2842:
2272:
2837:{\displaystyle {\begin{aligned}\beta \left({\frac {m}{n}}\right)&=\beta \left({\frac {1}{n}}\cdot m\right)=\beta \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \beta (m)\\&=\beta \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \gamma (m)=\beta \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \gamma \left(mn\cdot {\frac {1}{n}}\right)\\&=\beta \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \gamma (mn)\cdot \gamma \left({\frac {1}{n}}\right)=\beta \left({\frac {1}{n}}\right)\cdot \beta (mn)\cdot \gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\\&=\beta \left({\frac {1}{n}}\cdot mn\right)\cdot \gamma \left({\frac {1}{n}}\right)=\beta (m)\cdot \gamma \left({\frac {1}{n}}\right)=\gamma (m)\cdot \gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\\&=\gamma \left(m\cdot {\frac {1}{n}}\right)=\gamma \left({\frac {m}{n}}\right),\end{aligned}}}
282:
635:
306:
1576:
2230:
630:{\displaystyle {\begin{aligned}d&=x_{1}u_{1},&u_{1}&=v_{1}y_{1}\\x_{i-1}v_{i-1}&=x_{i}u_{i},&u_{i}y_{i-1}&=v_{i}y_{i}\;(i=2,\dots ,m)\\x_{m}v_{m}&=u_{m+1},&u_{m+1}y_{m}&=d\end{aligned}}}
1927:
954:
727:
1972:
811:
238:
2277:
311:
3316:
First
International Tainan-Moscow Algebra Workshop: Proceedings of the International Conference held at National Cheng Kung University Tainan, Taiwan, Republic of China, July 23–August 22, 1994
2265:
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244:, and the Zig-zag theorem gives necessary and sufficient conditions for determining whether or not a given morphism is epi. Proofs of this theorem are
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642:
1935:
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These pure algebraic proofs were based on the tensor product characterization of the dominant elements for monoid by
2235:
4205:
1571:{\displaystyle d=x_{1}u_{1}=x_{1}v_{1}y_{1}=x_{2}u_{2}y_{1}=x_{2}v_{2}y_{2}=\cdots =x_{m}v_{m}y_{m}=u_{m+1}y_{m}}
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2041:
60:
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Ahanger, Shabir Ahmad; Shah, Aftab
Hussain (2020). "Epimorphisms, dominions and varieties of bands".
3742:
2015:
1722:
4146:
2005:
A proof sketch for example of non-surjective epimorphism in the category of rings by using zig-zag
1977:
1929:
is an epimorphism in the category of all rings and ring homomorphisms by proving that any pair of
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Mohammad (2020). "Epimorphisms, dominions and
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2225:{\displaystyle \beta \left({\frac {m}{n}}\right)=\gamma \left({\frac {m}{n}}\right)}
26:
characterizing the notion of a dominion, was introduced by
American mathematician
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3833:"On saturated permutative varieties and consequences of permutation identities"
3815:
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3188:"The determination of all varieties consisting of absolutely closed semigroups"
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Example of non-surjective epimorphism in the category of rings: The inclusion
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260:, completing Isbell's original proof. The pure algebraic proofs were given by
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1922:{\displaystyle i:(\mathbb {Z} ,\cdot )\hookrightarrow (\mathbb {Q} ,\cdot )}
35:
3656:
3640:"On Free Products of Semigroups and a New Proof of Isbell's Zigzag Theorem"
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4071:
Campercholi, Miguel (2018). "Dominions and
Primitive Positive Functions".
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3630:
3511:
Howie, John M. (1996). "Isbell's zigzag theorem and its consequences".
3363:
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Higgins, Peter M. (2016). "Ramsey's theorem in algebraic semigroup".
294:
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Higgins, Peter M. (1985). "Epimorphisms, dominions and semigroups".
3883:
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3777:
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Stenström, Bo (1971). "Flatness and localization over monoids".
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be a submonoid of a monoid (or a subsemigroup of a semigroup)
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1967:{\displaystyle \beta ,\gamma :\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }
3551:
Isbell, John R. (1969). "Epimorphisms and
Dominions. IV".
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1587:
For monoids, this theorem can be written more concisely:
3837:
Journal of the
Australian Mathematical Society, Series A
3899:
Isbell, J. R. (1973). "Epimorphisms and dominions, V".
3425:
Isbell, John R. (1966). "Epimorphisms and
Dominions".
242:
examples of categories with non-surjective epimorphism
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Proceedings of the
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1362:that is, there is a sequence of factorizations of
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3609:Transactions of the American Mathematical Society
3396:Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society
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3688:"An algebraic proof of Isbell' s zigzag theorem"
3219:Proceedings of the American Mathematical Society
3192:Proceedings of the American Mathematical Society
3574:Journal of the Australian Mathematical Society
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3035:
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4036:Howie, John M. (1995). "Semigroup amalgams".
3392:"Epis are onto for finite regular semigroups"
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3496:. L.M.S. Monographs; 7. Academic Press.
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38:, within the study of the properties of
4125:
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2963:
2945:
2925:
2877:
2003:
265:
16:Theorem of dominion in abstract algebra
4159:
3319:. Walter de Gruyter GmbH & Co KG.
2885:
1244:{\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=S}}}
1190:{\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=U}}}
257:
249:
130:{\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=S}}}
3963:"A proof of Isbell's zig-zag theorem"
3514:Semigroup Theory and its Applications
3085:
2905:
1709:{\displaystyle d\otimes 1=1\otimes d}
261:
7:
3570:"A Proof of Isbell's Zigzag Theorem"
3333:from the original on August 13, 2023
3010:
2135:{\displaystyle \beta (m)=\gamma (m)}
1852:from a finite commutative semigroup
1845:{\displaystyle \alpha \colon S\to T}
1810:{\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}
1013:{\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}
162:{\displaystyle \alpha \colon S\to T}
3494:An introduction to semigroup theory
2065:{\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }
297:(or a subsemigroup of a semigroup)
3390:Hall, T. E.; Jones, P. R. (1983).
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2163:{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
1046:such that, for all homomorphisms
83:is an epimorphism if and only if
4178:"WHAT IS... THE ZIGZAG THEOREM?"
4038:Fundamentals of Semigroup Theory
3467:"Epimorphisms and dominions. II"
3465:Howie, J.M; Isbell, J.R (1967).
813:, is called a zig-zag of length
241:
4158:Some results were corrected in
3872:American Journal of Mathematics
3718:from the original on 2022-07-17
3539:from the original on 2023-08-05
3453:from the original on 2023-07-26
3378:from the original on 2023-08-11
3274:from the original on 2023-07-29
3174:from the original on 2022-11-30
301:, then a system of equalities;
4019:Techniques of Semigroup Theory
3756:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
3292:Pacific Journal of Mathematics
2737:
2731:
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2038:to be ring homomorphisms, and
2031:{\displaystyle \beta ,\gamma }
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1745:{\displaystyle S\otimes _{U}S}
1665:
1659:
1580:This statement also holds for
1309:
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153:
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67:
1:
4073:The Journal of Symbolic Logic
1350:or there exists a zig-zag in
31:
4145:See Hoffman or Mitchell for
3980:10.1016/0021-8693(74)90141-0
3523:10.1017/CBO9780511661877.007
3484:10.1016/0021-8693(67)90010-5
3348:"Epimorphisms and dominions"
1989:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4021:. Oxford University Press.
3437:10.1007/978-3-642-99902-4_9
3250:"Epimorphisms and amalgams"
1266:is a submonoid of a monoid
1020:is the set of all elements
4227:
4017:Higgins, Peter M. (1992).
3816:10.1007/s00233-019-10047-8
3787:10.1007/s00233-019-10050-z
3763:-commutative semigroups".
3286:Higgins, Peter M. (1990).
3248:Higgins, Peter M. (1988).
3213:Higgins, Peter M. (1986).
1077:{\displaystyle f,g:S\to T}
248:in nature, beginning with
3850:10.1017/S1446788700023041
3667:Mathematische Nachrichten
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