1322:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications.
634:
840:
139:
977:
1206:
456:
1082:
244:
1241:. The warning in Abramowitz and Stegun, "There is a bewildering variety of notations...in consulting books caution should be exercised," may be viewed as an understatement. In any expression, an occurrence of
467:
286:
668:
1239:
1297:
1268:
684:
325:
26:
846:
1088:
340:
983:
150:
1327:
678:, but other definitions cannot. Whittaker and Watson, Abramowitz and Stegun, and Gradshteyn and Ryzhik all follow Tannery and Molk, in which
1390:
1361:
1369:
1441:
1416:
1270:
should not be assumed to have any particular definition. It is incumbent upon the author to state what definition of
1373:
1436:
1365:
629:{\displaystyle \vartheta _{1,1}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp(\pi i(2n+1)x/a)}
1377:
1317:
461:
This notation is attributed to "Hermite, H.J.S. Smith and some other mathematicians". They also define
252:
1383:
835:{\displaystyle \vartheta _{1}(z)=-i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1)iz)}
646:
331:
1217:
1273:
1244:
134:{\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}
670:
as defined in the
Knowledge (XXG) article. These definitions can be made at least proportional by
291:
1396:
1386:
1349:
1333:
1323:
1309:
1345:
972:{\displaystyle \vartheta _{2}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\exp((2n+1)iz)}
1407:
1341:
1201:{\displaystyle \vartheta _{4}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\exp(2niz)}
451:{\displaystyle \vartheta _{0,0}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp(2\pi inx/a)}
17:
1430:
1411:
1313:
1211:
Note that there is no factor of π in the argument as in the previous definitions.
20:. The notations given in the Knowledge (XXG) article define the original function
1319:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
1077:{\displaystyle \vartheta _{3}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp(2niz)}
239:{\displaystyle \vartheta _{00}(w,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}w^{2n}}
1382:. Translated by Scripta Technica, Inc. (4th corrected and enlarged ed.).
1353:
1400:
1337:
330:
However, a similar notation is defined somewhat differently in
1422:(See chapter XXI for the history of Jacobi's θ functions)
1214:
Whittaker and Watson refer to still other definitions of
1276:
1247:
1220:
1091:
986:
849:
687:
649:
470:
343:
294:
255:
153:
29:
1420:, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.
1291:
1262:
1233:
1200:
1076:
971:
834:
662:
628:
450:
319:
280:
238:
133:
16:There are a number of notational systems for the
8:
1376:(1980). "8.18.". In Jeffrey, Alan (ed.).
1275:
1246:
1225:
1219:
1166:
1161:
1151:
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1096:
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210:
200:
186:
158:
152:
101:
76:
62:
34:
28:
1379:Table of Integrals, Series, and Products
7:
1316:, eds. (1983) . "Chapter 16.27ff.".
1133:
1128:
1028:
1023:
891:
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735:
730:
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513:
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386:
201:
196:
77:
72:
14:
281:{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}
1362:Gradshteyn, Izrail Solomonovich
663:{\displaystyle \vartheta _{11}}
1286:
1280:
1257:
1251:
1234:{\displaystyle \vartheta _{j}}
1195:
1180:
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360:
176:
164:
128:
88:
52:
40:
1:
1370:Geronimus, Yuri Veniaminovich
1292:{\displaystyle \vartheta (z)}
1263:{\displaystyle \vartheta (z)}
320:{\displaystyle w=e^{\pi iz}}
1417:A Course in Modern Analysis
1374:Tseytlin, Michail Yulyevich
643:off from the definition of
1458:
1366:Ryzhik, Iosif Moiseevich
144:which is equivalent to
1293:
1264:
1235:
1202:
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1078:
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18:Jacobi theta functions
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1265:
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1009:
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372:
322:
283:
241:
182:
136:
58:
1384:Academic Press, Inc.
1274:
1245:
1218:
1089:
984:
847:
685:
647:
639:This is a factor of
468:
341:
332:Whittaker and Watson
292:
253:
151:
27:
1442:Elliptic functions
1310:Abramowitz, Milton
1289:
1260:
1231:
1198:
1074:
969:
832:
660:
626:
448:
317:
278:
236:
131:
1329:978-0-486-61272-0
1314:Stegun, Irene Ann
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1404:
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1437:Theta functions
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1408:E. T. Whittaker
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334:, p. 487:
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