6773:
6557:
6543:
6011:
6761:
6538:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=&\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\cos \theta +&\mu \left(2-{\frac {2}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {2}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(5\sin(3\theta )-\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\\y&=&-\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\sin \theta +&\mu \left(1+{\frac {4}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {1}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(36\sin \theta +28\cos \theta -5\sin(3\theta )+7\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\end{aligned}}}
517:
6556:
6772:
106:
20:
1579:
1311:
4121:
135:. Possible trajectories in red, stable structures in dark blue and unstable structures in dashed light blue. Supercritical Hopf bifurcation: 1a) stable fixed point 1b) unstable fixed point, stable limit cycle 1c) phase space dynamics. Subcritical Hopf bifurcation: 2a) stable fixed point, unstable limit cycle 2b) unstable fixed point 2c) phase space dynamics.
1796:
3619:
5143:
3811:
1989:
In railway vehicle systems, Hopf bifurcation analysis is notably important. Conventionally a railway vehicle's stable motion at low speeds crosses over to unstable at high speeds. One aim of the nonlinear analysis of these systems is to perform an analytical investigation of bifurcation, nonlinear
1322:
1057:
3342:
4586:
7787:
8188:
6843:
The appearance or the disappearance of a periodic orbit through a local change in the stability properties of a fixed point is known as the Hopf bifurcation. The following theorem works for fixed points with one pair of conjugate nonzero purely imaginary
5857:
4873:
4423:
5525:
2308:
8389:
7250:
7901:
4868:
1574:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\sin(\theta )+{\frac {d\theta }{dt}}r\cos(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\sin(\theta )+\omega r\cos(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})y+\omega x.\end{aligned}}}
1306:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\cos(\theta )-{\frac {d\theta }{dt}}r\sin(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\cos(\theta )-\omega r\sin(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})x-\omega y\end{aligned}}}
482:
4116:{\displaystyle {\begin{cases}\partial _{tt}x_{1}+x_{1}=0\\\partial _{tt}x_{2}+x_{2}=2x_{1}^{2}-2x_{1}\partial _{t}x_{1}\\\partial _{tt}x_{3}+x_{3}=4x_{1}x_{2}+2\partial _{t}(x_{1}-x_{1}x_{2}-\partial _{T}x_{1})\end{cases}}}
1727:
5633:
625:
1981:
5233:
3723:
8508:
3030:
2794:
2697:
266:
7984:
4657:
3100:
6016:
5708:
1327:
1062:
2540:
2069:
5348:
6696:
3614:{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}\implies {\ddot {x}}=\mu {\dot {x}}+(-x+\mu y+2x^{2})-2x{\dot {x}}\implies {\ddot {x}}-2\mu {\dot {x}}+(1+\mu ^{2})x+2x{\dot {x}}-(2+\mu )x^{2}=0}
3294:
4208:
6625:
4454:
3223:
2440:
7061:
3779:
8061:
7663:
8074:
5386:
5914:
2171:
401:
323:
7550:
7353:
2620:
6004:
1009:
968:
823:
7645:
The conditions that we are looking for so that a Hopf bifurcation occurs (see theorem above) for a parametric continuous dynamical system are given by this last proposition.
6752:
7640:
2363:
847:
5663:
5296:
5263:
4698:
4260:
4252:
3806:
2838:
2567:
4732:
7595:
6967:
5703:
5381:
2950:
8849:
6831:
5969:
2907:
686:
133:
4449:
2158:
1785:
893:
738:
712:
7924:
7477:
7438:
7405:
7286:
3130:
2337:
867:
153:
8537:
6722:
5530:
8227:
6941:
6914:
6879:
2865:
1621:
69:
imaginary axis as a parameter crosses a threshold value. Under reasonably generic assumptions about the dynamical system, the fixed point becomes a small-amplitude
8235:
7096:
6796:
3314:
2469:
2383:
2129:
2109:
1759:
767:
657:
4727:
919:
793:
7497:
7306:
7088:
5934:
5138:{\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+(2A-A^{3}-2A')\sin(t+\phi )-(2A\phi '+11A^{3}/3)\cos(t+\phi )+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}
3337:
3150:
2089:
1049:
1029:
7798:
3624:
6760:
412:
8513:
Because 1 > 0 and −1 < 0 are obvious, one can conclude that a Hopf bifurcation may occur for Van der Pol oscillator if
9100:
1629:
5148:
530:
8568:
6798:
increases from zero, a stable limit cycle emerges out of the origin via Hopf bifurcation. Here we plot the limit cycle parametrically, up to order
1852:
6981:
9084:
9058:
9011:
8900:
8875:
8805:
8616:
23:
Complex eigenvalues of an arbitrary map (dots). In case of the Hopf bifurcation, two complex conjugate eigenvalues cross the imaginary axis.
8964:
8400:
1828:
9036:
3103:
2955:
167:
2702:
2628:
178:
6882:
7932:
4591:
5265:
is a stable equilibrium. Thus we find that the Hopf bifurcation creates an attracting (rather than repelling) limit cycle.
3035:
1808:
2474:
2003:
39:
7642:
then all the eigenvalues of the associated
Jacobian have negative real parts except a purely imaginary conjugate pair.
5301:
4581:{\displaystyle x=\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+\cdots =\epsilon (A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta ))+\cdots }
9124:
6630:
3228:
3032:, with the right-hand-side a sum of trigonometric terms. Of these terms, we must set the "resonance term" -- that is,
4126:
8823:"Effects of the bogie and body inertia on the nonlinear wheel-set hunting recognized by the hopf bifurcation theory"
7782:{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=\mu (1-y^{2})x-y,\\{\dfrac {dy}{dt}}=x.\end{array}}\right.}
6565:
3163:
2392:
921:
is the only fixed point and it is stable. In that case, the system describes a spiral that converges to the origin.
8183:{\displaystyle {\begin{array}{l}p_{0}(\lambda )=a_{0}\lambda ^{2}-a_{2}\\p_{1}(\lambda )=a_{1}\lambda \end{array}}}
1840:
6995:
6547:
This provides us with a parametric equation for the limit cycle. This is plotted in the illustration on the right.
3728:
9129:
7992:
7068:
47:
1820:
163:
is negative, and the bifurcation is supercritical. Otherwise it is unstable and the bifurcation is subcritical.
5862:
3316:
increases from negative to positive, the origin turns from a stable spiral point to an unstable spiral point.
1990:
lateral stability and hunting behavior of rail vehicles on a tangent track, which uses the
Bogoliubov method.
6973:
arises when these two eigenvalues cross the imaginary axis because of a variation of the system parameters.
5852:{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}\cos(t+\phi ),\quad x_{2}=2-{\frac {2}{3}}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}
8548:
354:
9022:
8973:
8632:
Guckenheimer, J.; Labouriau, J.S. (1993), "Bifurcation of the
Hodgkin and Huxley equations: A new twist",
7654:
6725:
2161:
289:
7502:
524:
The normal form of the supercritical Hopf bifurcation can be expressed intuitively in polar coordinates,
1816:
7311:
2572:
5977:
4418:{\displaystyle x_{1}(t,T)=B\cos(t+\theta )+A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}
973:
932:
798:
8751:
8667:
7356:
6731:
7600:
3820:
2342:
828:
8978:
5638:
5271:
5238:
4662:
4213:
3784:
2799:
2545:
5520:{\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}
4254:
are respectively the "slow-varying amplitude" and "slow-varying phase" of the simple oscillation.
516:
8769:
8720:
8649:
7555:
6946:
5668:
5353:
2915:
2131:
increases from below zero to above zero, the origin turns from a spiral sink to a spiral source.
85:
28:
9105:
8194:
6801:
5939:
2870:
2303:{\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\epsilon ^{3}x_{3}(t,T)+\cdots }
662:
112:
4428:
2137:
1764:
872:
717:
691:
9080:
9054:
9046:
9032:
9007:
8955:
8896:
8871:
8801:
8797:
8790:
8712:
8612:
7909:
330:
81:
55:
43:
8384:{\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }
7449:
7410:
7377:
7258:
7245:{\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }
3109:
2313:
852:
138:
8983:
8932:
8759:
8704:
8641:
8516:
6886:
6701:
2386:
1832:
155:
determines the angular dynamics and therefore the direction of winding for the trajectories.
51:
8921:"Deciding Hopf bifurcations by quantifier elimination in a software component architecture"
8200:
6919:
6892:
6857:
2843:
1592:
9068:
8959:
6781:
3299:
2445:
2368:
2114:
2094:
1735:
743:
633:
4706:
1986:
The figure shows a phase portrait illustrating the Hopf bifurcation in the Selkov model.
898:
772:
8755:
7896:{\displaystyle J={\begin{pmatrix}-\mu (-1+y^{2})&-2\mu yx-1\\1&0\end{pmatrix}}.}
9000:
8864:
7482:
7360:
7291:
7073:
5919:
3322:
3135:
2074:
1034:
1014:
9118:
9073:
8773:
8724:
8653:
8605:
4863:{\displaystyle x_{2}(t,T)=A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}
1799:
The Hopf bifurcation in the Selkov system (see article). As the parameters change, a
89:
66:
62:
9109:
8995:
8065:
7064:
477:{\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}{\text{ and }}\omega =1+\beta r^{2}.\,}
9026:
8822:
6984:(section I.13 of ) gives necessary conditions so that a Hopf bifurcation occurs.
1836:
1800:
1722:{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega }
70:
8764:
8739:
8708:
5628:{\displaystyle x_{3}={\frac {\sqrt {2}}{12}}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}
929:
The polar coordinates can be transformed into
Cartesian coordinates by writing
620:{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega }
8987:
6845:
2165:
2111:
is a parameter. After a linear transform of parameters, we can assume that as
1824:
105:
58:
19:
8716:
1976:{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+ay+x^{2}y,~~{\frac {dy}{dt}}=b-ay-x^{2}y.}
170:
of a Hopf bifurcation is the following time-dependent differential equation:
1812:
1589:
The normal form of the subcritical Hopf is obtained by negating the sign of
8937:
8920:
8692:
6943:
have negative real part except one conjugate nonzero purely imaginary pair
520:
Normal form of the supercritical Hopf bifurcation in
Cartesian coordinates.
8850:
18.385J / 2.036J Nonlinear
Dynamics and Chaos Fall 2014: Hopf Bifurcations
6848:. It tells the conditions under which this bifurcation phenomenon occurs.
8588:
8079:
7672:
3718:{\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\cdots }
8645:
9006:. Texts in Applied Mathematics. Vol. 3. Berlin: Springer-Verlag.
8870:. Texts in Applied Mathematics. Vol. 3. Berlin: Springer-Verlag.
825:. The system thus describes a stable circular limit cycle with radius
159:
The limit cycle is orbitally stable if a specific quantity called the
1843:. Hopf bifurcations have also been shown to occur in fission waves.
1795:
8693:"Stability analysis of the uniform motion of electrodynamic bodies"
42:
where, as a parameter changes, a system's stability switches and a
1794:
515:
18:
8584:
Heitmann, S., Breakspear, M (2017-2022) Brain
Dynamics Toolbox.
7440:
then the associated
Jacobian has no pure imaginary eigenvalues.
2569:
order, we would obtain three ordinary differential equations in
8503:{\displaystyle c_{0,0}=1>0,c_{1,0}=-\mu =0,c_{0,1}=-1<0.}
5228:{\displaystyle A'=A-A^{3}/2,\quad \phi '=-{\frac {11}{6}}A^{2}}
46:
arises. More accurately, it is a local bifurcation in which a
8740:"Stability instability and Hopf bifurcation in fission waves"
3106:. This then provides two ordinary differential equations for
8893:
Solving
Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems
3025:{\displaystyle \partial _{tt}x_{3}+\omega _{0}^{2}x_{3}=...}
688:
is its instantaneous angular position. The angular velocity
7776:
4109:
3621:
Now, perform the perturbative expansion as described above:
2952:
into the third equation, we would have an equation of form
2789:{\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(\omega _{0}t+\phi (T))}
2692:{\displaystyle \partial _{tt}x_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=0}
1787:
the limit cycle is now unstable and the origin is stable.
261:{\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),}
2867:. Plugging it into the second equation, we can solve for
8585:
7979:{\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{2}-\mu \lambda +1.}
4652:{\displaystyle A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta )}
1051:
with respect to time yields the differential equations,
7792:
The
Jacobian matrix associated to this system follows:
7813:
4451:
are also slow-varying amplitude and phase. Now, since
3296:. The system has an equilibrium point at origin. When
659:
is the instantaneous amplitude of the oscillation and
500:
is positive then there is an unstable limit cycle for
8738:
Osborne, Andrew G.; Deinert, Mark R. (October 2021).
8519:
8403:
8238:
8203:
8077:
7995:
7935:
7912:
7801:
7742:
7676:
7666:
7603:
7558:
7505:
7485:
7452:
7413:
7380:
7314:
7294:
7261:
7099:
7076:
6998:
6949:
6922:
6895:
6860:
6804:
6784:
6734:
6704:
6633:
6568:
6014:
5980:
5942:
5922:
5865:
5711:
5671:
5641:
5533:
5389:
5356:
5304:
5274:
5241:
5151:
4876:
4735:
4709:
4665:
4594:
4457:
4431:
4263:
4216:
4129:
3814:
3787:
3731:
3627:
3345:
3325:
3302:
3231:
3166:
3138:
3132:, allowing one to solve for the equilibrium value of
3112:
3095:{\displaystyle \cos(\omega _{0}t),\sin(\omega _{0}t)}
3038:
2958:
2918:
2873:
2846:
2802:
2705:
2631:
2575:
2548:
2477:
2448:
2395:
2371:
2345:
2316:
2174:
2140:
2117:
2097:
2077:
2006:
1855:
1767:
1738:
1632:
1595:
1325:
1060:
1037:
1017:
976:
935:
901:
875:
855:
831:
801:
775:
746:
720:
694:
665:
636:
533:
415:
357:
292:
181:
141:
115:
1732:
which reverses the stability of the fixed points in
341:is negative then there is a stable limit cycle for
9072:
8999:
8914:
8912:
8863:
8789:
8604:
8531:
8502:
8394:The above proposition 2 tells that one must have:
8383:
8221:
8182:
8055:
7978:
7918:
7895:
7781:
7634:
7589:
7544:
7491:
7471:
7432:
7399:
7347:
7300:
7280:
7244:
7082:
7055:
6961:
6935:
6908:
6873:
6825:
6790:
6746:
6716:
6690:
6619:
6537:
5998:
5963:
5928:
5908:
5851:
5697:
5657:
5627:
5519:
5375:
5342:
5290:
5257:
5227:
5137:
4862:
4721:
4692:
4651:
4580:
4443:
4417:
4246:
4202:
4115:
3800:
3773:
3717:
3613:
3331:
3308:
3288:
3217:
3144:
3124:
3094:
3024:
2944:
2901:
2859:
2832:
2788:
2691:
2614:
2561:
2535:{\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}
2534:
2463:
2434:
2377:
2357:
2331:
2302:
2152:
2123:
2103:
2083:
2064:{\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}
2063:
1975:
1823:for nerve membrane potential, the Selkov model of
1779:
1753:
1721:
1615:
1573:
1305:
1043:
1023:
1003:
962:
913:
887:
861:
841:
817:
787:
761:
732:
706:
680:
651:
619:
476:
395:
317:
260:
147:
127:
5343:{\displaystyle \phi =-{\frac {11}{3}}T+\phi _{0}}
7359:. Their definition is related to the associated
6691:{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}
4703:Thus, without loss of generality, we can assume
3289:{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}
8891:Hairer, E.; Norsett, S. P.; Wanner, G. (1993).
8830:International Journal of Automotive Engineering
4203:{\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(t+\phi (T))}
101:Supercritical and subcritical Hopf bifurcations
16:Critical point where a periodic solution arises
8895:(Second ed.). New York: Springer-Verlag.
7657:written with ordinary differential equations:
6766:A detailed view of the homoclinic bifurcation.
6620:{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}
3218:{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}
2435:{\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},\nu =\mu }
1803:(in blue) appears out of a stable equilibrium.
504: < 0. The bifurcation is called
78:Poincaré–Andronov–Hopf bifurcation
9053:(Third ed.). New York: Springer-Verlag.
7926:) of the linearization at (0,0) is equal to:
8:
7539:
7506:
7342:
7315:
7056:{\displaystyle p_{0},~p_{1},~\dots ~,~p_{k}}
3774:{\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},T=\mu t}
9028:Theory and Applications of Hopf Bifurcation
8056:{\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=-\mu ,a_{2}=1}
5350:. We can repick the origin of time to make
5145:Eliminating the resonance terms, we obtain
8598:
8596:
3494:
3490:
3398:
3394:
8977:
8962:(1997). "Computing Hopf Bifurcations I".
8936:
8763:
8518:
8473:
8439:
8408:
8402:
8357:
8341:
8316:
8300:
8281:
8265:
8243:
8237:
8202:
8167:
8145:
8131:
8118:
8108:
8086:
8078:
8076:
8041:
8019:
8000:
7994:
7955:
7934:
7911:
7838:
7808:
7800:
7741:
7716:
7675:
7671:
7665:
7608:
7602:
7563:
7557:
7504:
7484:
7457:
7451:
7418:
7412:
7385:
7379:
7313:
7293:
7266:
7260:
7218:
7202:
7177:
7161:
7142:
7126:
7104:
7098:
7075:
7047:
7019:
7003:
6997:
6948:
6927:
6921:
6900:
6894:
6865:
6859:
6813:
6809:
6803:
6783:
6733:
6703:
6682:
6634:
6632:
6611:
6569:
6567:
6522:
6414:
6404:
6400:
6358:
6327:
6292:
6282:
6278:
6246:
6171:
6161:
6157:
6115:
6084:
6049:
6039:
6035:
6015:
6013:
5979:
5951:
5947:
5941:
5921:
5886:
5885:
5876:
5864:
5776:
5761:
5725:
5716:
5710:
5689:
5676:
5670:
5648:
5640:
5547:
5538:
5532:
5445:
5431:
5422:
5409:
5399:
5394:
5388:
5361:
5355:
5334:
5314:
5303:
5281:
5273:
5248:
5240:
5219:
5205:
5179:
5173:
5150:
5063:
5049:
5014:
5008:
4934:
4909:
4896:
4886:
4881:
4875:
4791:
4777:
4768:
4740:
4734:
4708:
4664:
4593:
4494:
4484:
4471:
4456:
4430:
4346:
4332:
4323:
4268:
4262:
4215:
4134:
4128:
4097:
4087:
4074:
4064:
4051:
4038:
4022:
4012:
3996:
3983:
3970:
3956:
3946:
3936:
3920:
3915:
3899:
3886:
3873:
3853:
3840:
3827:
3815:
3813:
3792:
3786:
3746:
3742:
3730:
3688:
3678:
3650:
3626:
3599:
3566:
3565:
3544:
3517:
3516:
3496:
3495:
3479:
3478:
3460:
3418:
3417:
3400:
3399:
3388:
3346:
3344:
3324:
3301:
3280:
3232:
3230:
3209:
3167:
3165:
3137:
3111:
3080:
3052:
3037:
3004:
2994:
2989:
2976:
2963:
2957:
2936:
2923:
2917:
2878:
2872:
2851:
2845:
2801:
2759:
2710:
2704:
2677:
2667:
2662:
2649:
2636:
2630:
2606:
2593:
2580:
2574:
2553:
2547:
2500:
2499:
2479:
2478:
2476:
2447:
2410:
2406:
2394:
2370:
2344:
2315:
2273:
2263:
2235:
2225:
2197:
2173:
2139:
2116:
2096:
2076:
2029:
2028:
2008:
2007:
2005:
1961:
1919:
1901:
1856:
1854:
1766:
1737:
1693:
1672:
1633:
1631:
1602:
1594:
1543:
1530:
1456:
1395:
1357:
1330:
1326:
1324:
1278:
1265:
1191:
1130:
1092:
1065:
1061:
1059:
1036:
1016:
975:
934:
900:
874:
854:
832:
830:
808:
800:
774:
745:
719:
693:
664:
635:
591:
570:
534:
532:
473:
464:
440:
430:
422:
414:
392:
380:
356:
314:
291:
246:
241:
232:
182:
180:
140:
114:
9031:. New York: Cambridge University Press.
6562:A Hopf bifurcation occurs in the system
5909:{\displaystyle y=x^{2}+{\dot {x}}-\mu x}
2339:is "slow-time" (thus "two-timing"), and
104:
8560:
6549:
4870:Plug into the third equation, we obtain
9051:Elements of Applied Bifurcation Theory
109:Dynamics of the Hopf bifurcation near
76:A Hopf bifurcation is also known as a
8845:
8843:
3102:-- to zero. This is the same idea as
396:{\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}\,}
7:
9106:Andronov–Hopf bifurcation page
8197:polynomials can be written as (here
2625:The first equation would be of form
318:{\displaystyle b=\alpha +i\beta .\,}
7545:{\displaystyle \{0,~\dots ~,~k-2\}}
7090:. They can be written in the form:
1829:Belousov–Zhabotinsky reaction
65:around the fixed point—crosses the
29:mathematical theory of bifurcations
8965:SIAM Journal on Numerical Analysis
7906:The characteristic polynomial (in
7374:. If all the Hurwitz determinants
6916:. Suppose that all eigenvalues of
5391:
4878:
4084:
4035:
3967:
3943:
3870:
3824:
2960:
2633:
14:
8919:Kahoui, M. E.; Weber, A. (2000).
7348:{\displaystyle \{1,~\dots ~,~k\}}
6006:for notational neatness, we have
2615:{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
8634:Bulletin of Mathematical Biology
6839:Definition of a Hopf bifurcation
6771:
6759:
6555:
5999:{\displaystyle \theta :=t+\phi }
1004:{\displaystyle y=r\sin(\theta )}
963:{\displaystyle x=r\cos(\theta )}
818:{\displaystyle r={\sqrt {\mu }}}
740:, the differential equation for
8925:Journal of Symbolic Computation
6747:{\displaystyle \mu =0.06605695}
5916:yields the serial expansion of
5756:
5190:
3160:Consider the system defined by
2389:(see for details), we can use
1807:Hopf bifurcations occur in the
769:has an unstable fixed point at
488:The bifurcation is then called
8691:López, Álvaro G (2020-12-01).
8589:doi.org/10.5281/zenodo.5625923
8255:
8249:
8157:
8151:
8098:
8092:
7945:
7939:
7844:
7822:
7722:
7703:
7635:{\displaystyle c_{k-2,1}<0}
7446:. If all Hurwitz determinants
7116:
7110:
6528:
6515:
6504:
6501:
6492:
6477:
6468:
6426:
6383:
6374:
6352:
6343:
6252:
6239:
6228:
6225:
6216:
6204:
6195:
6183:
6140:
6131:
6109:
6100:
5846:
5843:
5825:
5813:
5795:
5786:
5750:
5738:
5622:
5619:
5601:
5589:
5571:
5559:
5514:
5511:
5493:
5481:
5463:
5451:
5235:The first equation shows that
5132:
5129:
5111:
5099:
5081:
5069:
5043:
5031:
5022:
4981:
4975:
4963:
4954:
4918:
4857:
4854:
4836:
4824:
4806:
4797:
4758:
4746:
4687:
4675:
4646:
4634:
4616:
4604:
4569:
4566:
4554:
4536:
4524:
4512:
4412:
4409:
4391:
4379:
4361:
4352:
4313:
4301:
4286:
4274:
4241:
4235:
4226:
4220:
4197:
4194:
4188:
4176:
4167:
4161:
4152:
4140:
4103:
4044:
3706:
3694:
3668:
3656:
3637:
3631:
3592:
3580:
3550:
3531:
3491:
3466:
3432:
3395:
3089:
3073:
3061:
3045:
2896:
2884:
2840:are "slowly varying terms" of
2827:
2821:
2812:
2806:
2783:
2780:
2774:
2752:
2743:
2737:
2728:
2716:
2523:
2496:
2458:
2452:
2358:{\displaystyle \epsilon ,\nu }
2291:
2279:
2253:
2241:
2215:
2203:
2184:
2178:
2052:
2025:
1748:
1742:
1678:
1659:
1549:
1517:
1504:
1498:
1480:
1474:
1462:
1443:
1430:
1424:
1389:
1383:
1284:
1252:
1239:
1233:
1215:
1209:
1197:
1178:
1165:
1159:
1124:
1118:
998:
992:
957:
951:
842:{\displaystyle {\sqrt {\mu }}}
756:
750:
701:
695:
675:
669:
646:
640:
576:
557:
367:
361:
252:
242:
233:
223:
211:
208:
54:loses stability, as a pair of
1:
8786:For detailed derivation, see
8744:Cell Reports Physical Science
7355:correspond to what is called
6982:Routh–Hurwitz criterion
6977:Routh–Hurwitz criterion
5658:{\displaystyle A={\sqrt {2}}}
5291:{\displaystyle A={\sqrt {2}}}
5258:{\displaystyle A={\sqrt {2}}}
4693:{\displaystyle C\cos(t+\xi )}
4588:, we can merge the two terms
4257:Second equation has solution
4247:{\displaystyle A(T),\phi (T)}
3801:{\displaystyle \epsilon ^{3}}
2833:{\displaystyle A(T),\phi (T)}
2562:{\displaystyle \epsilon ^{3}}
2000:Consider a system defined by
9075:Nonlinear Dynamics and Chaos
8862:Hale, J.; Koçak, H. (1991).
8792:Nonlinear Dynamics and Chaos
8788:Strogatz, Steven H. (1994).
8607:Nonlinear Dynamics and Chaos
8603:Strogatz, Steven H. (1994).
7407:are positive, apart perhaps
6889:evaluated at a steady point
6854:(see section 11.2 of ). Let
5665:back to the expressions for
4123:First equation has solution
3152:, as well as its stability.
795:and a stable fixed point at
8668:"Selkov Model Wolfram Demo"
7590:{\displaystyle c_{k-1,0}=0}
6962:{\displaystyle \pm i\beta }
6885:of a continuous parametric
5698:{\displaystyle x_{1},x_{2}}
5376:{\displaystyle \phi _{0}=0}
2945:{\displaystyle x_{1},x_{2}}
2699:, which gives the solution
9146:
8796:. Addison Wesley. p.
8765:10.1016/j.xcrp.2021.100588
6826:{\displaystyle \mu ^{3/2}}
5964:{\displaystyle \mu ^{3/2}}
2902:{\displaystyle x_{2}(t,T)}
2542:, and expanding up to the
1841:classical electromagnetism
681:{\displaystyle \theta (t)}
161:first Lyapunov coefficient
128:{\displaystyle \lambda =0}
73:as the parameter changes.
9002:Dynamics and Bifurcations
8988:10.1137/S0036142993253461
8866:Dynamics and Bifurcations
7069:characteristic polynomial
4444:{\displaystyle B,\theta }
3104:Poincaré–Lindstedt method
2153:{\displaystyle \mu >0}
1813:predator–prey interaction
1780:{\displaystyle \mu >0}
888:{\displaystyle \mu <0}
733:{\displaystyle \mu >0}
707:{\displaystyle (\omega )}
9025:; Wan, Yieh-Hei (1981).
8709:10.1088/1402-4896/abcad2
7919:{\displaystyle \lambda }
6551:Examples of bifurcations
3781:. Expanding up to order
9023:Kazarinoff, Nicholas D.
8821:Serajian, Reza (2011).
7653:Consider the classical
7472:{\displaystyle c_{i,0}}
7433:{\displaystyle c_{k,0}}
7400:{\displaystyle c_{i,0}}
7281:{\displaystyle c_{i,0}}
6724:, around the origin. A
3125:{\displaystyle A,\phi }
2332:{\displaystyle T=\nu t}
1994:Serial expansion method
862:{\displaystyle \omega }
148:{\displaystyle \omega }
8938:10.1006/jsco.1999.0353
8533:
8532:{\displaystyle \mu =0}
8504:
8385:
8223:
8184:
8057:
7989:The coefficients are:
7980:
7920:
7897:
7783:
7655:Van der Pol oscillator
7636:
7591:
7546:
7493:
7473:
7434:
7401:
7349:
7302:
7282:
7246:
7084:
7057:
6963:
6937:
6910:
6875:
6827:
6792:
6748:
6726:homoclinic bifurcation
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