29:
5846:
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2209:
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2492:
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216:
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3120:
2936:
5207:
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2002:
4598:
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3035:
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479:
400:
5561:
3807:
is considered as a topological vector space but it has not been made clear what topology it is endowed with, then the topology will be assumed to be
5688:
5543:
5519:
5337:
482:
5136:
5106:
4957:
Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis
4910:
4794:
5885:
5875:
5411:
4937:
5500:
5391:
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4821:
111:
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171:
5770:
5261:
4688:
3258:
4986:. Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland.
5415:
3748:
3555:
3530:
3379:
3155:
2991:
2966:
2787:
2777:
4959:. Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland.
3072:
2888:
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5098:
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5317:
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5586:
3304:
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2790:
5322:
5831:
5591:
3665:
3452:
4984:
Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality
5785:
5709:
5360:
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136:
132:
43:
37:
17:
5551:
4603:
2420:
have a simple spectral decomposition discovered at the beginning of the 20th century by
Fredholm and F. Riesz:
5775:
5365:
5241:
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4506:
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3909:
3718:
2253:
884:{\displaystyle X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}
2709:
994:
5755:
5693:
5407:
4041:(the space of separately continuous bilinear maps) then the range of this restriction is the space
2544:
105:
2204:{\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}
1685:
684:
5780:
5647:
5192:
5090:
4366:
is equal to the inductive tensor product topology if and only if it has the following property:
3783:
3751:
3637:
3607:
3350:
3158:
3045:
2941:
2861:
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2629:
2333:
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1602:
1396:
1349:
1322:
1295:
1213:
142:
4290:
4264:
4213:
3190:
322:
265:
4548:(space of separately continuous bilinear maps) then the range of this restriction is the space
2429:
There is a sequence of positive numbers, decreasing and either finite or else converging to 0,
1849:
1540:
1292:
To increase the clarity of the exposition, we use the common convention of writing elements of
5880:
5760:
5169:
5159:
5142:
5132:
5112:
5102:
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5041:
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4871:
4854:
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4790:
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1718:
1428:
1061:
790:
730:
523:
488:
4676: – A generalization of finite-dimensional Euclidean spaces different from Hilbert spaces
1511:
1263:
5765:
5683:
5652:
5632:
5617:
5612:
5607:
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5332:
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4656:
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2053:
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5524:
5495:
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435:
5454:
4373:
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659:
636:
405:
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5668:
5469:
5251:
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4396:
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3889:
3869:
3533:
3431:
2969:
2841:
2609:
2524:
2313:
2293:
2007:
1949:
1376:
1193:
1102:
710:
464:
385:
5864:
5821:
5745:
5474:
5459:
5449:
5327:
5246:
5227:
4673:
1237:
and the algebraic dual space (which is the vector space of all linear functionals on
5811:
5464:
5434:
5101:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
989:
5740:
5730:
5637:
5439:
5344:
5673:
5513:
5509:
5505:
5273:
5187:
5146:
5116:
4947:
4932:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
4804:
5082:
5173:
5001:
4974:
4920:
4885:
4858:
4831:
4787:
The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited
5055:
5028:
4413:
is the canonical map from the space of all bilinear mappings of the form
3906:
is the canonical map from the space of all bilinear mappings of the form
601:
168:
the tensor product of two locally convex TVSs, making the canonical map
4697: – Tensor product constructions for topological vector spaces
4691: – Tensor product space endowed with a special inner product
5380:
5196:
4682: – tensor product defined on two topological vector spaces
84:
22:
4713:
4711:
4659: – Coarsest topology making certain functions continuous
2487:{\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }
1939:{\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}
4670: – Linear operator related to topological vector spaces
4512:
4177:
4005:
3827:
3792:
3760:
3732:
3687:
3646:
3616:
3575:
3480:
3405:
3359:
3321:
3232:
3167:
3139:
3094:
3054:
3011:
2916:
2870:
2813:
1405:
1358:
1331:
1304:
1222:
211:{\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y}
3295:{\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}
2388:
In a
Hilbert space, positive compact linear operators, say
1682:
is any continuous linear map between
Hilbert spaces, then
4843:(in French). Providence: American Mathematical Society.
4752:
4750:
2494:
and a sequence of nonzero finite dimensional subspaces
4868:
Barrelledness in topological and ordered vector spaces
4841:
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires
4606:
4554:
4509:
4489:
4454:
4419:
4399:
4376:
4352:
4319:
4293:
4267:
4247:
4216:
4210:
the space of separately continuous bilinear forms on
4174:
4141:
4099:
4047:
4002:
3982:
3947:
3912:
3892:
3872:
3813:
3786:
3754:
3721:
3668:
3640:
3610:
3561:
3536:
3508:
3455:
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3385:
3353:
3307:
3261:
3226:
3193:
3161:
3128:
3115:{\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}
3075:
3048:
2997:
2972:
2944:
2931:{\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}
2891:
2864:
2844:
2793:
2749:
2712:
2667:
2632:
2612:
2585:
2547:
2527:
2500:
2435:
2394:
2369:
2336:
2316:
2296:
2256:
2217:
2153:
2123:
2091:
2056:
2030:
2010:
1972:
1952:
1896:
1852:
1826:
1780:
1757:
1747:
denote its positive square-root, which is called the
1721:
1688:
1642:
1605:
1582:
1543:
1514:
1467:
1431:
1399:
1379:
1352:
1325:
1298:
1266:
1243:
1216:
1196:
1154:
1125:
1105:
1064:
1029:
997:
968:
897:
825:
793:
767:
733:
713:
687:
662:
639:
610:
568:
526:
491:
467:
438:
408:
388:
351:
325:
303:
268:
224:
174:
145:
5156:
Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products
5129:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
4684:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
2706:; and (3) the orthogonal of the subspace spanned by
345:
is endowed with this topology then it is denoted by
5799:
5723:
5702:
5661:
5600:
5542:
5488:
5423:
5353:
5300:
5272:
5234:
4086:{\displaystyle L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)}
2579:) with the following properties: (1) the subspaces
1997:{\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}},}
5736:Spectral theory of ordinary differential equations
4789:. Providence, R.I: American Mathematical Society.
4634:
4593:{\displaystyle L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)}
4592:
4540:
4495:
4475:
4440:
4405:
4385:
4358:
4338:
4305:
4279:
4253:
4231:
4202:
4160:
4127:
4085:
4033:
3988:
3968:
3933:
3898:
3878:
3848:
3799:
3767:
3739:
3707:
3653:
3623:
3593:
3542:
3521:
3494:
3440:
3417:
3366:
3339:
3294:
3247:
3212:
3174:
3146:
3114:
3061:
3029:
2978:
2957:
2930:
2877:
2850:
2825:
2758:
2735:
2698:
2654:
2618:
2598:
2571:
2533:
2513:
2486:
2412:
2378:
2351:
2322:
2302:
2274:
2238:
2203:
2139:
2109:
2077:
2042:
2016:
1996:
1958:
1938:
1882:
1838:
1812:
1766:
1739:
1707:
1674:
1626:
1591:
1564:
1529:
1500:
1449:
1412:
1385:
1365:
1338:
1311:
1282:
1252:
1229:
1202:
1175:
1140:
1111:
1091:
1050:
1015:
980:
946:
883:
811:
779:
753:
719:
699:
671:
648:
625:
592:
544:
509:
473:
453:
417:
394:
370:
337:
309:
280:
254:
210:
160:
3340:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
3030:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
2826:{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
787:are homomorphisms. In particular, any linear map
5065:Introduction to tensor products of Banach spaces
4901:. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York:
4448:going into the space of all linear mappings of
3941:going into the space of all linear mappings of
3708:{\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}
3495:{\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}
4928:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
1119:is the scalar field then we may instead write
5392:
5208:
4717:
2160:
1537:In this case, there is a unique positive map
1373:and not, say, a derivative and the variables
100:needs attention from an expert in Mathematics
8:
4895:Counterexamples in Topological Vector Spaces
4768:
4135:In particular, the continuous dual space of
3849:{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}
1501:{\displaystyle \langle L(x),X\rangle \geq 0}
1489:
1468:
3594:{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}
3418:{\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}
3248:{\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }
1457:from a Hilbert space into itself is called
593:{\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}
5427:
5399:
5385:
5377:
5215:
5201:
5193:
2110:{\displaystyle x\in \operatorname {ker} R}
819:can be canonically decomposed as follows:
4614:
4605:
4570:
4553:
4511:
4510:
4508:
4488:
4453:
4418:
4398:
4375:
4351:
4327:
4318:
4292:
4266:
4246:
4215:
4176:
4175:
4173:
4149:
4140:
4128:{\displaystyle X\otimes _{\iota }Y\to Z.}
4107:
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144:
73:Learn how and when to remove this message
5689:Group algebra of a locally compact group
4635:{\displaystyle X\otimes _{\tau }Y\to Z.}
1319:with a prime following the symbol (e.g.
483:locally convex topological vector spaces
36:This article includes a list of general
5040:. Cambridge England: University Press.
4814:The structure of nuclear Fréchet spaces
4707:
4168:is canonically isomorphic to the space
2606:are pairwise orthogonal; (2) for every
2117:and extend this map linearly to all of
4756:
4741:
4729:
4313:with this topology will be denoted by
114:may be able to help recruit an expert.
5131:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
5013:. Berlin, New York: Springer-Verlag.
4541:{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}
4034:{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}
3147:{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
2043:{\displaystyle \operatorname {ker} R}
947:{\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}
656:has the subspace topology induced by
626:{\displaystyle \operatorname {Im} L,}
7:
5158:. Berlin New York: Springer-Verlag.
4870:. Berlin New York: Springer-Verlag.
4816:. Berlin New York: Springer-Verlag.
4261:is a locally convex TVS topology on
4203:{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y),}
1839:{\displaystyle \operatorname {Im} R}
4161:{\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}
3886:is a locally convex space and that
3604:topology of bounded convergence on
3428:topology of bounded convergence on
562:, if it is linear, continuous, and
371:{\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}
4339:{\displaystyle X\otimes _{\tau }Y}
2337:
2257:
1272:
255:{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}
42:it lacks sufficient corresponding
14:
5845:
5844:
5771:Topological quantum field theory
4839:Grothendieck, Alexander (1966).
4689:Tensor product of Hilbert spaces
4476:{\displaystyle X\otimes Y\to Z,}
3969:{\displaystyle X\otimes Y\to Z.}
3374:making all such maps continuous.
1813:{\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}
1675:{\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}
1420:need not be related in any way).
89:
27:
4600:of continuous linear operators
4441:{\displaystyle X\times Y\to Z,}
4093:of continuous linear operators
3934:{\displaystyle X\times Y\to Z,}
3740:{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
2778:Topology of uniform convergence
2275:{\displaystyle \Lambda :X\to Y}
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1260:whether continuous or not) by
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578:
536:
501:
237:
225:
196:
1:
5567:Uniform boundedness principle
5067:. London New York: Springer.
5011:Nuclear locally convex spaces
4370:For every locally convex TVS
2572:{\displaystyle i=1,2,\ldots }
2211:is a surjective isometry and
5093:; Wolff, Manfred P. (1999).
4899:Lecture Notes in Mathematics
3347:is the coarsest topology on
1986:
1715:is always positive. Now let
1708:{\displaystyle L^{*}\circ L}
761:and the canonical injection
700:{\displaystyle S\subseteq X}
104:It's a specialized topic of
5886:Topological tensor products
5224:Topological tensor products
4893:Khaleelulla, S. M. (1982).
3800:{\displaystyle X^{\prime }}
3768:{\displaystyle X^{\prime }}
3654:{\displaystyle X^{\prime }}
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3367:{\displaystyle X^{\prime }}
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2655:{\displaystyle x\in V_{i},}
2352:{\displaystyle \Lambda (U)}
2290:if there is a neighborhood
2239:{\displaystyle L=U\circ R.}
1627:{\displaystyle L=r\circ r.}
1413:{\displaystyle x^{\prime }}
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1339:{\displaystyle x^{\prime }}
1312:{\displaystyle X^{\prime }}
1230:{\displaystyle X^{\prime }}
727:then both the quotient map
161:{\displaystyle X\otimes Y,}
102:. The specific problem is:
5902:
5710:Invariant subspace problem
5361:Grothendieck trace theorem
5257:Topological tensor product
5009:Pietsch, Albrecht (1972).
4695:Topological tensor product
4306:{\displaystyle X\otimes Y}
4280:{\displaystyle X\otimes Y}
4232:{\displaystyle X\times Y.}
3775:endowed with this topology
3550:endowed with this topology
3213:{\displaystyle x_{0}\in X}
3182:endowed with this topology
2986:endowed with this topology
2775:
2743:is equal to the kernel of
338:{\displaystyle X\otimes Y}
281:{\displaystyle x\otimes y}
15:
5876:Topological vector spaces
5840:
5430:
5292:Projective tensor product
5095:Topological Vector Spaces
5038:Topological vector spaces
5036:Robertson, A. P. (1973).
4930:Topological Vector Spaces
4718:Schaefer & Wolff 1999
4680:Projective tensor product
1883:{\displaystyle U(x)=L(x)}
1565:{\displaystyle r:H\to H,}
292:continuous is called the
5679:Spectrum of a C*-algebra
5318:Hilbert–Schmidt operator
5287:Injective tensor product
5282:Inductive tensor product
5188:Nuclear space at ncatlab
4663:Injective tensor product
4483:then when the domain of
3976:Then when the domain of
3634:strong dual topology on
2413:{\displaystyle L:H\to H}
1740:{\displaystyle R:H\to H}
1450:{\displaystyle L:H\to H}
1092:{\displaystyle B(X,Y;Z)}
812:{\displaystyle L:X\to Y}
754:{\displaystyle X\to X/S}
555:topological homomorphism
545:{\displaystyle L:X\to Y}
510:{\displaystyle L:X\to Y}
380:inductive tensor product
137:topological vector space
18:Injective tensor product
16:Not to be confused with
5776:Noncommutative geometry
5366:Schwartz kernel theorem
5242:Auxiliary normed spaces
4866:Husain, Taqdir (1978).
4652:Auxiliary normed spaces
2772:Notation for topologies
1530:{\displaystyle x\in H.}
1283:{\displaystyle X^{\#}.}
112:WikiProject Mathematics
57:more precise citations.
5832:Tomita–Takesaki theory
5807:Approximation property
5751:Calculus of variations
5063:Ryan, Raymond (2002).
4636:
4594:
4542:
4497:
4477:
4442:
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1346:denotes an element of
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5827:Banach–Mazur distance
5790:Generalized functions
5338:between Banach spaces
4812:Dubinsky, Ed (1979).
4785:Diestel, Joe (2008).
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218:(defined by sending
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5871:Functional analysis
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5694:Von Neumann algebra
5408:Functional analysis
5091:Schaefer, Helmut H.
3736:
3143:
1186:We will denote the
106:Functional analysis
5781:Riemann hypothesis
5480:Topological vector
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