4447:
3320:
4442:{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}}
3170:
2599:
3165:{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}}
2014:
1450:
1700:
4589:
has a rigid set then it can often be realized as a Galois group over a cyclotomic extension of the rationals. (More precisely, over the cyclotomic extension of the rationals generated by the values of the irreducible characters of
1828:
2458:
3294:
3325:
2604:
2573:
1885:
4865:
2093:
1833:
whose second factor is irreducible (but not by
Eisenstein's criterion). Only the reciprocal polynomial is irreducible by Eisenstein's criterion. We have now shown that the group
1578:
497:
4915:
4770:
2306:
2281:
1246:
1011:
896:
861:
818:
691:
609:
574:
539:
443:
408:
379:
339:
295:
257:
219:
128:
91:
653:
1290:
1601:
5286:
1722:
42:
193:
5216:
4459:
Again, Hilbert's irreducibility theorem implies the existence of infinitely many specializations whose Galois groups are alternating groups.
2333:
767:
3193:
2233:
2227:
508:
456:
Much detailed work has been carried out on the question, which is in no sense solved in general. Some of this is based on constructing
5191:
5176:
5150:
4943:
866:
4963:
5261:"Inverse Galois Problem PCMI 2021 Graduate Summer School Program - Number Theory Informed by Computation - July 26-30, 2021"
5260:
2009:{\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}
2493:
4828:
899:
2025:
4610:, are Galois groups of extensions of the rationals. The monster group is generated by a triad of elements of orders
222:
4646:-cycle. The construction in the preceding section used these generators to establish a polynomial's Galois group.
4703:
1527:
446:
226:
4870:
Use of
Hilbert's irreducibility theorem gives an infinite (and dense) set of rational numbers specializing
876:, since every such group appears in fact as a quotient of the Galois group of some cyclotomic extension of
5281:
1531:
420:
2476:
2472:
1552:
1166:
471:
304:
139:
131:
105:
4898:
4753:
2289:
2264:
1229:
994:
879:
844:
801:
674:
592:
557:
522:
426:
391:
362:
322:
278:
240:
202:
111:
74:
1445:{\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}
346:
101:
5200:
5212:
5172:
5146:
5138:
1858:
1260:
500:
167:
97:
5230:
5156:
5110:
5094:
5082:
668:
350:
230:
65:
32:
5226:
5124:
1695:{\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}
138:. There also are groups known not to have generic polynomials, such as the cyclic group of
5234:
5222:
5160:
5120:
4484:
825:
465:
461:
450:
69:
36:
4974:
260:
234:
197:
5275:
5115:
4684:
4666:
4607:
1256:
873:
708:
547:
300:
264:
49:
635:
612:
550:
61:
57:
28:
24:
5264:
192:
Many cases are known. It is known that every finite group is realizable over any
4707:
2199:
2188:
1264:
1823:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}
5242:
5069:
MacBeath, A. M. (1969). "Extensions of the
Rationals with Galois Group PGL(2,Z
2236:
then implies that an infinite set of rational numbers give specializations of
586:
1864:
We can then find that this Galois group has a transposition. Use the scaling
5042:
4564:
518:
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over
5086:
4683:. The latter lattice is one of a finite set of sublattices permuted by the
749:
5247:
Generic
Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
4606:
This can be used to show that many finite simple groups, including the
739:
628:
15:
2453:{\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}
1263:
groups are represented as Galois groups of polynomials with rational
3289:{\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}}
585:
It is possible, using classical results, to construct explicitly a
553:
smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over
134:
as Galois group. These groups include all of degree no greater than
93:. This problem, first posed in the early 19th century, is unsolved.
221:, and more generally over function fields in one variable over any
5145:. Research Notes in Mathematics. Vol. 1. Jones and Bartlett.
5097:(1984), "Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μ
2471:
Solutions for alternating groups must be handled differently for
449:
set. This criterion can for example be used to show that all the
5024:
468:: in algebraic terms, starting with an extension of the field
4571:
acts transitively on it by conjugation, and each element of
4964:"Mathematical Sciences Research Institute Publications 45"
5134:, Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0521065030 .
898:. (This statement should not though be confused with the
5192:
Safarevic's
Theorem on Solvable Groups as Galois Groups
4314:
4126:
4050:
3863:
3776:
3577:
3229:
3031:
2855:
2523:
2230:
containing a transposition is a full symmetric group.
1727:
1660:
1634:
1619:
4901:
4831:
4786:
On the conjugate lattices, the modular group acts as
4756:
3323:
3196:
2602:
2496:
2336:
2292:
2267:
2028:
1888:
1725:
1604:
1555:
1293:
1232:
997:
882:
847:
804:
677:
595:
560:
525:
474:
429:
394:
365:
325:
281:
243:
205:
114:
77:
4737:over the conjugate sublattices. As a polynomial in
2568:{\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}
4909:
4859:
4764:
4625:The prototype for rigidity is the symmetric group
4441:
3288:
3164:
2567:
2452:
2300:
2275:
2087:
2008:
1822:
1694:
1572:
1444:
1240:
1005:
940:is cyclic of order six. Let us take the generator
890:
855:
812:
685:
603:
568:
533:
491:
437:
402:
373:
333:
289:
251:
213:
122:
85:
4860:{\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}
2285:In fact this set of rational numbers is dense in
1753:
1676:
1438:
1335:
515:, in such a way as to preserve the Galois group.
4650:A construction with an elliptic modular function
2088:{\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}
872:This method can be extended to cover all finite
4638:-cycle and a transposition whose product is an
906:Worked example: the cyclic group of order three
543:the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be.
4999:The imbedding problem for splitting extensions
820:. By taking appropriate sums of conjugates of
156:a field. If there is a Galois extension field
5209:Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
4934:include infinitely many non-solvable groups.
2463:and this is not in general a perfect square.
8:
5203:; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000),
3299:Under this substitution the discriminant of
2578:Under this substitution the discriminant of
770:implies that the corresponding fixed field,
5075:Bulletin of the London Mathematical Society
4750:has coefficients that are polynomials over
5211:, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag,
303:showed that this question is related to a
5114:
4903:
4902:
4900:
4840:
4833:
4832:
4830:
4758:
4757:
4755:
4694:, which is based on changes of basis for
4429:
4419:
4409:
4387:
4362:
4313:
4280:
4264:
4242:
4210:
4174:
4125:
4098:
4049:
4033:
4017:
4001:
3979:
3947:
3911:
3862:
3824:
3775:
3748:
3732:
3716:
3694:
3662:
3625:
3576:
3551:
3528:
3512:
3490:
3458:
3411:
3395:
3373:
3341:
3324:
3322:
3277:
3228:
3203:
3195:
3152:
3136:
3120:
3092:
3067:
3030:
3000:
2984:
2962:
2930:
2891:
2854:
2807:
2791:
2769:
2737:
2690:
2674:
2652:
2620:
2603:
2601:
2559:
2522:
2495:
2420:
2404:
2382:
2350:
2335:
2294:
2293:
2291:
2269:
2268:
2266:
2074:
2057:
2035:
2027:
1995:
1973:
1937:
1915:
1893:
1887:
1803:
1781:
1726:
1724:
1659:
1633:
1618:
1609:
1603:
1557:
1556:
1554:
1427:
1411:
1383:
1355:
1345:
1307:
1292:
1234:
1233:
1231:
999:
998:
996:
884:
883:
881:
849:
848:
846:
806:
805:
803:
679:
678:
676:
597:
596:
594:
562:
561:
559:
527:
526:
524:
476:
475:
473:
431:
430:
428:
396:
395:
393:
367:
366:
364:
327:
326:
324:
283:
282:
280:
245:
244:
242:
207:
206:
204:
116:
115:
113:
79:
78:
76:
5132:Groups as Galois Groups, an Introduction
4582:
4955:
43:(more unsolved problems in mathematics)
5241:Christian U. Jensen, Arne Ledet, and
5186:, 2nd edition, Springer-Verlag, 2018.
991:, and only has three conjugates over
964:} of order two. Consider the element
259:. It is also known that every simple
7:
5055:Malle and Matzat (1999), pp. 403-424
1216:which consequently has Galois group
954:. We are interested in the subgroup
902:, which lies significantly deeper.)
768:fundamental theorem of Galois theory
5249:, Cambridge University Press, 2002.
2228:doubly transitive permutation group
4841:
4719:as the product of the differences
14:
5189:Alexander Schmidt, Kay Wingberg,
4944:Semiabelian group (Galois theory)
4879:to polynomials with Galois group
4622:. All such triads are conjugate.
1488:Substituting a prime integer for
5287:Unsolved problems in mathematics
2234:Hilbert's irreducibility theorem
1252:Symmetric and alternating groups
824:, following the construction of
748:, the Galois group has a cyclic
509:Hilbert's irreducibility theorem
5182:Gunter Malle, Heinrich Matzat,
5167:Gunter Malle, Heinrich Matzat,
4810:has Galois group isomorphic to
4452:which is a perfect square when
3175:which is a perfect square when
1573:{\displaystyle \mathbb {Q} (s)}
581:A simple example: cyclic groups
492:{\displaystyle \mathbb {Q} (t)}
18:Unsolved problem in mathematics
4854:
4851:
4845:
4837:
4585:showed that if a finite group
4406:
4393:
4355:
4343:
4332:
4320:
4310:
4300:
4261:
4248:
4228:
4216:
4207:
4197:
4167:
4155:
4144:
4132:
4122:
4112:
4091:
4079:
4068:
4056:
4046:
4036:
3998:
3985:
3965:
3953:
3944:
3934:
3904:
3892:
3881:
3869:
3859:
3849:
3817:
3805:
3794:
3782:
3772:
3762:
3713:
3700:
3680:
3668:
3659:
3649:
3618:
3606:
3595:
3583:
3573:
3563:
3509:
3496:
3476:
3464:
3455:
3445:
3435:
3423:
3392:
3379:
3359:
3347:
3338:
3328:
3270:
3258:
3247:
3235:
3225:
3215:
3117:
3104:
3049:
3037:
3027:
3017:
2981:
2968:
2948:
2936:
2927:
2917:
2873:
2861:
2851:
2841:
2788:
2775:
2755:
2743:
2734:
2724:
2714:
2702:
2671:
2658:
2638:
2626:
2617:
2607:
2541:
2529:
2519:
2509:
2444:
2432:
2401:
2388:
2368:
2356:
2347:
2337:
2054:
2041:
1750:
1738:
1689:
1677:
1567:
1561:
1408:
1395:
1380:
1370:
1325:
1313:
1304:
1294:
1259:showed that all symmetric and
486:
480:
56:concerns whether or not every
1:
1507:gives a polynomial (called a
152:be a given finite group, and
5116:10.1016/0021-8693(84)90228-X
4910:{\displaystyle \mathbb {Q} }
4765:{\displaystyle \mathbb {Q} }
2301:{\displaystyle \mathbb {Q} }
2276:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1241:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1006:{\displaystyle \mathbb {Q} }
891:{\displaystyle \mathbb {Q} }
856:{\displaystyle \mathbb {Q} }
813:{\displaystyle \mathbb {Q} }
686:{\displaystyle \mathbb {Q} }
604:{\displaystyle \mathbb {Q} }
569:{\displaystyle \mathbb {Q} }
534:{\displaystyle \mathbb {Q} }
438:{\displaystyle \mathbb {Q} }
403:{\displaystyle \mathbb {Q} }
374:{\displaystyle \mathbb {Q} }
334:{\displaystyle \mathbb {Q} }
290:{\displaystyle \mathbb {Q} }
252:{\displaystyle \mathbb {Q} }
214:{\displaystyle \mathbb {C} }
123:{\displaystyle \mathbb {Q} }
104:are known, which define all
86:{\displaystyle \mathbb {Q} }
5205:Cohomology of Number Fields
5014:p. 5 of Jensen et al., 2002
4634:, which is generated by an
5303:
4661:be any integer. A lattice
944:of this group which sends
828:, one can find an element
507:. After that, one applies
223:algebraically closed field
5171:, Springer-Verlag, 1999,
4704:elliptic modular function
4594:on the conjugacy classes
2202:, and a transposition in
2134:which can be arranged to
1549:must be irreducible over
1455:We take the special case
447:algebraically independent
233:showed that every finite
196:in one variable over the
5001:, Dokl. Akad. Nauk SSSR
4710:. Define the polynomial
2260:over the rational field
2251:whose Galois groups are
589:whose Galois group over
5143:Topics in Galois Theory
2226:is implied. Any finite
900:Kronecker–Weber theorem
634:. To do this, choose a
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