3019:
3112:
Note that the invariants detailed below are exactly invariant only in the continuous domain. In a discrete domain, neither scaling nor rotation are well defined: a discrete image transformed in such a way is generally an approximation, and the transformation is not reversible. These invariants
4899:
Zhang et al. applied Hu moment invariants to solve the
Pathological Brain Detection (PBD) problem. Doerr and Florence used information of the object orientation related to the second order central moments to effectively extract translation- and rotation-invariant object cross-sections from
822:
2674:
2150:
4514:
2790:
3972:
229:
645:
4187:
4869:
3254:
1730:
1598:
2503:
1092:
4903:
D. A. Hoeltzel and Wei-Hua Chieng used Hu moment invariant to perform on a dimensionally-parameterized four bar mechanism which yielded 15 distinct coupler curve groups (patterns) from a total of 356 generated coupler curves.
2389:
2280:
3542:
3648:
1328:
1944:
1837:
664:
4560:
A general theory on deriving complete and independent sets of rotation moment invariants was proposed by J. Flusser. He showed that the traditional set of Hu moment invariants is neither independent nor complete.
3024:
and are proportional to the squared length of the eigenvector axes. The relative difference in magnitude of the eigenvalues are thus an indication of the eccentricity of the image, or how elongated it is. The
2688:
can thus be extracted from the angle of the eigenvector associated with the largest eigenvalue towards the axis closest to this eigenvector. It can be shown that this angle Θ is given by the following formula:
3430:
3084:
2863:
355:
4655:
2848:
1955:
937:
881:
1466:
1397:
2553:
4193:
3654:
426:
3342:
113:
1143:
533:
1221:
1182:
3978:
2695:
4663:
5016:
3161:
2545:
526:
1604:
1472:
4990:
964:
2395:
3436:
3548:
2286:
2177:
1227:
817:{\displaystyle \mu _{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)\,dx\,dy}
1843:
1736:
4557:, is reflection antisymmetric (changes sign under reflection), which enables it to distinguish mirror images of otherwise identical images.
3014:{\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}
3348:
3035:
52:) of the image pixels' intensities, or a function of such moments, usually chosen to have some attractive property or interpretation.
4966:
267:
5072:"A micro-XRT image analysis and machine learning methodology for the characterisation of multi-particulate capsule formulations"
2145:{\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}}
4991:
http://docs.opencv.org/modules/imgproc/doc/structural_analysis_and_shape_descriptors.html?highlight=cvmatchshapes#humoments
4571:
4919:
886:
830:
1403:
1334:
361:
4981:
M. K. Hu, "Visual
Pattern Recognition by Moment Invariants", IRE Trans. Info. Theory, vol. IT-8, pp.179–187, 1962
2669:{\displaystyle \operatorname {cov} ={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}}
4509:{\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03}).}
3109:
are invariants that are formed from moments, the only moments that are invariants themselves are the central moments.
3967:{\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})}
3026:
224:{\displaystyle M_{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)\,dx\,dy}
2167:
Information about image orientation can be derived by first using the second order central moments to construct a
374:
5174:
5169:
4913:
3294:
2801:
5164:
5159:
2156:
45:
4536:
around the image's centroid, where the pixels' intensities are analogous to physical density. The first six,
4550:, are reflection symmetric, i.e. they are unchanged if the image is changed to a mirror image. The last one,
3095:
640:{\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}
1103:
3276:
3148:
3129:
655:
4182:{\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}
2785:{\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}
4864:{\displaystyle I_{8}=\eta _{11}-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}
3155:
can be constructed from central moments by dividing through a properly scaled zero-th central moment:
1188:
1149:
96:
49:
3094:
Moments are well-known for their application in image analysis, since they can be used to derive
56:
4937:
3249:{\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}
5103:
5052:
4962:
4891:
Later, J. Flusser and T. Suk specialized the theory for N-rotationally symmetric shapes case.
4533:
2509:
2168:
5134:
5093:
5083:
5042:
2515:
504:
33:
1725:{\displaystyle \mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},}
1593:{\displaystyle \mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},}
37:
4657:). In the original Hu's set there is a missing third order independent moment invariant:
3267:≥ 2. Note that translational invariance directly follows by only using central moments.
3113:
therefore are only approximately invariant when describing a shape in a discrete image.
5098:
5071:
1087:{\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)}
485:). In practice, the image is summarized with functions of a few lower order moments.
5153:
3280:
3152:
2684:
of this matrix correspond to the major and minor axes of the image intensity, so the
4925:
2498:{\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}
5031:"Pathological Brain Detection based on wavelet entropy and Hu moment invariants"
5003:
2681:
5088:
3537:{\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}
443:) is piecewise continuous and has nonzero values only in a finite part of the
4931:
2854:
4928:, Machine Perception and Computer Vision page (Matlab and Python source code)
3643:{\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}
242:= 0,1,2,... Adapting this to scalar (grayscale) image with pixel intensities
17:
5107:
5056:
2384:{\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}
2275:{\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}}
1323:{\displaystyle \mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},}
5123:"Pattern Matching Synthesis as an Automated Approach to Mechanism Design"
3285:
1939:{\displaystyle \mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.}
1832:{\displaystyle \mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},}
940:
68:
5047:
5030:
5139:
5122:
501:
Area (for binary images) or sum of grey level (for greytone images):
360:
In some cases, this may be calculated by considering the image as a
5019:", IEEE Trans. Image Proc., vol. 15, pp. 3784–3790, 2006.
3425:{\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}
3079:{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}.}
5017:
Rotation Moment
Invariants for Recognition of Symmetric Objects
3128:
of any order are, by construction, invariant with respect to
447:
plane, moments of all orders exist, and the moment sequence (
350:{\displaystyle M_{ij}=\sum _{x}\sum _{y}x^{i}y^{j}I(x,y)\,\!}
5006:", Pattern Recognition, vol. 33, pp. 1405–1410, 2000.
958:) is a digital image, then the previous equation becomes
3275:
As shown in the work of Hu, invariants with respect to
5127:
Transactions of the ASME, Journal of
Mechanical Design
2595:
4666:
4650:{\displaystyle I_{3}=(I_{5}^{2}+I_{7}^{2})/I_{4}^{3}}
4574:
4568:
is not very useful as it is dependent on the others (
4196:
3981:
3657:
3551:
3439:
3351:
3297:
3164:
3038:
2866:
2804:
2698:
2556:
2518:
2398:
2289:
2180:
1958:
1846:
1739:
1607:
1475:
1406:
1337:
1230:
1191:
1152:
1106:
967:
889:
833:
667:
536:
507:
377:
270:
116:
67:
image moments include area (or total intensity), its
2857:of the covariance matrix can easily be shown to be
932:{\displaystyle {\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}}
876:{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}}
55:Image moments are useful to describe objects after
4863:
4649:
4508:
4181:
3966:
3642:
3536:
3424:
3336:
3248:
3078:
3013:
2842:
2784:
2668:
2539:
2497:
2383:
2274:
2144:
1938:
1831:
1724:
1592:
1461:{\displaystyle \mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},}
1460:
1392:{\displaystyle \mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},}
1391:
1322:
1215:
1176:
1137:
1086:
931:
875:
816:
639:
520:
420:
349:
223:
5004:On the Independence of Rotation Moment Invariants
3245:
3098:with respect to specific transformation classes.
2043:
2030:
2021:
2008:
1212:
1173:
1134:
417:
346:
27:Weighted average/moment of some pixel intensities
4940:Implementation of this page, jupyter and python.
3105:is often abused in this context. However, while
4957:Gonzalez, Rafael C.; Woods, Richard E. (2001).
8:
5070:Doerr, Frederik; Florence, Alastair (2020).
570:
537:
421:{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}I(x,y)\,\!}
3337:{\displaystyle I_{1}=\eta _{20}+\eta _{02}}
2843:{\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}
1097:The central moments of order up to 3 are:
431:A uniqueness theorem (Hu ) states that if
99:(sometimes called "raw moment") of order (
5138:
5097:
5087:
5076:International Journal of Pharmaceutics: X
5046:
4852:
4839:
4823:
4810:
4794:
4781:
4762:
4752:
4739:
4723:
4713:
4700:
4684:
4671:
4665:
4641:
4636:
4627:
4618:
4613:
4600:
4595:
4579:
4573:
4494:
4484:
4471:
4455:
4445:
4432:
4410:
4397:
4381:
4365:
4346:
4336:
4323:
4304:
4294:
4281:
4262:
4249:
4233:
4220:
4201:
4195:
4170:
4157:
4141:
4128:
4115:
4096:
4086:
4073:
4057:
4047:
4034:
4015:
4002:
3986:
3980:
3955:
3945:
3932:
3916:
3906:
3893:
3871:
3858:
3842:
3829:
3807:
3797:
3784:
3765:
3755:
3742:
3723:
3710:
3694:
3678:
3662:
3656:
3634:
3624:
3611:
3595:
3585:
3572:
3556:
3550:
3528:
3518:
3505:
3486:
3476:
3460:
3444:
3438:
3416:
3411:
3395:
3385:
3372:
3356:
3350:
3328:
3315:
3302:
3296:
3244:
3217:
3205:
3200:
3187:
3181:
3169:
3163:
3063:
3053:
3047:
3039:
3037:
2996:
2986:
2976:
2966:
2956:
2943:
2938:
2928:
2921:
2903:
2887:
2880:
2871:
2865:
2825:
2809:
2803:
2766:
2750:
2735:
2725:
2705:
2697:
2649:
2634:
2617:
2602:
2590:
2555:
2517:
2484:
2483:
2472:
2471:
2462:
2453:
2447:
2434:
2425:
2419:
2403:
2397:
2375:
2364:
2363:
2353:
2344:
2338:
2325:
2316:
2310:
2294:
2288:
2266:
2255:
2254:
2244:
2235:
2229:
2216:
2207:
2201:
2185:
2179:
2133:
2111:
2096:
2095:
2071:
2056:
2055:
2042:
2029:
2027:
2020:
2007:
2005:
1999:
1994:
1984:
1979:
1963:
1957:
1927:
1917:
1906:
1905:
1892:
1877:
1876:
1864:
1851:
1845:
1820:
1810:
1799:
1798:
1785:
1770:
1769:
1757:
1744:
1738:
1713:
1703:
1692:
1691:
1678:
1663:
1662:
1653:
1638:
1637:
1625:
1612:
1606:
1581:
1571:
1560:
1559:
1546:
1531:
1530:
1521:
1506:
1505:
1493:
1480:
1474:
1449:
1434:
1433:
1424:
1411:
1405:
1380:
1365:
1364:
1355:
1342:
1336:
1311:
1296:
1295:
1286:
1273:
1258:
1257:
1248:
1235:
1229:
1211:
1196:
1190:
1172:
1157:
1151:
1133:
1124:
1111:
1105:
1060:
1045:
1044:
1029:
1014:
1013:
998:
988:
972:
966:
921:
911:
905:
891:
890:
888:
865:
855:
849:
835:
834:
832:
807:
800:
776:
761:
760:
745:
730:
729:
714:
706:
696:
688:
672:
666:
624:
614:
608:
597:
587:
581:
559:
558:
541:
540:
535:
512:
506:
416:
392:
382:
376:
345:
321:
311:
301:
291:
275:
269:
214:
207:
183:
173:
163:
155:
145:
137:
121:
115:
5121:Hoeltzel, D.A.; Chieng, Wei-Hua (1990).
4949:
5035:Bio-Medical Materials and Engineering
1138:{\displaystyle \mu _{00}=M_{00},\,\!}
7:
2795:The above formula holds as long as:
4900:micro-X-ray tomography image data.
4888:is also reflection antisymmetric.
2699:
2034:
2012:
715:
710:
697:
692:
164:
159:
146:
141:
25:
73:information about its orientation
1216:{\displaystyle \mu _{10}=0,\,\!}
1177:{\displaystyle \mu _{01}=0,\,\!}
493:Simple image properties derived
72:
4961:. Prentice Hall. p. 672.
4858:
4832:
4829:
4803:
4800:
4774:
4768:
4759:
4732:
4720:
4693:
4690:
4624:
4588:
4500:
4491:
4464:
4452:
4425:
4419:
4416:
4390:
4387:
4358:
4352:
4343:
4316:
4301:
4274:
4271:
4268:
4242:
4239:
4210:
4176:
4150:
4147:
4121:
4102:
4093:
4066:
4054:
4027:
4024:
4021:
3995:
3961:
3952:
3925:
3913:
3886:
3880:
3877:
3851:
3848:
3819:
3813:
3804:
3777:
3762:
3735:
3732:
3729:
3703:
3700:
3671:
3631:
3604:
3592:
3565:
3525:
3495:
3483:
3453:
3392:
3365:
2993:
2952:
2584:
2581:
2569:
2563:
2534:
2522:
2489:
2477:
2369:
2260:
2124:
2112:
2108:
2101:
2089:
2084:
2072:
2068:
2061:
2049:
1911:
1882:
1804:
1775:
1697:
1668:
1643:
1565:
1536:
1511:
1439:
1370:
1301:
1263:
1081:
1069:
1057:
1050:
1035:
1026:
1019:
1004:
896:
840:
797:
785:
773:
766:
751:
742:
735:
720:
564:
546:
413:
401:
342:
330:
204:
192:
61:Simple properties of the image
1:
4934:introductory video on YouTube
83:For a 2D continuous function
60:
454:) is uniquely determined by
362:probability density function
368:, by dividing the above by
5191:
5089:10.1016/j.ijpx.2020.100041
939:are the components of the
5015:J. Flusser and T. Suk, "
4993:Hu Moments' OpenCV method
4922:, University of Edinburgh
4916:, University of Edinburgh
4914:Analysis of Binary Images
4959:Digital Image Processing
4518:These are well-known as
44:is a certain particular
2157:translational invariant
40:and related fields, an
4865:
4651:
4532:, is analogous to the
4510:
4183:
3968:
3644:
3538:
3426:
3338:
3250:
3117:Translation invariants
3080:
3015:
2844:
2786:
2670:
2541:
2540:{\displaystyle I(x,y)}
2499:
2385:
2276:
2146:
2004:
1989:
1949:It can be shown that:
1940:
1833:
1726:
1594:
1462:
1393:
1324:
1217:
1178:
1139:
1088:
933:
877:
818:
719:
701:
641:
522:
521:{\displaystyle M_{00}}
473:) uniquely determines
422:
351:
225:
168:
150:
4866:
4652:
4511:
4184:
3969:
3645:
3539:
3427:
3339:
3251:
3147:with respect to both
3081:
3016:
2845:
2787:
2671:
2542:
2500:
2386:
2277:
2147:
1990:
1975:
1941:
1834:
1727:
1595:
1463:
1394:
1325:
1218:
1179:
1140:
1089:
934:
878:
819:
702:
684:
642:
523:
497:raw moments include:
423:
352:
254:), raw image moments
226:
151:
133:
4664:
4572:
4520:Hu moment invariants
4194:
3979:
3655:
3549:
3437:
3349:
3295:
3289:can be constructed:
3162:
3121:The central moments
3036:
2864:
2802:
2696:
2554:
2516:
2396:
2287:
2178:
2155:Central moments are
1956:
1844:
1737:
1605:
1473:
1404:
1335:
1228:
1189:
1150:
1104:
965:
887:
831:
665:
534:
505:
375:
268:
114:
4920:Statistical Moments
4646:
4623:
4605:
3421:
3271:Rotation invariants
3241:
2948:
2911:
2895:
2833:
2817:
2774:
2758:
2743:
2657:
2642:
2625:
2610:
2411:
2302:
2193:
5048:10.3233/BME-151426
5029:Zhang, Y. (2015).
4861:
4647:
4632:
4609:
4591:
4506:
4179:
3964:
3640:
3534:
3422:
3407:
3334:
3246:
3196:
3076:
3011:
2927:
2899:
2883:
2840:
2821:
2805:
2782:
2762:
2746:
2731:
2666:
2660:
2645:
2630:
2613:
2598:
2537:
2495:
2399:
2381:
2290:
2272:
2181:
2142:
1936:
1829:
1722:
1590:
1458:
1389:
1320:
1213:
1174:
1135:
1084:
1003:
993:
929:
873:
814:
637:
518:
418:
397:
387:
347:
306:
296:
261:are calculated by
221:
5140:10.1115/1.2912592
4534:moment of inertia
3242:
3233:
3107:moment invariants
3103:invariant moments
3090:Moment invariants
3071:
3069:
3006:
3002:
2916:
2776:
2713:
2510:covariance matrix
2492:
2480:
2372:
2263:
2169:covariance matrix
2104:
2064:
2041:
2019:
1914:
1885:
1807:
1778:
1700:
1671:
1646:
1568:
1539:
1514:
1442:
1373:
1304:
1266:
1053:
1022:
994:
984:
927:
899:
871:
843:
769:
738:
630:
603:
567:
557:
549:
388:
378:
297:
287:
16:(Redirected from
5182:
5175:Moment (physics)
5170:Image processing
5145:
5144:
5142:
5118:
5112:
5111:
5101:
5091:
5067:
5061:
5060:
5050:
5026:
5020:
5013:
5007:
5000:
4994:
4988:
4982:
4979:
4973:
4972:
4954:
4870:
4868:
4867:
4862:
4857:
4856:
4844:
4843:
4828:
4827:
4815:
4814:
4799:
4798:
4786:
4785:
4767:
4766:
4757:
4756:
4744:
4743:
4728:
4727:
4718:
4717:
4705:
4704:
4689:
4688:
4676:
4675:
4656:
4654:
4653:
4648:
4645:
4640:
4631:
4622:
4617:
4604:
4599:
4584:
4583:
4515:
4513:
4512:
4507:
4499:
4498:
4489:
4488:
4476:
4475:
4460:
4459:
4450:
4449:
4437:
4436:
4415:
4414:
4402:
4401:
4386:
4385:
4370:
4369:
4351:
4350:
4341:
4340:
4328:
4327:
4309:
4308:
4299:
4298:
4286:
4285:
4267:
4266:
4254:
4253:
4238:
4237:
4225:
4224:
4206:
4205:
4188:
4186:
4185:
4180:
4175:
4174:
4162:
4161:
4146:
4145:
4133:
4132:
4120:
4119:
4101:
4100:
4091:
4090:
4078:
4077:
4062:
4061:
4052:
4051:
4039:
4038:
4020:
4019:
4007:
4006:
3991:
3990:
3973:
3971:
3970:
3965:
3960:
3959:
3950:
3949:
3937:
3936:
3921:
3920:
3911:
3910:
3898:
3897:
3876:
3875:
3863:
3862:
3847:
3846:
3834:
3833:
3812:
3811:
3802:
3801:
3789:
3788:
3770:
3769:
3760:
3759:
3747:
3746:
3728:
3727:
3715:
3714:
3699:
3698:
3683:
3682:
3667:
3666:
3649:
3647:
3646:
3641:
3639:
3638:
3629:
3628:
3616:
3615:
3600:
3599:
3590:
3589:
3577:
3576:
3561:
3560:
3543:
3541:
3540:
3535:
3533:
3532:
3523:
3522:
3510:
3509:
3491:
3490:
3481:
3480:
3465:
3464:
3449:
3448:
3431:
3429:
3428:
3423:
3420:
3415:
3400:
3399:
3390:
3389:
3377:
3376:
3361:
3360:
3343:
3341:
3340:
3335:
3333:
3332:
3320:
3319:
3307:
3306:
3255:
3253:
3252:
3247:
3243:
3240:
3239:
3235:
3234:
3229:
3218:
3204:
3195:
3194:
3182:
3177:
3176:
3136:Scale invariants
3085:
3083:
3082:
3077:
3072:
3070:
3068:
3067:
3058:
3057:
3048:
3040:
3020:
3018:
3017:
3012:
3007:
3001:
3000:
2991:
2990:
2985:
2984:
2971:
2970:
2965:
2964:
2947:
2942:
2937:
2936:
2923:
2922:
2917:
2912:
2907:
2891:
2881:
2876:
2875:
2849:
2847:
2846:
2841:
2829:
2813:
2791:
2789:
2788:
2783:
2781:
2777:
2775:
2770:
2754:
2744:
2739:
2726:
2714:
2706:
2675:
2673:
2672:
2667:
2665:
2664:
2653:
2638:
2621:
2606:
2546:
2544:
2543:
2538:
2504:
2502:
2501:
2496:
2494:
2493:
2485:
2482:
2481:
2473:
2467:
2466:
2457:
2452:
2451:
2439:
2438:
2429:
2424:
2423:
2407:
2390:
2388:
2387:
2382:
2380:
2379:
2374:
2373:
2365:
2358:
2357:
2348:
2343:
2342:
2330:
2329:
2320:
2315:
2314:
2298:
2281:
2279:
2278:
2273:
2271:
2270:
2265:
2264:
2256:
2249:
2248:
2239:
2234:
2233:
2221:
2220:
2211:
2206:
2205:
2189:
2151:
2149:
2148:
2143:
2141:
2140:
2128:
2127:
2106:
2105:
2097:
2088:
2087:
2066:
2065:
2057:
2048:
2047:
2046:
2033:
2026:
2025:
2024:
2011:
2003:
1998:
1988:
1983:
1971:
1970:
1945:
1943:
1942:
1937:
1932:
1931:
1922:
1921:
1916:
1915:
1907:
1897:
1896:
1887:
1886:
1878:
1869:
1868:
1856:
1855:
1838:
1836:
1835:
1830:
1825:
1824:
1815:
1814:
1809:
1808:
1800:
1790:
1789:
1780:
1779:
1771:
1762:
1761:
1749:
1748:
1731:
1729:
1728:
1723:
1718:
1717:
1708:
1707:
1702:
1701:
1693:
1683:
1682:
1673:
1672:
1664:
1658:
1657:
1648:
1647:
1639:
1630:
1629:
1617:
1616:
1599:
1597:
1596:
1591:
1586:
1585:
1576:
1575:
1570:
1569:
1561:
1551:
1550:
1541:
1540:
1532:
1526:
1525:
1516:
1515:
1507:
1498:
1497:
1485:
1484:
1467:
1465:
1464:
1459:
1454:
1453:
1444:
1443:
1435:
1429:
1428:
1416:
1415:
1398:
1396:
1395:
1390:
1385:
1384:
1375:
1374:
1366:
1360:
1359:
1347:
1346:
1329:
1327:
1326:
1321:
1316:
1315:
1306:
1305:
1297:
1291:
1290:
1278:
1277:
1268:
1267:
1259:
1253:
1252:
1240:
1239:
1222:
1220:
1219:
1214:
1201:
1200:
1183:
1181:
1180:
1175:
1162:
1161:
1144:
1142:
1141:
1136:
1129:
1128:
1116:
1115:
1093:
1091:
1090:
1085:
1065:
1064:
1055:
1054:
1046:
1034:
1033:
1024:
1023:
1015:
1002:
992:
980:
979:
938:
936:
935:
930:
928:
926:
925:
916:
915:
906:
901:
900:
892:
882:
880:
879:
874:
872:
870:
869:
860:
859:
850:
845:
844:
836:
823:
821:
820:
815:
781:
780:
771:
770:
762:
750:
749:
740:
739:
731:
718:
713:
700:
695:
680:
679:
646:
644:
643:
638:
636:
632:
631:
629:
628:
619:
618:
609:
604:
602:
601:
592:
591:
582:
569:
568:
560:
555:
551:
550:
542:
527:
525:
524:
519:
517:
516:
466:). Conversely, (
427:
425:
424:
419:
396:
386:
356:
354:
353:
348:
326:
325:
316:
315:
305:
295:
283:
282:
230:
228:
227:
222:
188:
187:
178:
177:
167:
162:
149:
144:
129:
128:
107:) is defined as
63:which are found
46:weighted average
34:image processing
21:
5190:
5189:
5185:
5184:
5183:
5181:
5180:
5179:
5165:Digital imaging
5160:Computer vision
5150:
5149:
5148:
5120:
5119:
5115:
5069:
5068:
5064:
5028:
5027:
5023:
5014:
5010:
5001:
4997:
4989:
4985:
4980:
4976:
4969:
4956:
4955:
4951:
4947:
4926:Variant moments
4910:
4897:
4887:
4880:
4848:
4835:
4819:
4806:
4790:
4777:
4758:
4748:
4735:
4719:
4709:
4696:
4680:
4667:
4662:
4661:
4575:
4570:
4569:
4567:
4556:
4549:
4542:
4531:
4525:The first one,
4490:
4480:
4467:
4451:
4441:
4428:
4406:
4393:
4377:
4361:
4342:
4332:
4319:
4300:
4290:
4277:
4258:
4245:
4229:
4216:
4197:
4192:
4191:
4166:
4153:
4137:
4124:
4111:
4092:
4082:
4069:
4053:
4043:
4030:
4011:
3998:
3982:
3977:
3976:
3951:
3941:
3928:
3912:
3902:
3889:
3867:
3854:
3838:
3825:
3803:
3793:
3780:
3761:
3751:
3738:
3719:
3706:
3690:
3674:
3658:
3653:
3652:
3630:
3620:
3607:
3591:
3581:
3568:
3552:
3547:
3546:
3524:
3514:
3501:
3482:
3472:
3456:
3440:
3435:
3434:
3391:
3381:
3368:
3352:
3347:
3346:
3324:
3311:
3298:
3293:
3292:
3273:
3219:
3210:
3206:
3183:
3165:
3160:
3159:
3145:
3138:
3126:
3119:
3092:
3059:
3049:
3034:
3033:
2992:
2977:
2975:
2957:
2955:
2929:
2882:
2867:
2862:
2861:
2800:
2799:
2745:
2727:
2721:
2694:
2693:
2659:
2658:
2643:
2627:
2626:
2611:
2591:
2552:
2551:
2514:
2513:
2458:
2443:
2430:
2415:
2394:
2393:
2362:
2349:
2334:
2321:
2306:
2285:
2284:
2253:
2240:
2225:
2212:
2197:
2176:
2175:
2165:
2129:
2107:
2067:
2028:
2006:
1959:
1954:
1953:
1923:
1904:
1888:
1860:
1847:
1842:
1841:
1816:
1797:
1781:
1753:
1740:
1735:
1734:
1709:
1690:
1674:
1649:
1621:
1608:
1603:
1602:
1577:
1558:
1542:
1517:
1489:
1476:
1471:
1470:
1445:
1420:
1407:
1402:
1401:
1376:
1351:
1338:
1333:
1332:
1307:
1282:
1269:
1244:
1231:
1226:
1225:
1192:
1187:
1186:
1153:
1148:
1147:
1120:
1107:
1102:
1101:
1056:
1025:
968:
963:
962:
917:
907:
885:
884:
861:
851:
829:
828:
772:
741:
668:
663:
662:
658:are defined as
656:Central moments
653:
651:Central moments
620:
610:
593:
583:
580:
576:
532:
531:
508:
503:
502:
491:
471:
452:
373:
372:
317:
307:
271:
266:
265:
259:
179:
169:
117:
112:
111:
81:
38:computer vision
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
5188:
5186:
5178:
5177:
5172:
5167:
5162:
5152:
5151:
5147:
5146:
5113:
5062:
5021:
5008:
4995:
4983:
4974:
4967:
4948:
4946:
4943:
4942:
4941:
4935:
4929:
4923:
4917:
4909:
4908:External links
4906:
4896:
4893:
4885:
4878:
4872:
4871:
4860:
4855:
4851:
4847:
4842:
4838:
4834:
4831:
4826:
4822:
4818:
4813:
4809:
4805:
4802:
4797:
4793:
4789:
4784:
4780:
4776:
4773:
4770:
4765:
4761:
4755:
4751:
4747:
4742:
4738:
4734:
4731:
4726:
4722:
4716:
4712:
4708:
4703:
4699:
4695:
4692:
4687:
4683:
4679:
4674:
4670:
4644:
4639:
4635:
4630:
4626:
4621:
4616:
4612:
4608:
4603:
4598:
4594:
4590:
4587:
4582:
4578:
4565:
4554:
4547:
4540:
4529:
4505:
4502:
4497:
4493:
4487:
4483:
4479:
4474:
4470:
4466:
4463:
4458:
4454:
4448:
4444:
4440:
4435:
4431:
4427:
4424:
4421:
4418:
4413:
4409:
4405:
4400:
4396:
4392:
4389:
4384:
4380:
4376:
4373:
4368:
4364:
4360:
4357:
4354:
4349:
4345:
4339:
4335:
4331:
4326:
4322:
4318:
4315:
4312:
4307:
4303:
4297:
4293:
4289:
4284:
4280:
4276:
4273:
4270:
4265:
4261:
4257:
4252:
4248:
4244:
4241:
4236:
4232:
4228:
4223:
4219:
4215:
4212:
4209:
4204:
4200:
4178:
4173:
4169:
4165:
4160:
4156:
4152:
4149:
4144:
4140:
4136:
4131:
4127:
4123:
4118:
4114:
4110:
4107:
4104:
4099:
4095:
4089:
4085:
4081:
4076:
4072:
4068:
4065:
4060:
4056:
4050:
4046:
4042:
4037:
4033:
4029:
4026:
4023:
4018:
4014:
4010:
4005:
4001:
3997:
3994:
3989:
3985:
3963:
3958:
3954:
3948:
3944:
3940:
3935:
3931:
3927:
3924:
3919:
3915:
3909:
3905:
3901:
3896:
3892:
3888:
3885:
3882:
3879:
3874:
3870:
3866:
3861:
3857:
3853:
3850:
3845:
3841:
3837:
3832:
3828:
3824:
3821:
3818:
3815:
3810:
3806:
3800:
3796:
3792:
3787:
3783:
3779:
3776:
3773:
3768:
3764:
3758:
3754:
3750:
3745:
3741:
3737:
3734:
3731:
3726:
3722:
3718:
3713:
3709:
3705:
3702:
3697:
3693:
3689:
3686:
3681:
3677:
3673:
3670:
3665:
3661:
3637:
3633:
3627:
3623:
3619:
3614:
3610:
3606:
3603:
3598:
3594:
3588:
3584:
3580:
3575:
3571:
3567:
3564:
3559:
3555:
3531:
3527:
3521:
3517:
3513:
3508:
3504:
3500:
3497:
3494:
3489:
3485:
3479:
3475:
3471:
3468:
3463:
3459:
3455:
3452:
3447:
3443:
3419:
3414:
3410:
3406:
3403:
3398:
3394:
3388:
3384:
3380:
3375:
3371:
3367:
3364:
3359:
3355:
3331:
3327:
3323:
3318:
3314:
3310:
3305:
3301:
3272:
3269:
3257:
3256:
3238:
3232:
3228:
3225:
3222:
3216:
3213:
3209:
3203:
3199:
3193:
3190:
3186:
3180:
3175:
3172:
3168:
3143:
3137:
3134:
3124:
3118:
3115:
3091:
3088:
3087:
3086:
3075:
3066:
3062:
3056:
3052:
3046:
3043:
3022:
3021:
3010:
3005:
2999:
2995:
2989:
2983:
2980:
2974:
2969:
2963:
2960:
2954:
2951:
2946:
2941:
2935:
2932:
2926:
2920:
2915:
2910:
2906:
2902:
2898:
2894:
2890:
2886:
2879:
2874:
2870:
2851:
2850:
2839:
2836:
2832:
2828:
2824:
2820:
2816:
2812:
2808:
2793:
2792:
2780:
2773:
2769:
2765:
2761:
2757:
2753:
2749:
2742:
2738:
2734:
2730:
2724:
2720:
2717:
2712:
2709:
2704:
2701:
2678:
2677:
2663:
2656:
2652:
2648:
2644:
2641:
2637:
2633:
2629:
2628:
2624:
2620:
2616:
2612:
2609:
2605:
2601:
2597:
2596:
2594:
2589:
2586:
2583:
2580:
2577:
2574:
2571:
2568:
2565:
2562:
2559:
2536:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2506:
2505:
2491:
2488:
2479:
2476:
2470:
2465:
2461:
2456:
2450:
2446:
2442:
2437:
2433:
2428:
2422:
2418:
2414:
2410:
2406:
2402:
2391:
2378:
2371:
2368:
2361:
2356:
2352:
2347:
2341:
2337:
2333:
2328:
2324:
2319:
2313:
2309:
2305:
2301:
2297:
2293:
2282:
2269:
2262:
2259:
2252:
2247:
2243:
2238:
2232:
2228:
2224:
2219:
2215:
2210:
2204:
2200:
2196:
2192:
2188:
2184:
2164:
2161:
2153:
2152:
2139:
2136:
2132:
2126:
2123:
2120:
2117:
2114:
2110:
2103:
2100:
2094:
2091:
2086:
2083:
2080:
2077:
2074:
2070:
2063:
2060:
2054:
2051:
2045:
2040:
2037:
2032:
2023:
2018:
2015:
2010:
2002:
1997:
1993:
1987:
1982:
1978:
1974:
1969:
1966:
1962:
1947:
1946:
1935:
1930:
1926:
1920:
1913:
1910:
1903:
1900:
1895:
1891:
1884:
1881:
1875:
1872:
1867:
1863:
1859:
1854:
1850:
1839:
1828:
1823:
1819:
1813:
1806:
1803:
1796:
1793:
1788:
1784:
1777:
1774:
1768:
1765:
1760:
1756:
1752:
1747:
1743:
1732:
1721:
1716:
1712:
1706:
1699:
1696:
1689:
1686:
1681:
1677:
1670:
1667:
1661:
1656:
1652:
1645:
1642:
1636:
1633:
1628:
1624:
1620:
1615:
1611:
1600:
1589:
1584:
1580:
1574:
1567:
1564:
1557:
1554:
1549:
1545:
1538:
1535:
1529:
1524:
1520:
1513:
1510:
1504:
1501:
1496:
1492:
1488:
1483:
1479:
1468:
1457:
1452:
1448:
1441:
1438:
1432:
1427:
1423:
1419:
1414:
1410:
1399:
1388:
1383:
1379:
1372:
1369:
1363:
1358:
1354:
1350:
1345:
1341:
1330:
1319:
1314:
1310:
1303:
1300:
1294:
1289:
1285:
1281:
1276:
1272:
1265:
1262:
1256:
1251:
1247:
1243:
1238:
1234:
1223:
1210:
1207:
1204:
1199:
1195:
1184:
1171:
1168:
1165:
1160:
1156:
1145:
1132:
1127:
1123:
1119:
1114:
1110:
1095:
1094:
1083:
1080:
1077:
1074:
1071:
1068:
1063:
1059:
1052:
1049:
1043:
1040:
1037:
1032:
1028:
1021:
1018:
1012:
1009:
1006:
1001:
997:
991:
987:
983:
978:
975:
971:
924:
920:
914:
910:
904:
898:
895:
868:
864:
858:
854:
848:
842:
839:
825:
824:
813:
810:
806:
803:
799:
796:
793:
790:
787:
784:
779:
775:
768:
765:
759:
756:
753:
748:
744:
737:
734:
728:
725:
722:
717:
712:
709:
705:
699:
694:
691:
687:
683:
678:
675:
671:
652:
649:
648:
647:
635:
627:
623:
617:
613:
607:
600:
596:
590:
586:
579:
575:
572:
566:
563:
554:
548:
545:
539:
528:
515:
511:
490:
487:
469:
450:
429:
428:
415:
412:
409:
406:
403:
400:
395:
391:
385:
381:
358:
357:
344:
341:
338:
335:
332:
329:
324:
320:
314:
310:
304:
300:
294:
290:
286:
281:
278:
274:
257:
232:
231:
220:
217:
213:
210:
206:
203:
200:
197:
194:
191:
186:
182:
176:
172:
166:
161:
158:
154:
148:
143:
140:
136:
132:
127:
124:
120:
80:
77:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5187:
5176:
5173:
5171:
5168:
5166:
5163:
5161:
5158:
5157:
5155:
5141:
5136:
5132:
5128:
5124:
5117:
5114:
5109:
5105:
5100:
5095:
5090:
5085:
5081:
5077:
5073:
5066:
5063:
5058:
5054:
5049:
5044:
5041:: 1283–1290.
5040:
5036:
5032:
5025:
5022:
5018:
5012:
5009:
5005:
5002:J. Flusser: "
4999:
4996:
4992:
4987:
4984:
4978:
4975:
4970:
4968:0-201-18075-8
4964:
4960:
4953:
4950:
4944:
4939:
4936:
4933:
4930:
4927:
4924:
4921:
4918:
4915:
4912:
4911:
4907:
4905:
4901:
4894:
4892:
4889:
4884:
4877:
4853:
4849:
4845:
4840:
4836:
4824:
4820:
4816:
4811:
4807:
4795:
4791:
4787:
4782:
4778:
4771:
4763:
4753:
4749:
4745:
4740:
4736:
4729:
4724:
4714:
4710:
4706:
4701:
4697:
4685:
4681:
4677:
4672:
4668:
4660:
4659:
4658:
4642:
4637:
4633:
4628:
4619:
4614:
4610:
4606:
4601:
4596:
4592:
4585:
4580:
4576:
4564:
4558:
4553:
4546:
4539:
4535:
4528:
4523:
4521:
4516:
4503:
4495:
4485:
4481:
4477:
4472:
4468:
4461:
4456:
4446:
4442:
4438:
4433:
4429:
4422:
4411:
4407:
4403:
4398:
4394:
4382:
4378:
4374:
4371:
4366:
4362:
4355:
4347:
4337:
4333:
4329:
4324:
4320:
4313:
4310:
4305:
4295:
4291:
4287:
4282:
4278:
4263:
4259:
4255:
4250:
4246:
4234:
4230:
4226:
4221:
4217:
4213:
4207:
4202:
4198:
4189:
4171:
4167:
4163:
4158:
4154:
4142:
4138:
4134:
4129:
4125:
4116:
4112:
4108:
4105:
4097:
4087:
4083:
4079:
4074:
4070:
4063:
4058:
4048:
4044:
4040:
4035:
4031:
4016:
4012:
4008:
4003:
3999:
3992:
3987:
3983:
3974:
3956:
3946:
3942:
3938:
3933:
3929:
3922:
3917:
3907:
3903:
3899:
3894:
3890:
3883:
3872:
3868:
3864:
3859:
3855:
3843:
3839:
3835:
3830:
3826:
3822:
3816:
3808:
3798:
3794:
3790:
3785:
3781:
3774:
3771:
3766:
3756:
3752:
3748:
3743:
3739:
3724:
3720:
3716:
3711:
3707:
3695:
3691:
3687:
3684:
3679:
3675:
3668:
3663:
3659:
3650:
3635:
3625:
3621:
3617:
3612:
3608:
3601:
3596:
3586:
3582:
3578:
3573:
3569:
3562:
3557:
3553:
3544:
3529:
3519:
3515:
3511:
3506:
3502:
3498:
3492:
3487:
3477:
3473:
3469:
3466:
3461:
3457:
3450:
3445:
3441:
3432:
3417:
3412:
3408:
3404:
3401:
3396:
3386:
3382:
3378:
3373:
3369:
3362:
3357:
3353:
3344:
3329:
3325:
3321:
3316:
3312:
3308:
3303:
3299:
3290:
3288:
3287:
3282:
3278:
3270:
3268:
3266:
3262:
3236:
3230:
3226:
3223:
3220:
3214:
3211:
3207:
3201:
3197:
3191:
3188:
3184:
3178:
3173:
3170:
3166:
3158:
3157:
3156:
3154:
3150:
3146:
3135:
3133:
3131:
3127:
3116:
3114:
3110:
3108:
3104:
3099:
3097:
3089:
3073:
3064:
3060:
3054:
3050:
3044:
3041:
3032:
3031:
3030:
3028:
3008:
3003:
2997:
2987:
2981:
2978:
2972:
2967:
2961:
2958:
2949:
2944:
2939:
2933:
2930:
2924:
2918:
2913:
2908:
2904:
2900:
2896:
2892:
2888:
2884:
2877:
2872:
2868:
2860:
2859:
2858:
2856:
2837:
2834:
2830:
2826:
2822:
2818:
2814:
2810:
2806:
2798:
2797:
2796:
2778:
2771:
2767:
2763:
2759:
2755:
2751:
2747:
2740:
2736:
2732:
2728:
2722:
2718:
2715:
2710:
2707:
2702:
2692:
2691:
2690:
2687:
2683:
2661:
2654:
2650:
2646:
2639:
2635:
2631:
2622:
2618:
2614:
2607:
2603:
2599:
2592:
2587:
2578:
2575:
2572:
2566:
2560:
2557:
2550:
2549:
2548:
2531:
2528:
2525:
2519:
2512:of the image
2511:
2486:
2474:
2468:
2463:
2459:
2454:
2448:
2444:
2440:
2435:
2431:
2426:
2420:
2416:
2412:
2408:
2404:
2400:
2392:
2376:
2366:
2359:
2354:
2350:
2345:
2339:
2335:
2331:
2326:
2322:
2317:
2311:
2307:
2303:
2299:
2295:
2291:
2283:
2267:
2257:
2250:
2245:
2241:
2236:
2230:
2226:
2222:
2217:
2213:
2208:
2202:
2198:
2194:
2190:
2186:
2182:
2174:
2173:
2172:
2170:
2162:
2160:
2158:
2137:
2134:
2130:
2121:
2118:
2115:
2098:
2092:
2081:
2078:
2075:
2058:
2052:
2038:
2035:
2016:
2013:
2000:
1995:
1991:
1985:
1980:
1976:
1972:
1967:
1964:
1960:
1952:
1951:
1950:
1933:
1928:
1924:
1918:
1908:
1901:
1898:
1893:
1889:
1879:
1873:
1870:
1865:
1861:
1857:
1852:
1848:
1840:
1826:
1821:
1817:
1811:
1801:
1794:
1791:
1786:
1782:
1772:
1766:
1763:
1758:
1754:
1750:
1745:
1741:
1733:
1719:
1714:
1710:
1704:
1694:
1687:
1684:
1679:
1675:
1665:
1659:
1654:
1650:
1640:
1634:
1631:
1626:
1622:
1618:
1613:
1609:
1601:
1587:
1582:
1578:
1572:
1562:
1555:
1552:
1547:
1543:
1533:
1527:
1522:
1518:
1508:
1502:
1499:
1494:
1490:
1486:
1481:
1477:
1469:
1455:
1450:
1446:
1436:
1430:
1425:
1421:
1417:
1412:
1408:
1400:
1386:
1381:
1377:
1367:
1361:
1356:
1352:
1348:
1343:
1339:
1331:
1317:
1312:
1308:
1298:
1292:
1287:
1283:
1279:
1274:
1270:
1260:
1254:
1249:
1245:
1241:
1236:
1232:
1224:
1208:
1205:
1202:
1197:
1193:
1185:
1169:
1166:
1163:
1158:
1154:
1146:
1130:
1125:
1121:
1117:
1112:
1108:
1100:
1099:
1098:
1078:
1075:
1072:
1066:
1061:
1047:
1041:
1038:
1030:
1016:
1010:
1007:
999:
995:
989:
985:
981:
976:
973:
969:
961:
960:
959:
957:
953:
949:
944:
942:
922:
918:
912:
908:
902:
893:
866:
862:
856:
852:
846:
837:
811:
808:
804:
801:
794:
791:
788:
782:
777:
763:
757:
754:
746:
732:
726:
723:
707:
703:
689:
685:
681:
676:
673:
669:
661:
660:
659:
657:
650:
633:
625:
621:
615:
611:
605:
598:
594:
588:
584:
577:
573:
561:
552:
543:
529:
513:
509:
500:
499:
498:
496:
488:
486:
484:
480:
476:
472:
465:
461:
457:
453:
446:
442:
438:
434:
410:
407:
404:
398:
393:
389:
383:
379:
371:
370:
369:
367:
363:
339:
336:
333:
327:
322:
318:
312:
308:
302:
298:
292:
288:
284:
279:
276:
272:
264:
263:
262:
260:
253:
249:
245:
241:
237:
218:
215:
211:
208:
201:
198:
195:
189:
184:
180:
174:
170:
156:
152:
138:
134:
130:
125:
122:
118:
110:
109:
108:
106:
102:
98:
94:
90:
86:
78:
76:
74:
70:
66:
62:
58:
53:
51:
47:
43:
39:
35:
30:
19:
18:Image moments
5130:
5126:
5116:
5079:
5075:
5065:
5038:
5034:
5024:
5011:
4998:
4986:
4977:
4958:
4952:
4902:
4898:
4895:Applications
4890:
4882:
4875:
4873:
4562:
4559:
4551:
4544:
4537:
4526:
4524:
4519:
4517:
4190:
3975:
3651:
3545:
3433:
3345:
3291:
3284:
3274:
3264:
3260:
3258:
3141:
3139:
3130:translations
3122:
3120:
3111:
3106:
3102:
3100:
3093:
3027:eccentricity
3023:
2852:
2794:
2685:
2682:eigenvectors
2679:
2507:
2166:
2154:
1948:
1096:
955:
951:
947:
945:
826:
654:
494:
492:
482:
478:
474:
467:
463:
459:
455:
448:
444:
440:
436:
432:
430:
365:
359:
255:
251:
247:
243:
239:
235:
233:
104:
100:
92:
88:
84:
82:
64:
57:segmentation
54:
42:image moment
41:
31:
29:
5133:: 190-199.
3277:translation
3149:translation
3140:Invariants
2855:eigenvalues
2686:orientation
79:Raw moments
5154:Categories
5082:: 100041.
4945:References
4932:Hu Moments
3096:invariants
530:Centroid:
4850:η
4837:η
4821:η
4808:η
4792:η
4788:−
4779:η
4772:−
4750:η
4737:η
4730:−
4711:η
4698:η
4682:η
4482:η
4469:η
4462:−
4443:η
4430:η
4408:η
4395:η
4379:η
4372:−
4363:η
4356:−
4334:η
4321:η
4311:−
4292:η
4279:η
4260:η
4247:η
4231:η
4227:−
4218:η
4168:η
4155:η
4139:η
4126:η
4113:η
4084:η
4071:η
4064:−
4045:η
4032:η
4013:η
4009:−
4000:η
3943:η
3930:η
3923:−
3904:η
3891:η
3869:η
3856:η
3840:η
3836:−
3827:η
3795:η
3782:η
3772:−
3753:η
3740:η
3721:η
3708:η
3692:η
3685:−
3676:η
3622:η
3609:η
3583:η
3570:η
3516:η
3512:−
3503:η
3474:η
3467:−
3458:η
3409:η
3383:η
3379:−
3370:η
3326:η
3313:η
3198:μ
3185:μ
3167:η
3101:The term
3061:λ
3051:λ
3045:−
2979:μ
2973:−
2959:μ
2931:μ
2919:±
2901:μ
2885:μ
2869:λ
2835:≠
2823:μ
2819:−
2807:μ
2764:μ
2760:−
2748:μ
2733:μ
2719:
2700:Θ
2647:μ
2632:μ
2615:μ
2600:μ
2561:
2490:¯
2478:¯
2469:−
2432:μ
2417:μ
2401:μ
2370:¯
2360:−
2323:μ
2308:μ
2292:μ
2261:¯
2251:−
2214:μ
2199:μ
2183:μ
2119:−
2102:¯
2093:−
2079:−
2062:¯
2053:−
1992:∑
1977:∑
1961:μ
1912:¯
1883:¯
1871:−
1849:μ
1805:¯
1776:¯
1764:−
1742:μ
1698:¯
1669:¯
1660:−
1644:¯
1632:−
1610:μ
1566:¯
1537:¯
1528:−
1512:¯
1500:−
1478:μ
1440:¯
1431:−
1409:μ
1371:¯
1362:−
1340:μ
1302:¯
1293:−
1264:¯
1255:−
1233:μ
1194:μ
1155:μ
1109:μ
1051:¯
1042:−
1020:¯
1011:−
996:∑
986:∑
970:μ
897:¯
841:¯
767:¯
758:−
736:¯
727:−
716:∞
711:∞
708:−
704:∫
698:∞
693:∞
690:−
686:∫
670:μ
565:¯
547:¯
390:∑
380:∑
299:∑
289:∑
165:∞
160:∞
157:−
153:∫
147:∞
142:∞
139:−
135:∫
5108:32025658
5057:26405888
3286:rotation
2982:′
2962:′
2934:′
2909:′
2893:′
2831:′
2815:′
2772:′
2756:′
2741:′
2655:′
2640:′
2623:′
2608:′
2409:′
2300:′
2191:′
2163:Examples
941:centroid
489:Examples
69:centroid
5099:6997304
2547:is now
954:,
5106:
5096:
5055:
4965:
3283:, and
3259:where
3142:η
3123:μ
2716:arctan
948:ƒ
827:where
556:
97:moment
95:) the
71:, and
50:moment
4874:Like
3281:scale
3153:scale
5104:PMID
5053:PMID
4963:ISBN
4938:Gist
4543:...
3151:and
2853:The
2680:The
2508:The
883:and
366:i.e.
234:for
5135:doi
5131:112
5094:PMC
5084:doi
5043:doi
3144:i j
3125:i j
3029:is
2558:cov
946:If
495:via
65:via
32:In
5156::
5129:.
5125:.
5102:.
5092:.
5078:.
5074:.
5051:.
5039:26
5037:.
5033:.
4881:,
4854:21
4841:03
4825:12
4812:30
4796:02
4783:20
4754:21
4741:03
4715:12
4702:30
4686:11
4522:.
4486:03
4473:21
4447:12
4434:30
4412:03
4399:21
4383:12
4367:30
4338:03
4325:21
4296:12
4283:30
4264:12
4251:30
4235:03
4222:21
4172:03
4159:21
4143:12
4130:30
4117:11
4088:03
4075:21
4049:12
4036:30
4017:02
4004:20
3947:03
3934:21
3908:12
3895:30
3873:03
3860:21
3844:03
3831:21
3799:03
3786:21
3757:12
3744:30
3725:12
3712:30
3696:12
3680:30
3626:03
3613:21
3587:12
3574:30
3520:03
3507:21
3478:12
3462:30
3413:11
3387:02
3374:20
3330:02
3317:20
3279:,
3263:+
3202:00
3132:.
2988:02
2968:20
2940:11
2905:02
2889:20
2827:02
2811:20
2768:02
2752:20
2737:11
2651:02
2636:11
2619:11
2604:20
2464:00
2449:11
2436:00
2421:11
2405:11
2355:00
2340:02
2327:00
2312:02
2296:02
2246:00
2231:20
2218:00
2203:20
2187:20
2171:.
2159:.
1929:01
1894:02
1866:03
1853:03
1822:10
1787:20
1759:30
1746:30
1715:10
1680:02
1655:11
1627:12
1614:12
1583:01
1548:20
1523:11
1495:21
1482:21
1451:01
1426:02
1413:02
1382:10
1357:20
1344:20
1313:10
1288:11
1275:01
1250:11
1237:11
1198:10
1159:01
1126:00
1113:00
943:.
923:00
913:01
867:00
857:10
626:00
616:01
599:00
589:10
514:00
470:pq
451:pq
445:xy
364:,
258:ij
103:+
75:.
59:.
36:,
5143:.
5137::
5110:.
5086::
5080:2
5059:.
5045::
4971:.
4886:8
4883:I
4879:7
4876:I
4859:)
4846:+
4833:(
4830:)
4817:+
4804:(
4801:)
4775:(
4769:]
4764:2
4760:)
4746:+
4733:(
4725:2
4721:)
4707:+
4694:(
4691:[
4678:=
4673:8
4669:I
4643:3
4638:4
4634:I
4629:/
4625:)
4620:2
4615:7
4611:I
4607:+
4602:2
4597:5
4593:I
4589:(
4586:=
4581:3
4577:I
4566:3
4563:I
4555:7
4552:I
4548:6
4545:I
4541:1
4538:I
4530:1
4527:I
4504:.
4501:]
4496:2
4492:)
4478:+
4465:(
4457:2
4453:)
4439:+
4426:(
4423:3
4420:[
4417:)
4404:+
4391:(
4388:)
4375:3
4359:(
4353:]
4348:2
4344:)
4330:+
4317:(
4314:3
4306:2
4302:)
4288:+
4275:(
4272:[
4269:)
4256:+
4243:(
4240:)
4214:3
4211:(
4208:=
4203:7
4199:I
4177:)
4164:+
4151:(
4148:)
4135:+
4122:(
4109:4
4106:+
4103:]
4098:2
4094:)
4080:+
4067:(
4059:2
4055:)
4041:+
4028:(
4025:[
4022:)
3996:(
3993:=
3988:6
3984:I
3962:]
3957:2
3953:)
3939:+
3926:(
3918:2
3914:)
3900:+
3887:(
3884:3
3881:[
3878:)
3865:+
3852:(
3849:)
3823:3
3820:(
3817:+
3814:]
3809:2
3805:)
3791:+
3778:(
3775:3
3767:2
3763:)
3749:+
3736:(
3733:[
3730:)
3717:+
3704:(
3701:)
3688:3
3672:(
3669:=
3664:5
3660:I
3636:2
3632:)
3618:+
3605:(
3602:+
3597:2
3593:)
3579:+
3566:(
3563:=
3558:4
3554:I
3530:2
3526:)
3499:3
3496:(
3493:+
3488:2
3484:)
3470:3
3454:(
3451:=
3446:3
3442:I
3418:2
3405:4
3402:+
3397:2
3393:)
3366:(
3363:=
3358:2
3354:I
3322:+
3309:=
3304:1
3300:I
3265:j
3261:i
3237:)
3231:2
3227:j
3224:+
3221:i
3215:+
3212:1
3208:(
3192:j
3189:i
3179:=
3174:j
3171:i
3074:.
3065:1
3055:2
3042:1
3009:,
3004:2
2998:2
2994:)
2953:(
2950:+
2945:2
2925:4
2914:2
2897:+
2878:=
2873:i
2838:0
2779:)
2729:2
2723:(
2711:2
2708:1
2703:=
2676:.
2662:]
2593:[
2588:=
2585:]
2582:)
2579:y
2576:,
2573:x
2570:(
2567:I
2564:[
2535:)
2532:y
2529:,
2526:x
2523:(
2520:I
2487:y
2475:x
2460:M
2455:/
2445:M
2441:=
2427:/
2413:=
2377:2
2367:y
2351:M
2346:/
2336:M
2332:=
2318:/
2304:=
2268:2
2258:x
2242:M
2237:/
2227:M
2223:=
2209:/
2195:=
2138:n
2135:m
2131:M
2125:)
2122:n
2116:q
2113:(
2109:)
2099:y
2090:(
2085:)
2082:m
2076:p
2073:(
2069:)
2059:x
2050:(
2044:)
2039:n
2036:q
2031:(
2022:)
2017:m
2014:p
2009:(
2001:q
1996:n
1986:p
1981:m
1973:=
1968:q
1965:p
1934:.
1925:M
1919:2
1909:y
1902:2
1899:+
1890:M
1880:y
1874:3
1862:M
1858:=
1827:,
1818:M
1812:2
1802:x
1795:2
1792:+
1783:M
1773:x
1767:3
1755:M
1751:=
1720:,
1711:M
1705:2
1695:y
1688:2
1685:+
1676:M
1666:x
1651:M
1641:y
1635:2
1623:M
1619:=
1588:,
1579:M
1573:2
1563:x
1556:2
1553:+
1544:M
1534:y
1519:M
1509:x
1503:2
1491:M
1487:=
1456:,
1447:M
1437:y
1422:M
1418:=
1387:,
1378:M
1368:x
1353:M
1349:=
1318:,
1309:M
1299:y
1284:M
1280:=
1271:M
1261:x
1246:M
1242:=
1209:,
1206:0
1203:=
1170:,
1167:0
1164:=
1131:,
1122:M
1118:=
1082:)
1079:y
1076:,
1073:x
1070:(
1067:f
1062:q
1058:)
1048:y
1039:y
1036:(
1031:p
1027:)
1017:x
1008:x
1005:(
1000:y
990:x
982:=
977:q
974:p
956:y
952:x
950:(
919:M
909:M
903:=
894:y
863:M
853:M
847:=
838:x
812:y
809:d
805:x
802:d
798:)
795:y
792:,
789:x
786:(
783:f
778:q
774:)
764:y
755:y
752:(
747:p
743:)
733:x
724:x
721:(
682:=
677:q
674:p
634:}
622:M
612:M
606:,
595:M
585:M
578:{
574:=
571:}
562:y
553:,
544:x
538:{
510:M
483:y
481:,
479:x
477:(
475:f
468:M
464:y
462:,
460:x
458:(
456:f
449:M
441:y
439:,
437:x
435:(
433:f
414:)
411:y
408:,
405:x
402:(
399:I
394:y
384:x
343:)
340:y
337:,
334:x
331:(
328:I
323:j
319:y
313:i
309:x
303:y
293:x
285:=
280:j
277:i
273:M
256:M
252:y
250:,
248:x
246:(
244:I
240:q
238:,
236:p
219:y
216:d
212:x
209:d
205:)
202:y
199:,
196:x
193:(
190:f
185:q
181:y
175:p
171:x
131:=
126:q
123:p
119:M
105:q
101:p
93:y
91:,
89:x
87:(
85:f
48:(
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.