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4791:
4807:
672:
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is injective depends on how the function is presented and what properties the function holds. For functions that are given by some formula there is a basic idea. We use the definition of injectivity, namely that if
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is a differentiable function defined on some interval, then it is sufficient to show that the derivative is always positive or always negative on that interval. In linear algebra, if
3663:
2918:
5982:
5636:
4191:
Unlike surjectivity, which is a relation between the graph of a function and its codomain, injectivity is a property of the graph of the function alone; that is, whether a function
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636:, the definition of a monomorphism differs from that of an injective homomorphism. This is thus a theorem that they are equivalent for algebraic structures; see
5938:
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707:
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4680:
is a function with finite domain it is sufficient to look through the list of images of each domain element and check that no image occurs twice on the list.
6981:
6122:
5985:
1134:
4059:
1048:
5379:: for two regions where the initial function can be made injective so that one domain element can map to a single range element. That is, only one
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4822:
4790:
6091:
Earliest Uses of Some of the Words of
Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
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6791:
6237:
7449:
618:
is a function that is compatible with the operations of the structures. For all common algebraic structures, and, in particular for
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6873:
6096:
Khan
Academy â Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions
5940:
is implied by the non-emptiness of the domain. However, this statement may fail in less conventional mathematics such as
7727:
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7605:
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2060:
is one whose graph is never intersected by any horizontal line more than once. This principle is referred to as the
2027:
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6606:
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Unlike the corresponding statement that every surjective function has a right inverse, this does not require the
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2256:
349:
7665:
6280:
607:, which are functions such that each element in the codomain is an image of exactly one element in the domain.
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The circled parts of the axes represent domain and range setsâ in accordance with the standard diagrams above
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shown by solid curves (long-dash parts of initial curve are not mapped to anymore). Notice how the rule
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4600:
There are multiple other methods of proving that a function is injective. For example, in calculus if
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2601:
In other words, an injective function can be "reversed" by a left inverse, but is not necessarily
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An injective function which is a homomorphism between two algebraic structures is an
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of the two-element set in the reals cannot have a left inverse, as it would violate
4211:
is injective can be decided by only considering the graph (and not the codomain) of
7637:
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7385:
7377:
7257:
7205:
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7050:
7033:
6964:
6823:
6682:
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4994:: for two regions where the function is not injective because more than one domain
3294:
637:
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619:
611:
106:
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into a bijective (hence invertible) function, it suffices to replace its codomain
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is injective (but not surjective, as no real value maps to a negative number).
1624:
is redefined so that its domain is the non-negative real numbers [0,+â), then
286:
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81:
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6202:
4640:
is a linear transformation it is sufficient to show that the kernel of
417:
1206:{\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}
671:
6100:
3362:
6008:
Department of
Mathematics at CSU San Bernardino Reference Notes Page
6090:
6954:
6300:
6145:
670:
5856:"Section 7.3 (00V5): Injective and surjective maps of presheaves"
4828:
A non-injective surjective function (surjection, not a bijection)
6104:
4998:
can map to a single range element. That is, it is possible for
4840:
A non-injective non-surjective function (also not a bijection)
2987:
List of set identities and relations § Functions and sets
1376:
If the domain of a function has one element (that is, it is a
1120:{\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}
3975:. In particular, if, in addition, there is an injection from
579:
statement.) In other words, every element of the function's
198:
5130:
can be reduced to one or more injective functions (say)
2995:
The composition of two injective functions is injective.
5473:
Injective functions. Diagramatic interpretation in the
663:
that is not injective is sometimes called many-to-one.
3293:
In other words, injective functions are precisely the
493:
elements of its domain to distinct elements; that is,
5950:
5926:
5883:"Section 4.2 Injections, Surjections, and Bijections"
5727:
5707:
5687:
5667:
5644:
5612:
5585:
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5338:
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have the same cardinal number. (This is known as the
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3101:
3075:
3046:
3026:
3006:
2950:
2930:
2893:
2851:
2831:
2811:
2785:
2741:
2709:
2671:
2651:
2619:
2584:
2555:
2532:
2508:
2485:
2446:
2417:
2397:
2377:
2357:
2337:
2312:
2288:
2265:
2241:
2221:
2177:
2151:
2119:
2084:
2030:
2005:
1982:
1962:
1909:
1861:
1825:
1790:
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1692:
1656:
1630:
1610:
1554:
1508:
1472:
1425:
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1342:
1313:
1287:
1255:
1235:
1137:
1051:
1000:
971:
942:
898:
872:
825:
802:
782:
762:
738:
715:
695:
649:
5815:
from the original on Dec 26, 2023 – via NCERT.
4800:
non-surjective function (injection, not a bijection)
7756:
7651:
7483:
7376:
7228:
6921:
6844:
6738:
6642:
6531:
6458:
6393:
6308:
6299:
6221:
6138:
4727:. If every horizontal line intersects the curve of
127:
5976:
5932:
5890:Mathematics & Statistics - University of Maine
5736:
5713:
5693:
5673:
5653:
5630:
5594:
5568:
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5371:
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5291:
5264:
5237:
5217:
5168:
5122:
5098:Making functions injective. The previous function
5079:
5056:
5033:
5013:
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4966:
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3743:
3723:
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3333:
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3256:
3215:
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3161:
3127:
3107:
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3058:
3032:
3012:
2959:
2936:
2912:
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2817:
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2727:
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2514:
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1968:
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1776:
1723:
1679:{\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
1678:
1636:
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1119:
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957:
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884:
858:
811:
788:
768:
744:
724:
701:
655:
3169:is injective if and only if, given any functions
2880:{\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g,}
2605:, which requires that the function is bijective.
1221:For visual examples, readers are directed to the
123:
4683:A graphical approach for a real-valued function
1777:{\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }
243:
30:"Injective" redirects here. For other uses, see
4577:Therefore, it follows from the definition that
5773: â Order-preserving mathematical function
2053:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
1848:{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
1495:{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
1412:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
6116:
5944:. In constructive mathematics, the inclusion
5245:has not changed â only the domain and range.
445:
8:
5963:
5951:
5761: â Properties of mathematical functions
2549:because the composition in the other order,
1362:is always injective (and in fact bijective).
1333:to itself) is injective. In particular, the
99:
2371:. It can be defined by choosing an element
2351:with a non-empty domain has a left inverse
6942:
6537:
6305:
6123:
6109:
6101:
1160:
1159:
1074:
1073:
632:. However, in the more general context of
452:
438:
108:
40:
5970:
5969:
5949:
5925:
5726:
5706:
5686:
5666:
5643:
5611:
5584:
5558:
5520:
5485:
5444:
5424:
5404:
5384:
5364:
5343:
5337:
5316:
5304:
5283:
5277:
5256:
5250:
5230:
5206:
5193:
5181:
5160:
5147:
5135:
5103:
5069:
5049:
5026:
5006:
4979:
4958:
4952:
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4919:
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4708:
4688:
4665:
4645:
4625:
4605:
4582:
4553:
4518:
4474:
4427:
4392:
4346:
4315:
4268:
4247:
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4166:
4146:
4114:
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4070:
4043:
4023:
4000:
3980:
3953:
3933:
3901:
3876:
3856:
3836:
3807:
3783:
3756:
3736:
3704:
3672:
3658:{\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}
3602:
3579:
3559:
3539:
3507:
3473:
3450:
3399:
3393:
3370:
3346:
3314:
3269:
3228:
3196:
3174:
3142:
3120:
3100:
3074:
3045:
3025:
3005:
2949:
2929:
2913:{\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}
2898:
2892:
2856:
2850:
2830:
2810:
2784:
2740:
2708:
2670:
2650:
2618:
2583:
2554:
2531:
2507:
2484:
2451:
2445:
2416:
2396:
2376:
2356:
2336:
2311:
2287:
2264:
2240:
2220:
2176:
2150:
2118:
2083:
2046:
2045:
2038:
2037:
2029:
2007:
2006:
2004:
1981:
1961:
1908:
1881:
1860:
1841:
1840:
1833:
1832:
1824:
1789:
1770:
1769:
1743:
1715:
1691:
1672:
1671:
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1663:
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1609:
1553:
1528:
1507:
1488:
1487:
1480:
1479:
1471:
1424:
1405:
1404:
1397:
1396:
1388:
1380:), then the function is always injective.
1341:
1312:
1286:
1254:
1234:
1136:
1050:
999:
970:
941:
897:
871:
824:
801:
781:
761:
737:
714:
694:
675:An injective function, which is not also
648:
2990:
5977:{\displaystyle \{0,1\}\to \mathbb {R} }
5789:
4850:
4786:
4109:with the same number of elements, then
2613:In fact, to turn an injective function
2440:to the unique element of the pre-image
426:
373:
340:
260:
228:
219:
75:
68:
43:
5631:{\displaystyle \operatorname {im} (f)}
2078:are always injections. That is, given
1903:is not injective, since, for example,
685:Function (mathematics) § Notation
5832:"Injective, Surjective and Bijective"
1127:which is logically equivalent to the
683:Further information on notation:
247:
232:
213:
202:
187:
168:
157:
138:
112:
93:
7:
5826:
5824:
5822:
5800:, in Indian mathematical education.
4238:Proving that functions are injective
1365:If the domain of a function is the
709:be a function whose domain is a set
183:
174:
27:Function that preserves distinctness
5803:"Chapter 1:Relations and functions"
5759:Bijection, injection and surjection
4660:contains only the zero vector. If
5992:of the real line to the set {0,1}.
4060:CantorâBernsteinâSchroeder theorem
3257:{\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
1760:
1138:
1052:
25:
5218:{\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}
3948:has at least as many elements as
2609:Injections may be made invertible
1548:injective, because (for example)
7842:
6002:Williams, Peter (Aug 21, 1996).
5466:
5169:{\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}
5091:
4860:Not an injective function. Here
4853:
4833:
4821:
4805:
4789:
2578:may differ from the identity on
638:Homomorphism § Monomorphism
153:
144:
4816:surjective function (bijection)
3928:is an injective function, then
3438:{\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}
70:History of the function concept
6004:"Proving Functions One-to-One"
5966:
5625:
5619:
5537:
5531:
5496:
5199:
5153:
5114:
4743:
4737:
4453:
4447:
4438:
4432:
4403:
4357:
4351:
4294:
4288:
4279:
4273:
4125:
3912:
3818:
3812:
3683:
3649:
3643:
3634:
3628:
3619:
3607:
3518:
3484:
3478:
3423:
3420:
3414:
3408:
3325:
3207:
3153:
2766:
2760:
2751:
2745:
2719:
2687:
2681:
2629:
2466:
2460:
2427:
2421:
2196:
2193:
2187:
2181:
2129:
2094:
2042:
1934:
1928:
1919:
1913:
1871:
1865:
1837:
1809:{\displaystyle x\mapsto \ln x}
1794:
1766:
1763:
1751:
1705:
1699:
1668:
1588:
1579:
1564:
1558:
1518:
1512:
1484:
1435:
1429:
1401:
1346:
1291:
1197:
1191:
1182:
1176:
1170:
1102:
1099:
1093:
1084:
1078:
1025:
1019:
1010:
1004:
923:
917:
908:
902:
850:
844:
835:
829:
1:
7803:History of mathematical logic
6031:The Elements of Real Analysis
4161:is surjective (in which case
3774:This decomposition is unique
2017:{\displaystyle \mathbb {R} ,}
1724:{\displaystyle \exp(x)=e^{x}}
1597:{\displaystyle g(1)=1=g(-1).}
1271:{\displaystyle S\subseteq X,}
1031:{\displaystyle f(a)\neq f(b)}
7874:Basic concepts in set theory
7728:Primitive recursive function
5779: â Mathematical concept
5767: â Type of metric space
4776:is injective or one-to-one.
4141:is injective if and only if
3851:as a subset of the codomain
2331:Conversely, every injection
2235:is injective. In this case,
1946:{\displaystyle g(0)=g(1)=0.}
1896:{\displaystyle g(x)=x^{n}-x}
1222:
5701:maps to exactly one unique
4756:in at most one point, then
2479:(if it is non-empty) or to
2024:then an injective function
1369:, then the function is the
7895:
6792:SchröderâBernstein theorem
6519:Monadic predicate calculus
6178:Foundations of mathematics
6033:(2nd ed.), New York:
6029:Bartle, Robert G. (1976),
4462:{\displaystyle f(x)=f(y).}
4303:{\displaystyle f(x)=f(y),}
3724:{\displaystyle h=f\circ g}
3465:can be recovered from its
2984:
2969:More generally, injective
1537:{\displaystyle g(x)=x^{2}}
859:{\displaystyle f(a)=f(b),}
682:
599:must not be confused with
428:List of specific functions
29:
7838:
7825:Philosophy of mathematics
7774:Automated theorem proving
6945:
6899:Von NeumannâBernaysâGödel
6540:
5508:{\displaystyle f:X\to Y,}
4506:{\displaystyle 2x+3=2y+3}
4415:{\displaystyle f:X\to Y.}
4378:{\displaystyle f(x)=2x+3}
3798:may be thought of as the
3731:for a suitable injection
2772:{\displaystyle g(x)=f(x)}
2571:{\displaystyle f\circ g,}
2208:{\displaystyle g(f(x))=x}
2106:{\displaystyle f:X\to Y,}
1456:{\displaystyle f(x)=2x+1}
1307:(which sends any element
929:{\displaystyle f(a)=f(b)}
601:one-to-one correspondence
5942:constructive mathematics
5123:{\displaystyle f:X\to Y}
4242:A proof that a function
4134:{\displaystyle f:X\to Y}
3921:{\displaystyle f:X\to Y}
3692:{\displaystyle h:W\to Y}
3527:{\displaystyle f:X\to Y}
3334:{\displaystyle f:X\to Y}
3216:{\displaystyle h:W\to X}
3162:{\displaystyle f:X\to Y}
3088:{\displaystyle g\circ f}
3059:{\displaystyle f\circ g}
3040:are both injective then
2728:{\displaystyle g:X\to J}
2638:{\displaystyle f:X\to Y}
2138:{\displaystyle g:Y\to X}
2070:Injections can be undone
987:{\displaystyle a\neq b,}
7475:Self-verifying theories
7296:Tarski's axiomatization
6247:Tarski's undefinability
6242:incompleteness theorems
5546:{\displaystyle y=f(x),}
5325:{\displaystyle X,Y_{1}}
4940:{\displaystyle X,Y_{1}}
2696:{\displaystyle J=f(X).}
2113:if there is a function
18:Injection (mathematics)
7869:Functions and mappings
7849:Mathematics portal
7460:Proof of impossibility
7108:propositional variable
6418:Propositional calculus
6065:, New York: Springer,
5978:
5934:
5920:, as the existence of
5765:Injective metric space
5738:
5715:
5695:
5675:
5655:
5632:
5596:
5570:
5547:
5509:
5456:
5433:
5413:
5393:
5373:
5353:
5326:
5293:
5266:
5239:
5219:
5170:
5124:
5081:
5058:
5035:
5015:
4988:
4968:
4941:
4908:
4881:
4770:
4750:
4717:
4697:
4674:
4654:
4634:
4614:
4591:
4571:
4542:
4541:{\displaystyle 2x=2y,}
4507:
4463:
4416:
4379:
4333:
4304:
4256:
4228:
4205:
4175:
4155:
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534:. (Equivalently,
462:
461:
374:Generalizations
16:(Redirected from
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7847:
7846:
7798:History of logic
7793:Category of sets
7686:Decision problem
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