}
2674:
2276:
4984:
3026:
4577:{\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}
2339:
2907:{\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),}
4871:
3342:
2952:
2598:
488:
3608:
1238:
385:
3111:
552:
3283:
2920:
674:
1404:
2652:
4943:
3014:
is the sheaf defined by the affine line without the origin considered as a group under multiplication.
4938:
2729:
1150:
3815:{\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K,}
2988:
1853:
940:{\displaystyle a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,}
2664:
2660:
1217:
996:
643:
258:
4178:
3448:
1062:
732:
483:
36:
3614:
3022:
1106:
4893:
4988:
4960:
4905:
4859:
4815:
4790:
69:
4837:
4778:
4143:
3669:
3649:
3091:
1112:
529:
4998:
4968:
4952:
4923:
4851:
3151:
1749:
1209:
953:
608:
368:
352:
32:
20:
4919:
4829:
1913:
1886:
1682:
1463:
5002:
4972:
4927:
4915:
4825:
4811:
3018:
3040:
457:
3068:
2585:{\displaystyle 1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).}
4723:
4703:
4683:
4673:{\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}
4123:
3416:
3396:
1729:
1709:
231:
92:
1948:
5017:
4801:
4774:
1883:. The triviality of the first cohomology group is then equivalent to the 1-cocycles
1303:
305:
114:
40:
4934:
336:
321:
52:
4758:
4805:
729:. An element of norm one thus corresponds to a rational solution of the equation
776:
309:
16:
Result due to Kummer on cyclic extensions of fields that leads to Kummer theory
4964:
4863:
4855:
4794:
218:{\displaystyle N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,}
4876:
Abdruck aus den
Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin
3270:{\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}
4878:(in German), Reprinted in volume 1 of his collected works, pages 699–839
4838:"Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke."
304:
The theorem takes its name from the fact that it is the 90th theorem in
4956:
2460:{\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)}
1773:
1394:{\displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}}
1314:-tuples of group elements to the multiplicative coefficient group,
2949:
is the group of isomorphism classes of locally free sheaves of
1843:{\displaystyle \gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }}
4939:"Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper."
4887:
2645:. Equating these gives the original version of the Theorem.
2959:
2864:
775:
or in other words, a point with rational coordinates on the
4424:
3590:
779:. Hilbert's Theorem 90 then states that every such element
1772:. Note that in the first of these we have identified a 0-
1302:
Specifically, group cohomology is the cohomology of the
526:. The Galois group is cyclic of order 2, its generator
2716:{\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }}
4726:
4706:
4686:
4592:
4450:
4172:
4146:
4126:
4002:
3834:
3695:
3672:
3652:
3617:
3442:
3419:
3399:
3345:
3286:
3183:
3154:
3114:
3094:
3071:
3043:
2991:
2955:
2923:
2799:
2732:
2677:
2601:
2476:
2390:
2342:
2329:{\displaystyle G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}}
2279:
1946:
1916:
1889:
1856:
1781:
1752:
1732:
1712:
1685:
1501:
1466:
1407:
1320:
1241:
1153:
1115:
1065:
999:
956:
792:
735:
677:
646:
611:
555:
532:
491:
460:
388:
261:
234:
126:
95:
72:
4783:
Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung
2595:On the other hand, a 1-coboundary is determined by
375:, with coefficients in the multiplicative group of
4732:
4712:
4692:
4672:
4576:
4430:
4152:
4132:
4109:
3982:
3814:
3678:
3658:
3638:
3596:
3425:
3405:
3385:
3331:
3269:
3166:
3140:
3100:
3080:
3057:
3006:
2977:
2941:
2906:
2775:
2715:
2637:
2584:
2459:
2376:
2328:
2262:
1929:
1902:
1875:
1842:
1764:
1738:
1718:
1698:
1668:
1484:
1452:
1393:
1291:
1192:
1139:
1097:
1051:
977:
939:
767:
721:
663:
632:
594:
538:
518:
474:
438:
293:
240:
217:
101:
81:
2985:-modules of rank 1 for the Zariski topology, and
1220:of any (not necessarily finite) Galois extension
39:(or to one of its generalizations) that leads to
4983:, Fields Institute monographs, Providence, RI:
4843:Journal für die reine und angewandte Mathematik
2651:A further generalization is to cohomology with
2377:{\displaystyle \phi (\sigma )=a\in L^{\times }}
4902:Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
3413:as an eigenvalue. We extend this to a map of
8:
4896:; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000),
3386:{\displaystyle a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L}
2978:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}
2767:
2761:
2638:{\displaystyle \phi (\sigma )=b/b^{\sigma }}
2323:
2286:
2250:
2146:
2091:
1991:
1388:
1356:
1283:
1277:
985:is as in the conclusion of the theorem, and
519:{\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }
430:
424:
43:. In its most basic form, it states that if
4163:Under this identification, our map becomes
1292:{\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}
439:{\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}
4904:, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag,
4779:"Die Theorie der algebraischen Zahlkörper"
4725:
4705:
4685:
4652:
4621:
4591:
4556:
4537:
4518:
4499:
4477:
4458:
4449:
4395:
4370:
4318:
4275:
4226:
4213:
4188:
4173:
4171:
4145:
4125:
4081:
4001:
3974:
3962:
3957:
3955:
3954:
3937:
3917:
3912:
3910:
3909:
3892:
3874:
3859:
3854:
3852:
3851:
3842:
3833:
3768:
3694:
3671:
3651:
3616:
3561:
3518:
3499:
3471:
3455:
3443:
3441:
3418:
3398:
3353:
3344:
3305:
3296:
3285:
3240:
3218:
3182:
3153:
3141:{\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}
3127:
3113:
3093:
3070:
3047:
3042:
2998:
2994:
2993:
2990:
2969:
2964:
2958:
2957:
2954:
2922:
2874:
2869:
2863:
2862:
2846:
2830:
2826:
2825:
2809:
2804:
2798:
2737:
2731:
2707:
2682:
2676:
2629:
2620:
2600:
2543:
2523:
2508:
2475:
2436:
2416:
2401:
2389:
2368:
2341:
2311:
2278:
2226:
2217:
2194:
2188:
2177:
2173:
2172:
2168:
2159:
2133:
2124:
2111:
2098:
2085:
2071:
2040:
2039:
2035:
2016:
2015:
2010:
2004:
1978:
1955:
1947:
1945:
1921:
1915:
1894:
1888:
1867:
1855:
1834:
1821:
1805:
1792:
1780:
1751:
1731:
1711:
1690:
1684:
1643:
1637:
1611:
1607:
1574:
1561:
1551:
1542:
1509:
1500:
1465:
1438:
1425:
1412:
1406:
1382:
1369:
1344:
1325:
1319:
1265:
1246:
1240:
1184:
1171:
1158:
1152:
1114:
1083:
1070:
1064:
1038:
1024:
998:
955:
922:
909:
891:
879:
866:
854:
841:
834:
799:
791:
753:
740:
734:
713:
700:
676:
648:
647:
645:
610:
595:{\displaystyle \sigma :c+di\mapsto c-di.}
554:
531:
512:
511:
506:
493:
492:
490:
464:
459:
412:
393:
387:
271:
260:
233:
185:
163:
158:
145:
125:
94:
71:
3332:{\displaystyle a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L}
4749:
3017:There is yet another generalization to
2942:{\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}
722:{\displaystyle a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}}
340:
317:
313:
4759:"Lectures on Etale Cohomology (v2.21)"
2786:Another generalization is to a scheme
1746:under the action of the group element
1453:{\displaystyle d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}}
1310:cochains are arbitrary functions from
1208:The theorem can be stated in terms of
355:of fields with arbitrary Galois group
329:
325:
51:is an extension of fields with cyclic
4807:The theory of algebraic number fields
4120:Here we wrote the second factor as a
343:) is given the name, stating that if
7:
335:Often a more general theorem due to
320:), although it is originally due to
5024:Theorems in algebraic number theory
4680:is an eigenvector with eigenvalue
3280:By clearing denominators, solving
2238:
2174:
2017:
1910:being equal to the 1-coboundaries
14:
2776:{\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}
1193:{\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}}
3007:{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}
1876:{\displaystyle b\in L^{\times }}
1228:with corresponding Galois group
4441:That is to say under this map
2336:, a 1-cocycle is determined by
1566:
1560:
1052:{\displaystyle (x,y)=(p/r,q/r)}
664:{\displaystyle \mathbb {Q} (i)}
294:{\displaystyle a=b/\sigma (b).}
4667:
4593:
4568:
4489:
4486:
4483:
4451:
4410:
4388:
4354:
4348:
4333:
4311:
4302:
4296:
4293:
4290:
4268:
4253:
4247:
4219:
4203:
4197:
4096:
4074:
4059:
4050:
4041:
4035:
4021:
4018:
4012:
3958:
3951:
3945:
3934:
3928:
3913:
3906:
3900:
3889:
3883:
3855:
3806:
3800:
3786:
3780:
3747:
3744:
3738:
3726:
3723:
3711:
3705:
3699:
3633:
3627:
3581:
3570:
3545:
3508:
3486:
3480:
3377:
3368:
3362:
3320:
3314:
3258:
3252:
3230:
3224:
3211:
3205:
3193:
3187:
3135:
3121:
2936:
2930:
2898:
2892:
2880:
2852:
2836:
2815:
2755:
2743:
2697:
2691:
2611:
2605:
2576:
2570:
2561:
2555:
2533:
2527:
2514:
2501:
2492:
2486:
2454:
2448:
2426:
2420:
2407:
2394:
2352:
2346:
2208:
2202:
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