7617:
4990:
74:
22:
6817:
7350:
8104:
194:
style (SPA) attacks; it is possible, indeed, to use the general addition formula also for doubling a point on an elliptic curve of this form: in this way the two operations become indistinguishable from some side-channel information. The Jacobi curve also offers faster arithmetic compared to the
6273:
6509:
7612:{\displaystyle Y_{3}=\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}\right)\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {17}}-2\cdot 0\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\right)+2\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1^{2}\cdot 2^{2}\right)=5{\sqrt {34}}+20}
8335:
There are other systems of coordinates that can be used to represent a point in a Jacobi quartic: they are used to obtain fast computations in certain cases. For more information about the time-cost required in the operations with these coordinates see
7914:
2511:
Using these formulas 8 multiplications are needed to double a point. However, there are even more efficient βstrategiesβ for doubling that require only 7 multiplications. In this way it is possible to triple a point with 23 multiplications; indeed
7344:
2708:
1127:
717:
4638:
4476:
4317:
971:
7908:
4774:
3271:
3138:
3840:
6975:
There are some "strategies" to reduce the operations required for adding and doubling points: the number of multiplications can be decreased to 11 plus 3 multiplications by constants (see section 3 for more details).
3982:
3695:
1324:
5994:
6000:
2506:
2370:
2234:
5309:
7803:
5568:
7712:
4977:
Sometimes these coordinates are used, because they are more convenient (in terms of time-cost) in some specific situations. For more information about the operations based on the use of these coordinates see
3011:
8196:
1873:
1756:
1642:
6914:
3377:
839:
3454:
1973:
6812:{\displaystyle Y_{3}=\left(Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}+eX_{1}^{2}X_{2}^{2}\right)\left(Y_{1}Y_{2}-2aX_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2}\right)\ +\ 2eX_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2}\left(X_{1}^{2}Z_{2}^{2}+Z_{1}^{2}X_{2}^{2}\right)}
6503:
5469:
3553:
2098:
1399:
2833:
2772:
8260:
7226:
7171:
5663:
5056:
8408:
8099:{\displaystyle Y_{3}=\left(1+1\cdot 1\right)\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}-2\cdot 0\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\right)+2\cdot 1\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1^{2}\cdot 1^{2}\right)=8}
7113:
5169:
5868:
5809:
5750:
4665:
There is another kind of coordinate system with which a point in the Jacobi intersection can be represented. Given the following elliptic curve in the Jacobi intersection form:
9103:
8627:
5354:
7255:
4972:
4936:
9197:
8733:
9064:
9027:
8900:
8863:
8588:
8551:
2579:
998:
8990:
8826:
8514:
542:
9209:
9155:
8952:
8788:
8691:
8476:
4900:
4865:
4830:
4482:
4323:
4164:
6987:: the elliptic curve in the Jacobi form can be modified in order to have a smaller number of operations for adding and doubling. So, for example, if the constant
6964:
The number of multiplications required to add two points is 13 plus 3 multiplications by constants: in particular there are two multiplications by the constant
854:
7829:
4671:
3144:
3017:
3701:
6268:{\displaystyle y_{3}={\frac {((1+e(x_{1}x_{2})^{2})(y_{1}y_{2}+2ax_{1}x_{2})+2ex_{1}x_{2}({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}))}{(1-e(x_{1}x_{2})^{2})^{2}}}}
3846:
3559:
1171:
5876:
273:. Note that the identity element of the group operation is not a point on the affine plane, it only appears in the projective coordinates: then
1138:
2376:
2240:
2104:
9338:
9307:
5175:
9387:
7724:
5480:
7623:
2897:
8110:
1762:
1648:
1534:
36:
32:
157:
6823:
3277:
739:
91:
3385:
1879:
138:
95:
6415:
110:
5380:
9318:
298:
117:
3479:
84:
48:
2030:
529:
1330:
124:
9382:
9325:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2162. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001. pp. 391β401.
2777:
2716:
8207:
7176:
9294:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2643. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003. pp. 34β42.
7121:
9392:
5600:
4999:
8348:
7056:
6278:
As in the Jacobi intersections, also in this case it is possible to use this formula for doubling as well.
5115:
106:
845:
5814:
5755:
5696:
981:
214:
Given an elliptic curve, it is possible to do some "operations" between its points: for example one can
9070:
8594:
722:
It is possible to define the Jacobi form of an elliptic curve as the intersection of two quadrics. Let
5315:
9290:
Olivier Billet, Marc Joye (2003). "The Jacobi Model of an
Elliptic Curve and Side-Channel Analysis".
7339:{\displaystyle X_{3}=1\cdot 1\cdot {\sqrt {17}}+{\sqrt {2}}\cdot 2\cdot 1={\sqrt {17}}+2{\sqrt {2}}}
4691:
2599:
1018:
871:
2854:
309:
270:
9344:
4979:
4942:
4906:
2703:{\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin{cases}X^{2}+Y^{2}-T^{2}=0\\4X^{2}+Z^{2}-T^{2}=0\end{cases}}}
1122:{\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin{cases}X^{2}+Y^{2}-T^{2}=0\\kX^{2}+Z^{2}-T^{2}=0\end{cases}}}
9161:
8697:
712:{\displaystyle Q:\{Q_{1}(X_{0},X_{1},X_{2},X_{3})=0\}\cap \{Q_{2}(X_{0},X_{1},X_{2},X_{3})=0\}}
9334:
9303:
9033:
8996:
8869:
8832:
8557:
8520:
5073:
4633:{\displaystyle z_{3}={\frac {z_{1}z_{2}-ax_{1}y_{1}x_{2}y_{2}}{(y_{2}^{2}+(z_{1}x_{2})^{2})}}}
1504:
1152:
730:
4471:{\displaystyle y_{3}={\frac {y_{2}y_{1}-z_{1}x_{2}x_{1}z_{2}}{(y_{2}^{2}+(z_{1}x_{2})^{2})}}}
4312:{\displaystyle x_{3}={\frac {y_{2}x_{1}z_{2}+z_{1}x_{2}y_{1}}{(y_{2}^{2}+(z_{1}x_{2})^{2})}}}
9326:
9295:
8958:
8794:
8482:
4049:
1414:
518:
278:
131:
9126:
8923:
8759:
8662:
8447:
4871:
4836:
4801:
1996:
are operations that both require 16 multiplications plus one multiplication by a constant (
382:, then it has order 2; more generally the points of order 2 correspond to the roots of the
966:{\displaystyle \mathbf {S} :{\begin{cases}X^{2}-TZ=0\\Y^{2}-aXZ-bZ^{2}-TX=0\end{cases}}}
316:
282:
215:
191:
183:
179:
8337:
7903:{\displaystyle X_{3}=1\cdot 1\cdot {\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot 1\cdot 1=2{\sqrt {2}}}
9376:
4769:{\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\kx^{2}+z^{2}=1\end{cases}}}
9348:
187:
171:
73:
9367:
4989:
3266:{\displaystyle Z_{3}=T_{1}Z_{1}T_{2}Z_{2}-kX_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2}=-8{\sqrt {3}}}
383:
9330:
9208:
For more information about the running-time required in a specific case, see
3459:
With the formulas given above for doubling, it is possible to find the point
3133:{\displaystyle Y_{3}=T_{1}Y_{2}Y_{1}T_{2}-Z_{1}X_{2}X_{1}Z_{2}=4{\sqrt {15}}}
9299:
3835:{\displaystyle Z_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}-(T_{1}Y_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}=-12}
9276:-I3M, (UMR CNRS 5149) and Lirmm, (UMR CNRS 5506), Universite Montpellier II
3977:{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}+(T_{1}Y_{1})^{2}-(Z_{1}Y_{1})^{2}=12}
3690:{\displaystyle Y_{3}=(T_{1}Y_{1})^{2}-(T_{1}Z_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}=12}
1319:{\displaystyle (x,y)\mapsto (X,Y,Z,T)=(-2y,x^{2}-j,x^{2}+2jx+j,x^{2}+2x+j)}
9355:
5989:{\displaystyle x_{3}={\frac {x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}}{1-e(x_{1}x_{2})^{2}}}}
5072:
in the
Weierstrass form with at least one point of order 2. The following
2863:
Using the formulas given above for adding two points, the coordinates for
6979:
The number of multiplications can be reduced by working on the constants
4994:
2853:(it is sufficient to see that these points satisfy both equations of the
2003:
It is also possible to use the following formulas for doubling the point
190:
instead of the
Weierstrass form because it can provide a defence against
2501:{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}+(T_{1}Y_{1})^{2}-(Z_{1}Y_{1})^{2}}
2365:{\displaystyle Z_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}-(T_{1}Y_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}}
2229:{\displaystyle Y_{3}=(T_{1}Y_{1})^{2}-(T_{1}Z_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}}
7003:: if it is small, not only one, but two multiplications are neglected.
5304:{\displaystyle (x,y)\neq (p,0)\mapsto (2(x-p):(2x+p)(x-p)^{2}-y^{2}:y)}
533:
7798:{\displaystyle P_{3}=({\sqrt {17}}+2{\sqrt {2}}:5{\sqrt {34}}+20:-3)}
5594:
The general form of a Jacobi quartic curve in affine coordinates is:
729:
be an elliptic curve in the
Weierstrass form, we apply the following
237:
on the elliptic curve, it is possible to "double" P, that means find
6919:
One can use this formula also for doubling, with the condition that
9321:(2001). "Preventing SPA/DPA in ECC Systems Using the Jacobi Form".
9292:
The Jacobi Model of an
Elliptic Curve and the Side-Channel Analysis
489:
In this case we have three points of order two: (0, 0), (β1, 0), (β
5563:{\displaystyle e={\frac {-(3p^{2}+4a)}{16}},\ \ d={\frac {3p}{4}}}
4988:
7707:{\displaystyle Z_{3}=1^{2}\cdot 1^{2}-1\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}=-3}
3006:{\displaystyle X_{3}=T_{1}Y_{2}X_{1}Z_{2}+Z_{1}X_{2}Y_{1}T_{2}=4}
1978:
These formulas are also valid for doubling: it sufficies to have
8191:{\displaystyle Z_{3}=1^{2}\cdot 1^{2}-1\cdot 1^{2}\cdot 1^{2}=0}
1868:{\displaystyle Z_{3}=T_{1}Z_{1}T_{2}Z_{2}-kX_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2}}
9274:
Improving the
Arithmetic of Elliptic Curves in the Jacobi Model
9261:
The Jacobi Model of an
Elliptic Curve and Side-Channel Analysis
9230:
The Jacobi Model of an
Elliptic Curve and Side-Channel Analysis
1751:{\displaystyle Y_{3}=T_{1}Y_{2}Y_{1}T_{2}-Z_{1}X_{2}X_{1}Z_{2}}
1637:{\displaystyle X_{3}=T_{1}Y_{2}X_{1}Z_{2}+Z_{1}X_{2}Y_{1}T_{2}}
297:
on an elliptic curve: this operation is considered the most in
9255:
9253:
8745:
there is no additional assumption, and they represent a point
4980:
http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jintersect-extended.html
4643:
These formulas are valid also for doubling with the condition
67:
15:
1417:
of the group is the point (0, 1, 1, 1), that is the image of
6909:{\displaystyle Z_{3}=Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}-eX_{1}^{2}X_{2}^{2}}
202:, that is given by an intersection of two surfaces, and the
9239:
9237:
4762:
2696:
1115:
959:
3372:{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Y_{2})^{2}+(Z_{1}X_{2})^{2}=16}
834:{\displaystyle \Phi :(x,y)\mapsto (X,Y,Z,T)=(x,y,1,x^{2})}
285:. Adding and doubling formulas are useful also to compute
3449:{\displaystyle P_{3}=(4,4{\sqrt {15}},-8{\sqrt {3}},16)}
9323:
Cryptographic
Hardware and Embedded Systems β CHES 2001
9245:
Preventing SPA/DPA in ECC Systems Using the Jacobi Form
6999:
can be cancelled; however the best option is to reduce
1968:{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Y_{2})^{2}+(Z_{1}X_{2})^{2}}
1137:, the elliptic curve has a double point and thus it is
269:. In this way, the points of an elliptic curve forms a
44:
9164:
9129:
9073:
9036:
8999:
8961:
8926:
8872:
8835:
8797:
8762:
8700:
8665:
8597:
8560:
8523:
8485:
8450:
8351:
8210:
8113:
7917:
7832:
7727:
7626:
7353:
7258:
7179:
7124:
7059:
6826:
6512:
6498:{\displaystyle X_{3}=X_{1}Z_{1}Y_{2}+Y_{1}X_{2}Z_{2}}
6418:
6003:
5879:
5817:
5758:
5699:
5603:
5483:
5383:
5318:
5178:
5118:
5002:
4945:
4909:
4874:
4839:
4804:
4674:
4485:
4326:
4167:
3849:
3704:
3562:
3482:
3388:
3280:
3147:
3020:
2900:
2780:
2719:
2582:
2379:
2243:
2107:
2033:
1882:
1765:
1651:
1537:
1333:
1174:
1001:
857:
742:
545:
277:= (0: 1: 0) is the "point at infinity", that is the
8338:
http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jquartic.html
5464:{\displaystyle C:\ Y^{2}=eX^{4}-2dX^{2}Z^{2}+Z^{4}}
411:to denote the elliptic curve with Weierstrass form
98:. Unsourced material may be challenged and removed.
9191:
9149:
9097:
9058:
9021:
8984:
8946:
8894:
8857:
8820:
8782:
8727:
8685:
8621:
8582:
8545:
8508:
8470:
8402:
8254:
8190:
8098:
7902:
7797:
7706:
7611:
7338:
7220:
7165:
7107:
6908:
6811:
6497:
6267:
5988:
5862:
5803:
5744:
5657:
5562:
5463:
5348:
5303:
5163:
5050:
4966:
4930:
4894:
4859:
4824:
4768:
4632:
4470:
4311:
3976:
3834:
3689:
3547:
3448:
3371:
3265:
3132:
3005:
2827:
2766:
2702:
2500:
2364:
2228:
2092:
1967:
1867:
1750:
1636:
1393:
1318:
1121:
965:
833:
711:
9210:Table of costs of operations in elliptic curves
7050:= 1 and the associated Jacobi quartic form is:
6282:Addition and doubling in projective coordinates
8331:Alternative coordinates for the Jacobi quartic
6995:is significantly small, the multiplication by
3548:{\displaystyle X_{3}=2Y_{1}T_{1}Z_{1}X_{1}=0}
980:corresponds to the following intersection of
8:
5086:to a point in the Jacobi coordinates, where
706:
632:
626:
552:
182:different from the usual one defined by the
9368:http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/index.html
7249:using the formulae for adding given above:
5689:Addition and doubling in affine coordinates
4091:Addition and doubling in affine coordinates
2093:{\displaystyle X_{3}=2Y_{1}T_{1}Z_{1}X_{1}}
1394:{\displaystyle O=(0:1:0)\mapsto (0,1,1,1)}
249:(the square brackets are used to indicate
198:The Jacobi curve can be of two types: the
9183:
9174:
9163:
9139:
9128:
9072:
9050:
9035:
9013:
8998:
8971:
8960:
8936:
8925:
8886:
8871:
8849:
8834:
8807:
8796:
8772:
8761:
8719:
8710:
8699:
8675:
8664:
8596:
8574:
8559:
8537:
8522:
8495:
8484:
8460:
8449:
8388:
8369:
8356:
8350:
8230:
8215:
8209:
8176:
8163:
8144:
8131:
8118:
8112:
8079:
8066:
8053:
8040:
7971:
7961:
7922:
7916:
7893:
7868:
7858:
7837:
7831:
7770:
7757:
7744:
7732:
7726:
7689:
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7657:
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7257:
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7178:
7147:
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6720:
6710:
6700:
6670:
6660:
6650:
6640:
6621:
6611:
6591:
6586:
6576:
6571:
6555:
6550:
6540:
6535:
6517:
6511:
6489:
6479:
6469:
6456:
6446:
6436:
6423:
6417:
6256:
6246:
6236:
6226:
6193:
6186:
6181:
6171:
6164:
6159:
6149:
6139:
6117:
6107:
6088:
6078:
6062:
6052:
6042:
6017:
6008:
6002:
5977:
5967:
5957:
5933:
5923:
5910:
5900:
5893:
5884:
5878:
5851:
5838:
5822:
5816:
5792:
5779:
5763:
5757:
5733:
5720:
5704:
5698:
5643:
5624:
5608:
5602:
5545:
5506:
5490:
5482:
5455:
5442:
5432:
5413:
5397:
5382:
5317:
5286:
5273:
5177:
5117:
5036:
5020:
5007:
5001:
4944:
4908:
4884:
4873:
4849:
4838:
4814:
4803:
4747:
4734:
4711:
4698:
4686:
4675:
4673:
4618:
4608:
4598:
4582:
4577:
4562:
4552:
4542:
4532:
4516:
4506:
4499:
4490:
4484:
4456:
4446:
4436:
4420:
4415:
4400:
4390:
4380:
4370:
4357:
4347:
4340:
4331:
4325:
4297:
4287:
4277:
4261:
4256:
4241:
4231:
4221:
4208:
4198:
4188:
4181:
4172:
4166:
3962:
3952:
3942:
3926:
3916:
3906:
3890:
3880:
3870:
3854:
3848:
3817:
3807:
3797:
3781:
3771:
3761:
3745:
3735:
3725:
3709:
3703:
3675:
3665:
3655:
3639:
3629:
3619:
3603:
3593:
3583:
3567:
3561:
3533:
3523:
3513:
3503:
3487:
3481:
3430:
3414:
3393:
3387:
3357:
3347:
3337:
3321:
3311:
3301:
3285:
3279:
3256:
3241:
3231:
3221:
3211:
3195:
3185:
3175:
3165:
3152:
3146:
3123:
3111:
3101:
3091:
3081:
3068:
3058:
3048:
3038:
3025:
3019:
2991:
2981:
2971:
2961:
2948:
2938:
2928:
2918:
2905:
2899:
2828:{\displaystyle P_{2}=(1,2,1,{\sqrt {5}})}
2815:
2785:
2779:
2767:{\displaystyle P_{1}=(1,{\sqrt {3}},0,2)}
2742:
2724:
2718:
2681:
2668:
2655:
2632:
2619:
2606:
2594:
2583:
2581:
2492:
2482:
2472:
2456:
2446:
2436:
2420:
2410:
2400:
2384:
2378:
2356:
2346:
2336:
2320:
2310:
2300:
2284:
2274:
2264:
2248:
2242:
2220:
2210:
2200:
2184:
2174:
2164:
2148:
2138:
2128:
2112:
2106:
2084:
2074:
2064:
2054:
2038:
2032:
1959:
1949:
1939:
1923:
1913:
1903:
1887:
1881:
1859:
1849:
1839:
1829:
1813:
1803:
1793:
1783:
1770:
1764:
1742:
1732:
1722:
1712:
1699:
1689:
1679:
1669:
1656:
1650:
1628:
1618:
1608:
1598:
1585:
1575:
1565:
1555:
1542:
1536:
1332:
1292:
1261:
1242:
1173:
1100:
1087:
1074:
1051:
1038:
1025:
1013:
1002:
1000:
935:
907:
878:
866:
858:
856:
822:
741:
691:
678:
665:
652:
639:
611:
598:
585:
572:
559:
544:
233:that belongs to the curve; given a point
158:Learn how and when to remove this message
8421:introduce an additional curve parameter
8255:{\displaystyle P_{4}=(2{\sqrt {2}}:8:0)}
7221:{\displaystyle P_{2}=(2:{\sqrt {17}}:1)}
5681:The neutral element of the group law of
47:by adding descriptive text and removing
9356:http://hyperelliptic.org/EFD/index.html
9221:
8640:, with the same additional assumption (
7166:{\displaystyle P_{1}=(1:{\sqrt {2}}:1)}
493:, 0). In this case we use the notation
346:. What will be of importance later are
5658:{\displaystyle y^{2}=ex^{4}+2ax^{2}+1}
5051:{\displaystyle y^{2}=x^{4}-1.9x^{2}+1}
261:times), and also find the negation of
192:simple and differential power analysis
8403:{\displaystyle y^{2}=x^{4}+2ax^{2}+1}
7108:{\displaystyle C:\ Y^{2}=X^{4}+Z^{4}}
5164:{\displaystyle (p,0)\mapsto (0:-1:1)}
2533:with a cost of 7 multiplications for
7:
8656:satisfying the following equations:
5590:Jacobi quartic in affine coordinates
5582:represents an elliptic curve in the
5065:form can be obtained from the curve
96:adding citations to reliable sources
7809:Using the same formulae, the point
7228:, it is possible to find their sum
5863:{\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3})}
5804:{\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}
5745:{\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}
5685:is the projective point (0: 1: 1).
1992:. So adding or doubling points in
743:
437:is such that the cubic polynomial
14:
9098:{\displaystyle R=2\cdot X\cdot Z}
8622:{\displaystyle R=2\cdot X\cdot Z}
7007:Example of addition and doubling
6346:, the coordinates for the point
5349:{\displaystyle O\mapsto (0:1:1)}
4676:
2584:
2557:Example of addition and doubling
1003:
859:
72:
20:
8433:= 1 and they represent a point
8342:Given an affine Jacobi quartic
513:Definition: Jacobi intersection
83:needs additional citations for
9259:Olivier Billet and Marc Joye,
8249:
8224:
7792:
7741:
7215:
7193:
7160:
7138:
6253:
6243:
6219:
6207:
6202:
6199:
6155:
6123:
6071:
6068:
6059:
6035:
6023:
6020:
5974:
5950:
5857:
5831:
5798:
5772:
5739:
5713:
5521:
5496:
5343:
5325:
5322:
5298:
5270:
5257:
5254:
5239:
5233:
5221:
5215:
5212:
5209:
5197:
5191:
5179:
5158:
5137:
5134:
5131:
5119:
4624:
4615:
4591:
4570:
4462:
4453:
4429:
4408:
4303:
4294:
4270:
4249:
3959:
3935:
3923:
3899:
3887:
3863:
3814:
3790:
3778:
3754:
3742:
3718:
3672:
3648:
3636:
3612:
3600:
3576:
3443:
3402:
3354:
3330:
3318:
3294:
2822:
2794:
2761:
2733:
2489:
2465:
2453:
2429:
2417:
2393:
2353:
2329:
2317:
2293:
2281:
2257:
2217:
2193:
2181:
2157:
2145:
2121:
1956:
1932:
1920:
1896:
1388:
1364:
1361:
1358:
1340:
1313:
1223:
1217:
1193:
1190:
1187:
1175:
828:
797:
791:
767:
764:
761:
749:
697:
645:
617:
565:
1:
5586:form, in Jacobi coordinates.
501:can be expressed in terms of
7011:Consider the elliptic curve
2835:: it is easy to verify that
449:has three distinct roots in
9388:Elliptic curve cryptography
9243:P.Y.Liardet and N.P.Smart,
4967:{\displaystyle ZT=Z\cdot T}
4931:{\displaystyle XY=X\cdot Y}
1147:is obtained by applying to
299:elliptic curve cryptography
9409:
7030:, 0) = (0, 0). Therefore,
4985:Definition: Jacobi quartic
2519:can be obtained by adding
844:We see that the following
528:can be represented as the
186:. Sometimes it is used in
178:is a representation of an
9192:{\displaystyle y=Y/Z^{2}}
8728:{\displaystyle y=Y/Z^{2}}
5370:, one obtains a curve in
404:From now on, we will use
9331:10.1007/3-540-44709-1_32
9059:{\displaystyle ZZ=Z^{2}}
9022:{\displaystyle XX=X^{2}}
8895:{\displaystyle ZZ=Z^{2}}
8858:{\displaystyle XX=X^{2}}
8648:= 1), represent a point
8583:{\displaystyle ZZ=Z^{2}}
8546:{\displaystyle XX=X^{2}}
8271:The negation of a point
6968:and one by the constant
6933:: in this way the point
6395:, are given in terms of
5693:Given two affine points
4151:), their sum is a point
4095:Given two affine points
2573:and consider the case:
293:-th multiple of a point
9300:10.1007/3-540-44828-4_5
5811:, their sum is a point
5374:of the following form:
3382:The resulting point is
210:Elliptic Curves: Basics
49:less pertinent examples
9193:
9151:
9099:
9060:
9023:
8986:
8985:{\displaystyle y=Y/ZZ}
8948:
8896:
8859:
8822:
8821:{\displaystyle y=Y/ZZ}
8784:
8729:
8687:
8623:
8584:
8547:
8510:
8509:{\displaystyle y=Y/ZZ}
8472:
8404:
8256:
8192:
8100:
7904:
7799:
7708:
7613:
7340:
7222:
7167:
7109:
6910:
6813:
6499:
6269:
5990:
5864:
5805:
5746:
5659:
5564:
5465:
5350:
5305:
5165:
5058:
5052:
4968:
4932:
4896:
4861:
4826:
4770:
4634:
4472:
4313:
3978:
3836:
3691:
3549:
3450:
3373:
3267:
3134:
3007:
2829:
2768:
2704:
2502:
2366:
2230:
2094:
1969:
1869:
1752:
1638:
1395:
1320:
1123:
967:
835:
713:
9194:
9152:
9150:{\displaystyle x=X/Z}
9100:
9061:
9024:
8987:
8949:
8947:{\displaystyle x=X/Z}
8897:
8860:
8823:
8785:
8783:{\displaystyle x=X/Z}
8730:
8688:
8686:{\displaystyle x=X/Z}
8624:
8585:
8548:
8511:
8473:
8471:{\displaystyle x=X/Z}
8405:
8257:
8193:
8101:
7905:
7800:
7709:
7614:
7341:
7223:
7168:
7110:
6911:
6814:
6500:
6270:
5991:
5865:
5806:
5747:
5660:
5565:
5466:
5351:
5306:
5166:
5061:An elliptic curve in
5053:
4992:
4969:
4933:
4897:
4895:{\displaystyle z=Z/T}
4862:
4860:{\displaystyle y=Y/T}
4827:
4825:{\displaystyle x=X/T}
4771:
4635:
4473:
4314:
3979:
3837:
3692:
3550:
3451:
3374:
3268:
3135:
3008:
2830:
2769:
2705:
2503:
2367:
2231:
2095:
1970:
1870:
1753:
1639:
1425:Addition and doubling
1421:= (0: 1: 0) under Ο.
1396:
1321:
1124:
968:
836:
714:
517:An elliptic curve in
9162:
9127:
9071:
9034:
8997:
8959:
8924:
8915:(X, XX, Y, Z, ZZ, R)
8870:
8833:
8795:
8760:
8698:
8663:
8595:
8558:
8521:
8483:
8448:
8439:(X, XX, Y, Z, ZZ, R)
8349:
8208:
8111:
7915:
7830:
7725:
7624:
7351:
7256:
7177:
7122:
7118:Choosing two points
7057:
6824:
6510:
6416:
6001:
5877:
5815:
5756:
5697:
5601:
5481:
5381:
5316:
5176:
5116:
5079:sends each point of
5000:
4993:A Jacobi quartic of
4943:
4907:
4872:
4837:
4802:
4781:extended coordinates
4672:
4661:Extended coordinates
4483:
4324:
4165:
4001:= (0, 12, β12, 12).
3847:
3702:
3560:
3480:
3386:
3278:
3145:
3018:
2898:
2778:
2717:
2713:Consider the points
2580:
2377:
2241:
2105:
2031:
1880:
1763:
1649:
1535:
1331:
1172:
1133:The "special case",
999:
855:
740:
543:
466:Legendre normal form
225:obtaining the point
184:Weierstrass equation
92:improve this article
6905:
6890:
6869:
6854:
6803:
6788:
6770:
6755:
6596:
6581:
6560:
6545:
4791:with the variables
4587:
4425:
4266:
846:system of equations
378:, 0) is a point on
265:, that means find β
200:Jacobi intersection
195:Weierstrass curve.
45:improve the article
9272:Sylvain Duquesne,
9189:
9147:
9095:
9056:
9019:
8982:
8944:
8907:XXYZZR coordinates
8892:
8855:
8818:
8780:
8725:
8683:
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