6079:
3754:
6074:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}
31:
2015:
923:
2010:{\displaystyle {\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }\leftA_{k}z^{k+r}\\={}&\leftA_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\leftA_{k}z^{k+r}=0\end{aligned}}}
2939:
2356:
3747:
2934:{\displaystyle {\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=0\\\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=A_{k}\end{aligned}}}
6348:
The previous example involved an indicial polynomial with a repeated root, which gives only one solution to the given differential equation. In general, the
Frobenius method gives two independent solutions provided that the indicial equation's roots are not separated by an integer (including zero).
3463:
3475:
2138: − 1 or, something else depending on the given differential equation. This detail is important to keep in mind. In the process of synchronizing all the series of the differential equation to start at the same index value (which in the above expression is
2347:
3190:
916:
466:
684:
6459:
2108:
6972:
In cases in which roots of the indicial polynomial differ by an integer (including zero), the coefficients of all series involved in second linearly independent solutions can be calculated straightforwardly from
791:
2361:
546:
A first contribution by
Frobenius to the theory was to show that - as regards a first, linearly independent solution, which then has the form of an analytical power series multiplied by an arbitrary power
6217:
3038:
3307:
307:
197:
3296:
3759:
3742:{\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{aligned}}}
3480:
928:
569:
A large part of
Frobenius' 1873 publication was devoted to proofs of convergence of all the series involved in the solutions, as well as establishing the radii of convergence of these series.
6782:
6277:
245:
2158:
2142: = 1), one can end up with complicated expressions. However, in solving for the indicial roots attention is focused only on the coefficient of the lowest power of
65:
6658:
6330:
3214:, we gain a solution to the differential equation. If the difference between the roots is not an integer, we get another, linearly independent solution in the other root.
6895:
6848:
6495:
6955:
6925:
6688:
6611:
6580:
6553:
6522:
580:
469:
369:
6810:
339:
88:
6355:
2022:
795:
6957:
which can be set arbitrarily. If it is set to zero then with this differential equation all the other coefficients will be zero and we obtain the solution
3043:
562:
of the second linearly independent solution (see below) can be obtained by a procedure which is based on differentiation with respect to the parameter
374:
7213:
691:
6100:
6977:. These tandem relations can be constructed by further developing Frobenius' original invention of differentiating with respect to the parameter
2957:
7054:
558:
A second contribution by
Frobenius was to show that, in cases in which the roots of the indicial equation differ by an integer, the general
30:
7112:
6337:
6222:
117:
111:
3225:
7046:
7169:"Tandem Recurrence Relations for Coefficients of Logarithmic Frobenius Series Solutions about Regular Singular Points"
6721:
6281:
Given some initial conditions, we can either solve the recurrence entirely or obtain a solution in power series form.
7143:
Fuchs, Lazarus
Immanuel (1866). "Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten".
7128:
Fuchs, Lazarus
Immanuel (1865). "Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten".
511:. The Frobenius method enables one to create a power series solution to such a differential equation, provided that
250:
3458:{\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}
103:
7042:
7085:
Frobenius, Ferdinand Georg (1968) . "Uber die
Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen".
527:) are themselves analytic at 0 or, being analytic elsewhere, both their limits at 0 exist (and are finite).
202:
6995:
539:
of the series solutions involved (see below). These forms had all been established earlier, by Fuchs. The
313:
6352:
If the root is repeated or the roots differ by an integer, then the second solution can be found using:
37:
6701:
6616:
6287:
551:
of the independent variable (see below) - the coefficients of the generalized power series obey a
6853:
2351:
These coefficients must be zero, since they should be solutions of the differential equation, so
2342:{\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j},}
7190:
7108:
7050:
7014:
6990:
6815:
6464:
6333:
501:
34:
Some solutions of a differential equation having a regular singular point with indicial roots
7180:
6930:
6900:
6663:
6589:
6558:
6531:
6500:
347:
107:
6787:
318:
70:
7000:
6981:, and using this approach to actually calculate the series coefficients in all cases.
7207:
7062:
7036:
7032:
7017:
6897:
has a power series starting with the power zero. In a power series starting with
17:
95:
6784:
The roots of the indicial equation are −1 and 0. Two independent solutions are
6497:
is the first solution (based on the larger root in the case of unequal roots),
6927:
the recurrence relation places no restriction on the coefficient for the term
679:{\displaystyle u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)}
7194:
7022:
6968:
Tandem recurrence relations for series coefficients in the exceptional cases
7185:
7168:
6850:
so we see that the logarithm does not appear in any solution. The solution
2130:
th coefficient but, it is possible for the lowest possible exponent to be
7105:
Linear
Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincare
6454:{\displaystyle y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}}
2126:
in the infinite series. In this case it happens to be that this is the
2103:{\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}
577:
The method of
Frobenius is to seek a power series solution of the form
6091:
we get a double root of 1. Using this root, we set the coefficient of
911:{\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}
6660:, which can be set arbitrarily. This then determines the rest of the
3185:{\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}
573:
Explanation of
Frobenius Method: first, linearly independent solution
461:{\displaystyle u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0}
920:
Substituting the above differentiation into our original ODE:
786:{\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}
543:(see below) and its role had also been established by Fuchs.
6212:{\displaystyle (k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}
3194:
If we choose one of the roots to the indicial polynomial for
555:, so that they can always be straightforwardly calculated.
535:
Frobenius' contribution was not so much in all the possible
3033:{\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}
2149:
Using this, the general expression of the coefficient of
7065:). Chapter 4 contains the full method including proofs.
7089:(in German). Berlin: Springer-Verlag. pp. 84–105.
6344:"The exceptional cases": roots separated by an integer
6097:
to be zero (for it to be a solution), which gives us:
253:
205:
7038:
Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
6933:
6903:
6856:
6818:
6790:
6724:
6666:
6619:
6592:
6561:
6534:
6503:
6467:
6358:
6290:
6225:
6103:
3757:
3478:
3310:
3228:
3046:
2960:
2359:
2161:
2025:
926:
798:
694:
583:
377:
350:
321:
120:
73:
40:
7063:https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/
6949:
6919:
6889:
6842:
6804:
6776:
6682:
6652:
6605:
6574:
6547:
6516:
6489:
6453:
6324:
6271:
6211:
6073:
3741:
3457:
3290:
3184:
3032:
2933:
2341:
2102:
2009:
910:
785:
678:
460:
363:
333:
301:
239:
191:
82:
59:
27:Method for solving ordinary differential equations
6700:: consider the following differential equation (
6582:is chosen (for example by setting it to 1) then
7145:Journal für die reine und angewandte Mathematik
302:{\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}
6272:{\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}}
371:to obtain a differential equation of the form
8:
7132:(in German). University Of Michigan Library.
3465:which has the requisite singularity at
7130:Gesammelte Mathematische Werke von L. Fuchs
7167:van der Toorn, Ramses (27 December 2022).
2122:is the coefficient of the lowest power of
7184:
6938:
6932:
6908:
6902:
6879:
6864:
6855:
6829:
6823:
6817:
6794:
6789:
6723:
6671:
6665:
6642:
6629:
6624:
6618:
6597:
6591:
6566:
6560:
6539:
6533:
6508:
6502:
6472:
6466:
6443:
6432:
6422:
6412:
6401:
6379:
6363:
6357:
6310:
6301:
6295:
6289:
6261:
6245:
6239:
6230:
6224:
6191:
6178:
6168:
6149:
6136:
6126:
6102:
6049:
6028:
6015:
6005:
5972:
5961:
5942:
5932:
5922:
5873:
5857:
5847:
5836:
5811:
5801:
5791:
5763:
5752:
5728:
5718:
5708:
5664:
5648:
5638:
5627:
5597:
5587:
5507:
5496:
5477:
5467:
5390:
5374:
5364:
5353:
5323:
5313:
5233:
5222:
5185:
5169:
5159:
5148:
5123:
5113:
5103:
5092:
5067:
5057:
5032:
5021:
4996:
4986:
4940:
4929:
4891:
4875:
4865:
4848:
4823:
4813:
4803:
4792:
4767:
4757:
4732:
4721:
4696:
4686:
4640:
4629:
4597:
4587:
4577:
4566:
4541:
4531:
4521:
4510:
4485:
4475:
4450:
4439:
4414:
4404:
4358:
4347:
4321:
4311:
4301:
4290:
4276:
4261:
4251:
4241:
4230:
4218:
4209:
4188:
4178:
4153:
4142:
4128:
4107:
4097:
4051:
4040:
4014:
4004:
3994:
3983:
3964:
3953:
3944:
3918:
3908:
3883:
3872:
3858:
3837:
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3777:
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3758:
3756:
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3609:
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3528:
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3497:
3479:
3477:
3431:
3420:
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3051:
3045:
3018:
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2998:
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2959:
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2771:
2737:
2727:
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2567:
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2422:
2410:
2399:
2386:
2360:
2358:
2330:
2276:
2242:
2220:
2208:
2197:
2184:
2160:
2024:
1985:
1975:
1874:
1863:
1850:
1840:
1771:
1752:
1742:
1641:
1630:
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1598:
1588:
1557:
1547:
1501:
1491:
1442:
1431:
1421:
1402:
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1382:
1371:
1340:
1330:
1305:
1294:
1263:
1253:
1207:
1196:
1186:
1167:
1157:
1147:
1136:
1099:
1089:
1064:
1053:
1013:
1003:
957:
946:
936:
927:
925:
890:
880:
834:
823:
797:
765:
755:
730:
719:
693:
661:
644:
634:
624:
613:
603:
582:
441:
421:
389:
376:
355:
349:
320:
290:
272:
265:
252:
217:
204:
125:
119:
72:
47:
39:
531:History: Frobenius' actual contributions
468:which will not be solvable with regular
192:{\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}
29:
7074:
6613:are determined up to but not including
6336:, the power series can be written as a
6219:hence we have the recurrence relation:
6524:is the smaller root, and the constant
240:{\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}
3291:{\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0}
7:
7162:
7160:
7158:
7098:
7096:
7080:
7078:
7061:(Draft version available online at
530:
110:solution for a linear second-order
6413:
5973:
5848:
5764:
5639:
5508:
5365:
5234:
5160:
5104:
5033:
4941:
4866:
4804:
4733:
4641:
4578:
4522:
4451:
4359:
4302:
4242:
4154:
4052:
3995:
3884:
3778:
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2999:
1875:
1642:
1443:
1383:
1306:
1208:
1148:
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25:
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6777:{\displaystyle zu''+(2-z)u'-u=0}
6284:Since the ratio of coefficients
2118:. The general definition of the
60:{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
7214:Ordinary differential equations
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653:
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2114:, which is quadratic in
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6690:In some cases the constant
6555:are to be determined. Once
7230:
2943:The series solution with
104:Ferdinand Georg Frobenius
6843:{\displaystyle e^{z}/z,}
6490:{\displaystyle y_{1}(x)}
3472:Use the series solution
7087:Gesammelte Abhandlungen
312:in the vicinity of the
7186:10.3390/axioms12010032
7107:. Boston: Birkhauser.
6996:Regular singular point
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2112:indicial polynomial
566:, mentioned above.
553:recurrence relation
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