2368:, and the discriminant of the maximal order is the discriminant of the field. The discriminant of a non-maximal order is the product of the discriminant of the corresponding maximal order by the square of the determinant of the matrix that expresses a basis of the non-maximal order over a basis of the maximal order. All these discriminants may be defined by the formula of
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1816:{\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}
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303:
1692:{\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}
630:
78:
4880:
1969:
A classical example of the construction of a quadratic field is to take the unique quadratic field inside the
5048:
4502:
4334:
3019:
2223:
is the only prime that can divide the quadratic field discriminant. That rules out the 'other' discriminants
31:
5185:
2727:
2300:-torsion, so contain at least three quadratic fields. In general a quadratic field of field discriminant
39:
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1078:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}
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113:
2344:
of a quadratic field is the absolute value of its discriminant, a special case of the
249:
Quadratic fields have been studied in great depth, initially as part of the theory of
5423:
5311:
5215:
2014:
1825:
Then, the ideal class group is generated by the prime ideals whose norm is less than
1522:
Determining the class group of a quadratic field extension can be accomplished using
5387:
811:
5333:
243:
2280:
If one takes the other cyclotomic fields, they have Galois groups with extra
5392:
1173:
1403:. The first two cases are, in a certain sense, equally likely to occur as
909:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}
5318:(Hardcover ed.), Paris / Boston: Hermann / Houghton Mifflin Company,
5245:
629:
The set of discriminants of quadratic fields is exactly the set of
2379:, which measures the failure of unique factorization, is given in
1852:. This can be done by looking at the decomposition of the ideals
5288:
Binary quadratic forms: classical theory and modern computations
27:
Field (mathematics) generated by the square root of an integer
2203:
is the only prime that ramifies in the cyclotomic field, so
1148:
1034:
1012:
978:
873:
851:
708:
674:
2384:
2380:
2370:
Discriminant of an algebraic number field § Definition
1809:
1685:
2013:
an odd prime number. The uniqueness is a consequence of
2352:
Orders of quadratic number fields of small discriminant
2320:
can be obtained as a subfield of a cyclotomic field of
5097:
5051:
5030:
5009:
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2526:
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2480:
2456:
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2340:
th roots of unity. This expresses the fact that the
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2286:
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1965:
The quadratic subfield of the prime cyclotomic field
5246:"Algebraic Number Theory, A Computational Approach"
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288:
222:
192:
166:
146:
122:
102:
60:
4037:{\displaystyle (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )^{2}}
1434:implies that the splitting behaviour of a prime
534:. The reason for such a distinction is that the
200:, the corresponding quadratic field is called a
3891:{\displaystyle \pm 1,(\pm 1\pm {\sqrt {-3}})/2}
2360:of small discriminant of quadratic fields. The
751:splitting of prime ideals in Galois extensions
2066:, the discriminant of the quadratic field is
1220:. The first and second cases occur when the
968:is a product of two distinct prime ideals of
8:
5136:Some of these examples are listed in Artin,
4726:{\displaystyle \pm ((3+{\sqrt {13}})/2)^{n}}
2383:; for the imaginary case, they are given in
1952:These decompositions can be found using the
4202:{\displaystyle \pm ((1+{\sqrt {5}})/2)^{n}}
1568:{\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}
334:{\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}
253:. There remain some unsolved problems. The
238:, corresponding to whether or not it is a
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5075:
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5029:
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2179:. This can also be predicted from enough
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1408:
1388:
1368:
1348:
1328:
1308:
1285:
1262:
1236:
1228:
1205:
1185:
1153:
1147:
1146:
1143:
1117:
1092:
1069:
1064:
1054:
1049:
1039:
1033:
1032:
1023:
1017:
1011:
1010:
1007:
983:
977:
976:
973:
947:
923:
898:
893:
888:
878:
872:
871:
862:
856:
850:
849:
846:
825:
819:
786:
761:
734:
713:
707:
706:
703:
679:
673:
672:
666:
646:
609:
607:
584:
574:
563:
543:
516:
492:
469:
449:
426:
406:
386:
366:
346:
321:
313:
305:
281:
209:
179:
159:
139:
115:
103:{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}
90:
82:
80:
53:
51:
4916:{\displaystyle \pm (4+{\sqrt {17}})^{n}}
2389:
1960:Quadratic subfields of cyclotomic fields
5203:
5084:{\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+2)^{n}}
4538:{\displaystyle \pm (2+{\sqrt {3}})^{n}}
4370:{\displaystyle \pm (1+{\sqrt {2}})^{n}}
3068:{\displaystyle (1,(1+{\sqrt {-15}})/2)}
5231:
2375:For real quadratic integer rings, the
1180:The third case happens if and only if
1454:in a quadratic field depends only on
7:
5209:
5207:
2364:of an algebraic number field is its
1172:The quotient ring contains non-zero
2017:, there being a unique subgroup of
1671:
1664:
1628:
1621:
688:{\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}
75:Every such quadratic field is some
2584:{\displaystyle (2,1+{\sqrt {-5}})}
1777:
1737:
1586:
1162:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
1138:is the square of a prime ideal of
992:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
722:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
276:For a nonzero square free integer
25:
4995:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
4827:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
4623:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
4449:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
4281:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
4099:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
3940:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
3786:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
3617:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
3500:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
3363:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
3248:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
3111:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
2912:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
2775:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
2649:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
2442:{\displaystyle \mathbf {Z} \left}
1899:{\displaystyle p\in \mathbf {Z} }
1530:because of the finiteness of the
1002:The quotient ring is the product
749:. In line with general theory of
595:{\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}
4973:
4783:
4579:
4427:
4259:
4055:
4020:
4007:
3915:
3739:
3592:
3453:
3338:
3201:
3086:
2865:
2745:
2602:
2417:
2048:
1892:
1548:
1383:is congruent to a square modulo
1303:, respectively. For example, if
1065:
1050:
889:
314:
83:
54:
2356:The following table shows some
637:Prime factorization into ideals
5166:Infrastructure (number theory)
5108:
5098:
5072:
5055:
4940:
4930:
4904:
4887:
4808:
4792:
4750:
4740:
4714:
4702:
4686:
4683:
4604:
4588:
4526:
4509:
4394:
4384:
4358:
4341:
4226:
4216:
4190:
4178:
4162:
4159:
4080:
4064:
4025:
4003:
3877:
3855:
3767:
3748:
3481:
3462:
3229:
3210:
3062:
3051:
3032:
3023:
3003:
2997:
2893:
2874:
2630:
2611:
2578:
2553:
2533:
2527:
2346:conductor-discriminant formula
1922:
1914:
1865:
1859:
1781:
1773:
1741:
1733:
1675:
1665:
1632:
1622:
1562:
1552:
1244:
1230:
1125:
1119:
955:
949:
794:
788:
581:
565:
328:
318:
97:
87:
1:
5338:(Paperback ed.), Dover,
1945:{\displaystyle |p|<M_{k}.}
1323:is an odd prime not dividing
2055:{\displaystyle \mathbf {Q} }
1423:runs through the primes—see
61:{\displaystyle \mathbf {Q} }
5408:Encyclopedia of Mathematics
5335:Algebraic Theory of Numbers
5316:Algebraic Theory of Numbers
5151:Eisenstein–Kronecker number
3695:{\displaystyle \pm 1,\pm i}
1514:is the field discriminant.
619:{\displaystyle {\sqrt {d}}}
257:is particularly important.
5451:
5264:"CLASS GROUP CALCULATIONS"
5191:Quadratically closed field
1425:Chebotarev density theorem
264:
2272:in the respective cases.
2040:in the Galois group over
1973:generated by a primitive
1699:so the Minkowski bound is
1200:divides the discriminant
810:The quotient ring is the
631:fundamental discriminants
602:in the first case and by
232:imaginary quadratic field
18:Imaginary quadratic field
5120:{\displaystyle (-1)^{n}}
4952:{\displaystyle (-1)^{n}}
4762:{\displaystyle (-1)^{n}}
4406:{\displaystyle (-1)^{n}}
4238:{\displaystyle (-1)^{n}}
3996:Class group non-cyclic:
511:and the discriminant is
130:is a (uniquely defined)
5430:Algebraic number theory
5359:Algebraic number theory
5332:Samuel, Pierre (2008),
2276:Other cyclotomic fields
1993:th root of unity, with
1954:Dedekind–Kummer theorem
661:gives rise to an ideal
300:of the quadratic field
236:complex quadratic field
32:algebraic number theory
5357:; Tall, D. O. (1979),
5284:Buell, Duncan (1989),
5186:Dedekind zeta function
5121:
5085:
5038:
5017:
4996:
4953:
4917:
4870:
4849:
4828:
4763:
4727:
4666:
4645:
4624:
4559:
4539:
4492:
4471:
4450:
4407:
4371:
4324:
4303:
4282:
4239:
4203:
4142:
4121:
4100:
4038:
3986:
3965:
3941:
3892:
3832:
3811:
3787:
3716:
3696:
3663:
3642:
3618:
3570:
3546:
3525:
3501:
3433:
3409:
3388:
3364:
3318:
3294:
3273:
3249:
3181:
3157:
3136:
3112:
3069:
3010:
2982:
2958:
2937:
2913:
2845:
2821:
2800:
2776:
2728:Principal ideal domain
2719:
2695:
2674:
2650:
2585:
2540:
2512:
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2467:
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2314:
2294:
2266:
2243:
2217:
2197:
2173:
2172:{\displaystyle p=4n+3}
2138:
2115:
2114:{\displaystyle p=4n+1}
2080:
2056:
2034:
2007:
1987:
1946:
1900:
1872:
1846:
1817:
1693:
1569:
1508:
1488:
1468:
1448:
1417:
1397:
1377:
1363:splits if and only if
1357:
1337:
1317:
1297:
1274:
1251:
1214:
1194:
1163:
1132:
1101:
1079:
993:
962:
932:
910:
835:
801:
770:
743:
723:
689:
655:
620:
596:
552:
528:
501:
481:
458:
438:
415:
395:
375:
355:
335:
290:
251:binary quadratic forms
224:
223:{\displaystyle d<0}
194:
193:{\displaystyle d>0}
168:
148:
124:
104:
62:
40:algebraic number field
5181:Stark–Heegner theorem
5122:
5086:
5039:
5018:
4997:
4954:
4918:
4871:
4850:
4829:
4764:
4728:
4667:
4646:
4625:
4560:
4540:
4493:
4472:
4451:
4408:
4372:
4325:
4304:
4283:
4240:
4204:
4143:
4122:
4101:
4039:
3987:
3966:
3942:
3893:
3833:
3812:
3788:
3717:
3697:
3664:
3643:
3619:
3571:
3569:{\displaystyle \pm 1}
3547:
3526:
3502:
3434:
3432:{\displaystyle \pm 1}
3410:
3389:
3365:
3319:
3317:{\displaystyle \pm 1}
3295:
3274:
3250:
3182:
3180:{\displaystyle \pm 1}
3158:
3137:
3113:
3070:
3011:
2983:
2981:{\displaystyle \pm 1}
2959:
2938:
2914:
2846:
2844:{\displaystyle \pm 1}
2822:
2801:
2777:
2720:
2718:{\displaystyle \pm 1}
2696:
2675:
2651:
2586:
2541:
2513:
2511:{\displaystyle \pm 1}
2489:
2468:
2444:
2335:
2315:
2295:
2267:
2244:
2218:
2198:
2174:
2139:
2116:
2081:
2057:
2035:
2008:
1988:
1947:
1901:
1873:
1847:
1845:{\displaystyle M_{K}}
1818:
1694:
1570:
1509:
1489:
1469:
1449:
1432:quadratic reciprocity
1418:
1398:
1378:
1358:
1338:
1318:
1298:
1275:
1252:
1250:{\displaystyle (D/p)}
1215:
1195:
1164:
1133:
1102:
1080:
994:
963:
933:
911:
836:
834:{\displaystyle p^{2}}
802:
771:
744:
729:of a quadratic field
724:
690:
656:
621:
597:
553:
529:
502:
482:
459:
439:
416:
396:
376:
356:
336:
291:
225:
195:
169:
149:
125:
105:
63:
5361:, Chapman and Hall,
5176:Quadratic irrational
5095:
5049:
5028:
5007:
4969:
4927:
4881:
4860:
4839:
4779:
4737:
4677:
4656:
4635:
4575:
4549:
4503:
4482:
4461:
4423:
4381:
4335:
4314:
4293:
4255:
4213:
4153:
4132:
4111:
4051:
4000:
3976:
3952:
3911:
3843:
3822:
3798:
3735:
3706:
3674:
3653:
3629:
3588:
3557:
3536:
3512:
3449:
3420:
3399:
3375:
3334:
3305:
3284:
3260:
3197:
3168:
3147:
3123:
3082:
3020:
2994:
2969:
2948:
2924:
2861:
2832:
2811:
2787:
2741:
2706:
2685:
2661:
2598:
2550:
2524:
2499:
2478:
2454:
2413:
2324:
2304:
2284:
2253:
2227:
2207:
2187:
2148:
2125:
2090:
2070:
2044:
2024:
1997:
1977:
1910:
1882:
1856:
1829:
1703:
1582:
1538:
1534:. A quadratic field
1498:
1478:
1458:
1438:
1407:
1387:
1367:
1347:
1327:
1307:
1284:
1261:
1227:
1204:
1184:
1142:
1116:
1091:
1006:
972:
946:
922:
845:
818:
785:
760:
733:
702:
665:
645:
626:in the second case.
606:
562:
542:
515:
491:
468:
448:
425:
405:
385:
365:
345:
304:
280:
255:class number problem
242:of the field of the
208:
202:real quadratic field
178:
158:
138:
114:
79:
50:
5435:Field (mathematics)
3964:{\displaystyle -84}
3902:Eisenstein integers
3272:{\displaystyle -11}
3135:{\displaystyle -12}
3009:{\displaystyle (1)}
2936:{\displaystyle -15}
2799:{\displaystyle -16}
2673:{\displaystyle -19}
2539:{\displaystyle (1)}
2466:{\displaystyle -20}
2242:{\displaystyle -4p}
1871:{\displaystyle (p)}
1131:{\displaystyle (p)}
961:{\displaystyle (p)}
800:{\displaystyle (p)}
132:square-free integer
5385:Weisstein, Eric W.
5140:(2nd ed.), §13.8.
5130:Non-maximal order
5117:
5081:
5034:
5016:{\displaystyle 20}
5013:
4992:
4949:
4913:
4866:
4848:{\displaystyle 17}
4845:
4824:
4759:
4723:
4662:
4644:{\displaystyle 13}
4641:
4620:
4555:
4535:
4488:
4470:{\displaystyle 12}
4467:
4446:
4403:
4367:
4320:
4299:
4278:
4235:
4199:
4138:
4117:
4096:
4034:
3982:
3961:
3937:
3888:
3828:
3810:{\displaystyle -3}
3807:
3783:
3712:
3692:
3659:
3641:{\displaystyle -4}
3638:
3614:
3566:
3542:
3524:{\displaystyle -7}
3521:
3497:
3429:
3405:
3387:{\displaystyle -8}
3384:
3360:
3314:
3290:
3269:
3245:
3189:Non-maximal order
3177:
3153:
3132:
3108:
3065:
3006:
2978:
2954:
2933:
2909:
2853:Non-maximal order
2841:
2817:
2796:
2772:
2715:
2691:
2670:
2646:
2581:
2536:
2508:
2484:
2463:
2439:
2377:ideal class number
2330:
2310:
2290:
2265:{\displaystyle 4p}
2262:
2239:
2213:
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