22:
1683:
2765:
3277:
1379:
1978:
369:
2944:
1502:
2557:
2241:
968:
3074:
1234:
1815:
2342:
631:
1497:
2091:
1754:
2802:
768:
3412:
2096:
773:
268:
1810:
3079:
192:
2425:
495:
1175:
3069:
1229:
1018:
2552:
1678:{\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)\to \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })}
2979:
1100:
3349:
2760:{\displaystyle F^{p+1}H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X;\mathbb {C} )\cong {\frac {\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p))}}}
540:
3020:
570:
3445:
3311:
2487:
3272:{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}(A)&=(n-p+1)\cdot {\text{deg}}(f)-{\text{deg}}(\Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{aligned}}}
1983:
2797:
2514:
2452:
1045:
1411:
1065:
699:
679:
651:
405:
260:
240:
220:
2246:
1374:{\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\bullet }\to 0}
575:
1973:{\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)}
32:
3354:
1416:
1688:
704:
410:
3479:
364:{\displaystyle J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .}
3025:
1759:
128:
90:
47:
2939:{\displaystyle \Omega =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\wedge \cdots \wedge {\hat {dZ_{j}}}\wedge \cdots \wedge dZ_{n+1}}
62:
3545:
3471:
770:
this Hodge structure can be understood completely from the
Jacobian ideal. For its graded-pieces, this is given by the map
138:
2359:
1390:
1105:
3540:
69:
3520:
2236:{\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))}
963:{\displaystyle \mathbb {C} ^{(d(n-1+p)-(n+2))}\to {\frac {F^{p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}}
1193:
76:
543:
3515:
973:
498:
58:
2519:
3525:
2949:
1070:
516:
2984:
1386:
124:
2093:
which is injective, and surjective on primitive cohomology. Also, there is the Hodge decomposition
548:
3316:
2353:
380:
195:
132:
3417:
2457:
3485:
3475:
1382:
83:
3282:
2770:
2492:
2430:
1023:
3510:
1499:. From the long exact sequence of this short exact sequence, there the induced residue map
510:
2337:{\displaystyle H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))\cong {\text{Prim}}^{p-1,q}(X)}
1396:
1050:
684:
664:
636:
390:
245:
225:
205:
3534:
3505:
2427:
is much more tractable and has an explicit description in terms of polynomials. The
626:{\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
3022:
denotes the deletion from the index, these meromorphic differential forms look like
384:
1492:{\displaystyle H^{n}(X;\mathbb {C} )=\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}
112:
21:
2086:{\displaystyle res:H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )}
633:
satisfying a list of compatibility structures. For a smooth projective variety
199:
3489:
1749:{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })}
39:
1389:. This has an associated long exact sequence in cohomology. From the
3279:
Finally, it turns out the kernel is of all polynomials of the form
1326:
763:{\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n+1},{\mathcal {O}}(d))}
3407:{\displaystyle f=\sum Z_{j}{\frac {\partial f}{\partial Z_{j}}}}
2454:
part is spanned by the meromorphic forms having poles of order
15:
1143:
743:
144:
1047:. Note the primitive cohomology classes are the classes of
1980:
Through these isomorphisms there is an induced residue map
1805:{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}
970:
which is surjective on the primitive cohomology, denoted
1231:
there is an associated short exact sequence of complexes
43:
1381:
where the middle complex is the complex of sheaves of
3420:
3357:
3319:
3285:
3077:
3028:
2987:
2952:
2805:
2773:
2560:
2522:
2495:
2460:
2433:
2362:
2249:
2099:
1986:
1818:
1762:
1691:
1505:
1419:
1399:
1237:
1196:
1108:
1073:
1053:
1026:
976:
776:
707:
687:
667:
639:
578:
551:
519:
413:
393:
271:
248:
228:
208:
141:
187:{\displaystyle {\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
3439:
3406:
3343:
3305:
3271:
3063:
3014:
2973:
2938:
2791:
2759:
2546:
2508:
2481:
2446:
2420:{\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)}
2419:
2336:
2235:
2085:
1972:
1804:
1748:
1677:
1491:
1405:
1393:there is only one interesting cohomology group of
1373:
1223:
1169:
1094:
1059:
1039:
1012:
962:
762:
693:
673:
645:
625:
564:
534:
490:{\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{(f)+J_{f}}}.}
489:
399:
363:
254:
234:
214:
186:
1170:{\displaystyle ^{n}=c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{d}}
509:In Hodge theory, there are objects called real
242:a function in the ring. The Jacobian ideal of
3064:{\displaystyle {\frac {A}{f^{n-p+1}}}\Omega }
8:
48:introducing citations to additional sources
2554:. This comes from the reduction isomorphism
1224:{\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}
513:which are the data of a real vector space
3431:
3419:
3395:
3377:
3371:
3356:
3335:
3318:
3284:
3144:
3127:
3082:
3078:
3076:
3038:
3029:
3027:
2999:
2989:
2988:
2986:
2959:
2955:
2954:
2951:
2924:
2895:
2885:
2884:
2869:
2856:
2846:
2827:
2816:
2804:
2772:
2722:
2718:
2717:
2715:
2662:
2658:
2657:
2655:
2642:
2632:
2631:
2610:
2606:
2605:
2589:
2581:
2565:
2559:
2529:
2524:
2521:
2500:
2494:
2459:
2438:
2432:
2396:
2392:
2391:
2375:
2367:
2361:
2307:
2302:
2274:
2269:
2268:
2267:
2254:
2248:
2209:
2204:
2203:
2202:
2189:
2161:
2133:
2129:
2128:
2112:
2104:
2098:
2076:
2075:
2060:
2032:
2028:
2027:
2011:
2003:
1985:
1944:
1931:
1927:
1926:
1924:
1905:
1901:
1900:
1882:
1878:
1877:
1852:
1848:
1847:
1831:
1823:
1817:
1793:
1788:
1769:
1765:
1764:
1761:
1737:
1732:
1713:
1709:
1708:
1698:
1694:
1693:
1690:
1654:
1649:
1630:
1626:
1625:
1609:
1605:
1604:
1574:
1561:
1557:
1556:
1554:
1535:
1531:
1530:
1512:
1508:
1507:
1504:
1480:
1475:
1456:
1452:
1451:
1440:
1439:
1424:
1418:
1398:
1347:
1342:
1301:
1288:
1284:
1283:
1281:
1268:
1255:
1251:
1250:
1248:
1236:
1209:
1205:
1204:
1195:
1161:
1142:
1141:
1132:
1119:
1107:
1080:
1076:
1075:
1072:
1052:
1031:
1025:
983:
978:
975:
950:
949:
934:
918:
905:
904:
889:
879:
872:
818:
808:
789:
778:
777:
775:
742:
741:
726:
722:
721:
706:
686:
666:
638:
619:
618:
612:
611:
610:
600:
599:
598:
585:
584:
583:
577:
556:
550:
526:
525:
524:
518:
475:
448:
429:
418:
417:
414:
412:
392:
344:
326:
308:
290:
276:
270:
247:
227:
207:
175:
156:
143:
142:
140:
1013:{\displaystyle {\text{Prim}}^{p,n-p}(X)}
38:Relevant discussion may be found on the
3455:
2348:Computation of de Rham cohomology group
1685:where the right hand side is equal to
653:there is a canonical Hodge structure.
7:
3461:
3459:
2547:{\displaystyle {\text{Prim}}^{n}(X)}
1102:, which is just the Lefschetz class
657:Statement for degree d hypersurfaces
681:is defined by a homogeneous degree
3388:
3380:
3152:
3058:
2974:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}
2806:
2712:
2705:
2652:
2645:
2264:
2199:
1921:
1785:
1729:
1646:
1551:
1472:
1339:
1278:
1245:
1095:{\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}
714:
337:
329:
301:
293:
14:
1812:. Also, there is an isomorphism
535:{\displaystyle H_{\mathbb {R} }}
31:relies largely or entirely on a
20:
3015:{\displaystyle {\hat {dZ_{j}}}}
3262:
3250:
3244:
3226:
3210:
3198:
3186:
3168:
3155:
3149:
3138:
3132:
3121:
3103:
3093:
3087:
3006:
2902:
2843:
2833:
2786:
2774:
2751:
2748:
2736:
2708:
2697:
2694:
2676:
2648:
2636:
2601:
2541:
2535:
2414:
2387:
2331:
2325:
2295:
2292:
2280:
2260:
2230:
2227:
2215:
2195:
2151:
2124:
2080:
2066:
2053:
2050:
2023:
1962:
1950:
1870:
1843:
1799:
1775:
1743:
1704:
1672:
1669:
1660:
1621:
1600:
1592:
1580:
1486:
1462:
1444:
1430:
1385:and the right-hand map is the
1365:
1362:
1353:
1319:
1307:
1274:
1241:
1158:
1154:
1148:
1138:
1116:
1109:
1007:
1001:
954:
940:
909:
895:
869:
864:
861:
849:
843:
825:
819:
815:
782:
757:
754:
748:
717:
465:
459:
454:
422:
375:Relation to deformation theory
181:
149:
1:
3472:American Mathematical Society
3468:Introduction to Hodge theory
1391:Lefschetz hyperplane theorem
565:{\displaystyle F^{\bullet }}
3344:{\displaystyle A'\in J_{f}}
3562:
3440:{\displaystyle f\in J_{f}}
2482:{\displaystyle \leq n-p+1}
3351:. Note the Euler identity
1756:, which is isomorphic to
407:is classified by the ring
2489:which surjects onto the
1186:Reduction to residue map
505:Relation to Hodge theory
497:This is shown using the
383:, the deformations of a
1067:which do not come from
3521:Gauss–Manin connection
3441:
3408:
3345:
3307:
3273:
3065:
3016:
2975:
2940:
2832:
2793:
2761:
2548:
2510:
2483:
2448:
2421:
2338:
2237:
2087:
1974:
1806:
1750:
1679:
1493:
1407:
1375:
1225:
1171:
1096:
1061:
1041:
1014:
964:
764:
695:
675:
647:
627:
566:
536:
491:
401:
387:given by a polynomial
365:
256:
236:
216:
188:
3442:
3409:
3346:
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3274:
3066:
3017:
2976:
2941:
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2794:
2792:{\displaystyle (n+1)}
2762:
2549:
2511:
2509:{\displaystyle F^{p}}
2484:
2449:
2447:{\displaystyle F^{p}}
2422:
2339:
2238:
2088:
1975:
1807:
1751:
1680:
1494:
1408:
1376:
1226:
1172:
1097:
1062:
1042:
1040:{\displaystyle J_{f}}
1015:
965:
765:
696:
676:
648:
628:
567:
537:
492:
402:
366:
257:
237:
217:
189:
3546:Ideals (ring theory)
3474:. pp. 199–205.
3470:. Providence, R.I.:
3466:José Bertin (2002).
3418:
3355:
3317:
3283:
3075:
3026:
2985:
2950:
2803:
2771:
2767:Using the canonical
2558:
2520:
2493:
2458:
2431:
2360:
2247:
2097:
1984:
1816:
1760:
1689:
1503:
1417:
1397:
1235:
1194:
1106:
1071:
1051:
1024:
974:
774:
705:
685:
665:
661:In the special case
637:
576:
549:
517:
411:
391:
269:
246:
226:
206:
139:
44:improve this article
3516:Kodaira–Spencer map
2600:
2386:
2279:
2214:
2123:
2022:
1949:
1842:
1798:
1742:
1659:
1579:
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