Knowledge

K-Poincaré group

Source 📝

1850: 1793: 22: 822: 490: 609: 990: 1276: 308: 1454: 1129: 1661: 1370: 353: 1772: 817:{\displaystyle =i\lambda \left\{\left({\Lambda ^{\rho }}_{0}-{\delta ^{\rho }}_{0}\right){\Lambda ^{\mu }}_{\sigma }-\left({\Lambda ^{\alpha }}_{\sigma }\eta _{\alpha 0}+\eta _{\sigma 0}\right)\eta ^{\rho \mu }\right\}} 1555: 896: 1135: 1704: 888: 215: 603: 223: 1376: 341: 1001: 1561: 852: 179: 485:{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)~.} 1291: 1891: 1710: 1834: 985:{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left({\begin{array}{cc}\cosh \tau &\sinh \tau \\\sinh \tau &\cosh \tau \end{array}}\right)} 1473: 43: 1925: 113: 94: 66: 1884: 73: 47: 1915: 80: 1271:{\displaystyle =i\lambda \left(1-\cosh \tau \right)\left({\begin{array}{c}\sinh \tau \\\cosh \tau \end{array}}\right)} 1877: 1827: 62: 32: 1667: 857: 184: 51: 36: 501: 303:{\displaystyle \eta ^{\rho \sigma }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }{\Lambda ^{\nu }}_{\sigma }=\eta ^{\mu \nu }~,} 1920: 1910: 1449:{\displaystyle \Delta {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\rho }\otimes {\Lambda ^{\rho }}_{\nu }} 1820: 1124:{\displaystyle =i\lambda ~\sinh \tau \left({\begin{array}{c}\sinh \tau \\\cosh \tau \end{array}}\right)} 1778: 316: 1857: 1656:{\displaystyle S({\Lambda ^{\mu }}_{\nu })={(\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }} 87: 378: 830: 157: 147: 139: 1365:{\displaystyle \Delta a^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\otimes a^{\nu }+a^{\mu }\otimes 1} 344: 1861: 1804: 1904: 143: 1849: 1464: 1460: 151: 1467:
are classical, and represent the group inversion law and the map to the identity:
927: 1792: 131: 21: 1767:{\displaystyle \varepsilon ({\Lambda ^{\mu }}_{\nu })={\delta ^{\mu }}_{\nu }} 1282: 827:
In the (1 + 1)-dimensional case the commutation rules between
1800: 127: 1550:{\displaystyle S(a^{\mu })=-{(\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }a^{\nu }} 890:
are particularly simple. The Lorentz generator in this case is:
15: 1865: 1808: 1235: 1160: 1088: 1026: 1777:
The κ-Poincaré group is the dual Hopf algebra to the
1713: 1670: 1564: 1476: 1379: 1294: 1285:
are classical, and encode the group composition law:
1138: 1004: 899: 860: 833: 612: 504: 356: 319: 226: 187: 160: 1781:, and can be interpreted as its “finite” version. 1766: 1698: 1655: 1549: 1448: 1364: 1270: 1123: 984: 882: 846: 816: 597: 484: 335: 302: 209: 173: 1885: 1828: 8: 50:. Unsourced material may be challenged and 1892: 1878: 1835: 1821: 559: 1758: 1751: 1746: 1733: 1726: 1721: 1712: 1681: 1669: 1647: 1640: 1635: 1625: 1618: 1605: 1597: 1584: 1577: 1572: 1563: 1541: 1531: 1524: 1511: 1503: 1487: 1475: 1440: 1433: 1428: 1418: 1411: 1406: 1396: 1389: 1384: 1378: 1350: 1337: 1324: 1317: 1312: 1302: 1293: 1234: 1159: 1146: 1137: 1087: 1025: 1012: 1003: 926: 913: 906: 901: 898: 874: 867: 862: 859: 838: 832: 800: 782: 766: 756: 749: 744: 729: 722: 717: 705: 698: 693: 683: 676: 671: 642: 635: 630: 620: 611: 580: 567: 547: 525: 512: 503: 377: 361: 355: 324: 318: 285: 272: 265: 260: 253: 246: 241: 231: 225: 201: 194: 189: 186: 165: 159: 114:Learn how and when to remove this message 1699:{\displaystyle \varepsilon (a^{\mu })=0} 883:{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }} 210:{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }} 598:{\displaystyle =i\lambda a_{j}~,\;=0} 7: 1846: 1844: 1789: 1787: 48:adding citations to reliable sources 1723: 1637: 1602: 1574: 1508: 1430: 1408: 1386: 1380: 1314: 1295: 903: 864: 746: 719: 673: 632: 262: 243: 191: 154:. It is generated by the elements 14: 995:and the commutation rules reads: 146:, obtained by deformation of the 1848: 1791: 336:{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }} 20: 1739: 1717: 1687: 1674: 1615: 1598: 1590: 1568: 1521: 1504: 1493: 1480: 1193: 1139: 1059: 1005: 648: 613: 586: 560: 531: 505: 1: 495:The commutation rules reads: 1864:. You can help Knowledge by 1807:. You can help Knowledge by 217:with the usual constraint: 1942: 1926:Mathematical physics stubs 1843: 1786: 847:{\displaystyle a^{\mu }} 174:{\displaystyle a^{\mu }} 1860:-related article is a 1803:-related article is a 1768: 1700: 1657: 1551: 1450: 1366: 1272: 1125: 986: 884: 848: 818: 599: 486: 337: 304: 211: 175: 1769: 1701: 1658: 1552: 1451: 1367: 1273: 1126: 987: 885: 849: 819: 600: 487: 338: 305: 212: 176: 1916:Mathematical physics 1858:mathematical physics 1711: 1668: 1562: 1474: 1377: 1292: 1136: 1002: 897: 858: 831: 610: 502: 354: 317: 224: 185: 158: 44:improve this article 1779:K-Poincaré algebra 1764: 1696: 1653: 1547: 1446: 1362: 1268: 1262: 1187: 1121: 1115: 1053: 982: 976: 880: 844: 814: 595: 482: 470: 345:Minkowskian metric 333: 300: 207: 171: 63:"K-Poincaré group" 1873: 1872: 1816: 1815: 1073: 555: 478: 296: 124: 123: 116: 98: 1933: 1894: 1887: 1880: 1852: 1845: 1837: 1830: 1823: 1795: 1788: 1773: 1771: 1770: 1765: 1763: 1762: 1757: 1756: 1755: 1738: 1737: 1732: 1731: 1730: 1705: 1703: 1702: 1697: 1686: 1685: 1662: 1660: 1659: 1654: 1652: 1651: 1646: 1645: 1644: 1630: 1629: 1624: 1623: 1622: 1613: 1612: 1589: 1588: 1583: 1582: 1581: 1556: 1554: 1553: 1548: 1546: 1545: 1536: 1535: 1530: 1529: 1528: 1519: 1518: 1492: 1491: 1455: 1453: 1452: 1447: 1445: 1444: 1439: 1438: 1437: 1423: 1422: 1417: 1416: 1415: 1401: 1400: 1395: 1394: 1393: 1371: 1369: 1368: 1363: 1355: 1354: 1342: 1341: 1329: 1328: 1323: 1322: 1321: 1307: 1306: 1277: 1275: 1274: 1269: 1267: 1263: 1229: 1225: 1192: 1188: 1151: 1150: 1130: 1128: 1127: 1122: 1120: 1116: 1071: 1058: 1054: 1017: 1016: 991: 989: 988: 983: 981: 977: 918: 917: 912: 911: 910: 889: 887: 886: 881: 879: 878: 873: 872: 871: 853: 851: 850: 845: 843: 842: 823: 821: 820: 815: 813: 809: 808: 807: 795: 791: 790: 789: 774: 773: 761: 760: 755: 754: 753: 734: 733: 728: 727: 726: 715: 711: 710: 709: 704: 703: 702: 688: 687: 682: 681: 680: 647: 646: 641: 640: 639: 625: 624: 604: 602: 601: 596: 585: 584: 572: 571: 553: 552: 551: 530: 529: 517: 516: 491: 489: 488: 483: 476: 475: 471: 369: 368: 342: 340: 339: 334: 332: 331: 309: 307: 306: 301: 294: 293: 292: 277: 276: 271: 270: 269: 258: 257: 252: 251: 250: 239: 238: 216: 214: 213: 208: 206: 205: 200: 199: 198: 180: 178: 177: 172: 170: 169: 136:κ-Poincaré group 119: 112: 108: 105: 99: 97: 56: 24: 16: 1941: 1940: 1936: 1935: 1934: 1932: 1931: 1930: 1901: 1900: 1899: 1898: 1842: 1841: 1784: 1747: 1745: 1722: 1720: 1709: 1708: 1677: 1666: 1665: 1636: 1634: 1614: 1601: 1596: 1573: 1571: 1560: 1559: 1537: 1520: 1507: 1502: 1483: 1472: 1471: 1429: 1427: 1407: 1405: 1385: 1383: 1375: 1374: 1346: 1333: 1313: 1311: 1298: 1290: 1289: 1261: 1260: 1248: 1247: 1230: 1209: 1205: 1186: 1185: 1173: 1172: 1155: 1142: 1134: 1133: 1114: 1113: 1101: 1100: 1083: 1052: 1051: 1039: 1038: 1021: 1008: 1000: 999: 975: 974: 963: 951: 950: 939: 922: 902: 900: 895: 894: 863: 861: 856: 855: 834: 829: 828: 796: 778: 762: 745: 743: 742: 738: 718: 716: 694: 692: 672: 670: 669: 665: 664: 660: 631: 629: 616: 608: 607: 576: 563: 543: 521: 508: 500: 499: 469: 468: 463: 458: 453: 447: 446: 441: 436: 431: 425: 424: 419: 414: 409: 403: 402: 397: 392: 387: 373: 357: 352: 351: 320: 315: 314: 281: 261: 259: 242: 240: 227: 222: 221: 190: 188: 183: 182: 161: 156: 155: 120: 109: 103: 100: 57: 55: 41: 25: 12: 11: 5: 1939: 1937: 1929: 1928: 1923: 1918: 1913: 1903: 1902: 1897: 1896: 1889: 1882: 1874: 1871: 1870: 1853: 1840: 1839: 1832: 1825: 1817: 1814: 1813: 1796: 1775: 1774: 1761: 1754: 1750: 1744: 1741: 1736: 1729: 1725: 1719: 1716: 1706: 1695: 1692: 1689: 1684: 1680: 1676: 1673: 1663: 1650: 1643: 1639: 1633: 1628: 1621: 1617: 1611: 1608: 1604: 1600: 1595: 1592: 1587: 1580: 1576: 1570: 1567: 1557: 1544: 1540: 1534: 1527: 1523: 1517: 1514: 1510: 1506: 1501: 1498: 1495: 1490: 1486: 1482: 1479: 1457: 1456: 1443: 1436: 1432: 1426: 1421: 1414: 1410: 1404: 1399: 1392: 1388: 1382: 1372: 1361: 1358: 1353: 1349: 1345: 1340: 1336: 1332: 1327: 1320: 1316: 1310: 1305: 1301: 1297: 1279: 1278: 1266: 1259: 1256: 1253: 1250: 1249: 1246: 1243: 1240: 1237: 1236: 1233: 1228: 1224: 1221: 1218: 1215: 1212: 1208: 1204: 1201: 1198: 1195: 1191: 1184: 1181: 1178: 1175: 1174: 1171: 1168: 1165: 1162: 1161: 1158: 1154: 1149: 1145: 1141: 1131: 1119: 1112: 1109: 1106: 1103: 1102: 1099: 1096: 1093: 1090: 1089: 1086: 1082: 1079: 1076: 1070: 1067: 1064: 1061: 1057: 1050: 1047: 1044: 1041: 1040: 1037: 1034: 1031: 1028: 1027: 1024: 1020: 1015: 1011: 1007: 993: 992: 980: 973: 970: 967: 964: 962: 959: 956: 953: 952: 949: 946: 943: 940: 938: 935: 932: 929: 928: 925: 921: 916: 909: 905: 877: 870: 866: 841: 837: 825: 824: 812: 806: 803: 799: 794: 788: 785: 781: 777: 772: 769: 765: 759: 752: 748: 741: 737: 732: 725: 721: 714: 708: 701: 697: 691: 686: 679: 675: 668: 663: 659: 656: 653: 650: 645: 638: 634: 628: 623: 619: 615: 605: 594: 591: 588: 583: 579: 575: 570: 566: 562: 558: 550: 546: 542: 539: 536: 533: 528: 524: 520: 515: 511: 507: 493: 492: 481: 474: 467: 464: 462: 459: 457: 454: 452: 449: 448: 445: 442: 440: 437: 435: 432: 430: 427: 426: 423: 420: 418: 415: 413: 410: 408: 405: 404: 401: 398: 396: 393: 391: 388: 386: 383: 380: 379: 376: 372: 367: 364: 360: 330: 327: 323: 311: 310: 299: 291: 288: 284: 280: 275: 268: 264: 256: 249: 245: 237: 234: 230: 204: 197: 193: 168: 164: 148:Poincaré group 140:Henri Poincaré 138:, named after 122: 121: 28: 26: 19: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1938: 1927: 1924: 1922: 1921:Algebra stubs 1919: 1917: 1914: 1912: 1911:Hopf algebras 1909: 1908: 1906: 1895: 1890: 1888: 1883: 1881: 1876: 1875: 1869: 1867: 1863: 1859: 1854: 1851: 1847: 1838: 1833: 1831: 1826: 1824: 1819: 1818: 1812: 1810: 1806: 1802: 1797: 1794: 1790: 1785: 1782: 1780: 1759: 1752: 1748: 1742: 1734: 1727: 1714: 1707: 1693: 1690: 1682: 1678: 1671: 1664: 1648: 1641: 1631: 1626: 1619: 1609: 1606: 1593: 1585: 1578: 1565: 1558: 1542: 1538: 1532: 1525: 1515: 1512: 1499: 1496: 1488: 1484: 1477: 1470: 1469: 1468: 1466: 1462: 1441: 1434: 1424: 1419: 1412: 1402: 1397: 1390: 1373: 1359: 1356: 1351: 1347: 1343: 1338: 1334: 1330: 1325: 1318: 1308: 1303: 1299: 1288: 1287: 1286: 1284: 1264: 1257: 1254: 1251: 1244: 1241: 1238: 1231: 1226: 1222: 1219: 1216: 1213: 1210: 1206: 1202: 1199: 1196: 1189: 1182: 1179: 1176: 1169: 1166: 1163: 1156: 1152: 1147: 1143: 1132: 1117: 1110: 1107: 1104: 1097: 1094: 1091: 1084: 1080: 1077: 1074: 1068: 1065: 1062: 1055: 1048: 1045: 1042: 1035: 1032: 1029: 1022: 1018: 1013: 1009: 998: 997: 996: 978: 971: 968: 965: 960: 957: 954: 947: 944: 941: 936: 933: 930: 923: 919: 914: 907: 893: 892: 891: 875: 868: 839: 835: 810: 804: 801: 797: 792: 786: 783: 779: 775: 770: 767: 763: 757: 750: 739: 735: 730: 723: 712: 706: 699: 695: 689: 684: 677: 666: 661: 657: 654: 651: 643: 636: 626: 621: 617: 606: 592: 589: 581: 577: 573: 568: 564: 556: 548: 544: 540: 537: 534: 526: 522: 518: 513: 509: 498: 497: 496: 479: 472: 465: 460: 455: 450: 443: 438: 433: 428: 421: 416: 411: 406: 399: 394: 389: 384: 381: 374: 370: 365: 362: 358: 350: 349: 348: 346: 328: 325: 321: 297: 289: 286: 282: 278: 273: 266: 254: 247: 235: 232: 228: 220: 219: 218: 202: 195: 166: 162: 153: 149: 145: 144:quantum group 141: 137: 133: 129: 118: 115: 107: 96: 93: 89: 86: 82: 79: 75: 72: 68: 65: –  64: 60: 59:Find sources: 53: 49: 45: 39: 38: 34: 29:This article 27: 23: 18: 17: 1866:expanding it 1855: 1809:expanding it 1798: 1783: 1776: 1458: 1280: 994: 826: 494: 312: 152:Hopf algebra 135: 125: 110: 101: 91: 84: 77: 70: 58: 42:Please help 30: 132:mathematics 1905:Categories 1283:coproducts 74:newspapers 1760:ν 1753:μ 1749:δ 1735:ν 1728:μ 1724:Λ 1715:ε 1683:μ 1672:ε 1649:μ 1642:ν 1638:Λ 1627:ν 1620:μ 1607:− 1603:Λ 1586:ν 1579:μ 1575:Λ 1543:ν 1533:ν 1526:μ 1513:− 1509:Λ 1500:− 1489:μ 1461:antipodes 1459:Also the 1442:ν 1435:ρ 1431:Λ 1425:⊗ 1420:ρ 1413:μ 1409:Λ 1398:ν 1391:μ 1387:Λ 1381:Δ 1357:⊗ 1352:μ 1339:ν 1331:⊗ 1326:ν 1319:μ 1315:Λ 1304:μ 1296:Δ 1258:τ 1255:⁡ 1245:τ 1242:⁡ 1223:τ 1220:⁡ 1214:− 1203:λ 1183:τ 1180:⁡ 1170:τ 1167:⁡ 1111:τ 1108:⁡ 1098:τ 1095:⁡ 1081:τ 1078:⁡ 1069:λ 1049:τ 1046:⁡ 1036:τ 1033:⁡ 972:τ 969:⁡ 961:τ 958:⁡ 948:τ 945:⁡ 937:τ 934:⁡ 915:ν 908:μ 904:Λ 876:ν 869:μ 865:Λ 840:μ 805:μ 802:ρ 798:η 784:σ 780:η 768:α 764:η 758:σ 751:α 747:Λ 736:− 731:σ 724:μ 720:Λ 700:ρ 696:δ 690:− 678:ρ 674:Λ 658:λ 644:σ 637:ρ 633:Λ 622:μ 541:λ 382:− 366:ν 363:μ 359:η 329:ν 326:μ 322:η 290:ν 287:μ 283:η 274:σ 267:ν 263:Λ 255:ρ 248:μ 244:Λ 236:σ 233:ρ 229:η 203:ν 196:μ 192:Λ 167:μ 31:does not 1463:and the 104:May 2014 1801:algebra 1465:counits 343:is the 150:into a 142:, is a 128:physics 88:scholar 52:removed 37:sources 1072:  554:  477:  313:where 295:  134:, the 90:  83:  76:  69:  61:  1856:This 1799:This 95:JSTOR 81:books 1862:stub 1805:stub 1281:The 1252:cosh 1239:sinh 1217:cosh 1177:sinh 1164:cosh 1105:cosh 1092:sinh 1075:sinh 1043:sinh 1030:cosh 966:cosh 955:sinh 942:sinh 931:cosh 854:and 181:and 130:and 67:news 35:any 33:cite 126:In 46:by 1907:: 347:: 1893:e 1886:t 1879:v 1868:. 1836:e 1829:t 1822:v 1811:. 1743:= 1740:) 1718:( 1694:0 1691:= 1688:) 1679:a 1675:( 1632:= 1616:) 1610:1 1599:( 1594:= 1591:) 1569:( 1566:S 1539:a 1522:) 1516:1 1505:( 1497:= 1494:) 1485:a 1481:( 1478:S 1403:= 1360:1 1348:a 1344:+ 1335:a 1309:= 1300:a 1265:) 1232:( 1227:) 1211:1 1207:( 1200:i 1197:= 1194:] 1190:) 1157:( 1153:, 1148:1 1144:a 1140:[ 1118:) 1085:( 1066:i 1063:= 1060:] 1056:) 1023:( 1019:, 1014:0 1010:a 1006:[ 979:) 924:( 920:= 836:a 811:} 793:) 787:0 776:+ 771:0 740:( 713:) 707:0 685:0 667:( 662:{ 655:i 652:= 649:] 627:, 618:a 614:[ 593:0 590:= 587:] 582:k 578:a 574:, 569:j 565:a 561:[ 557:, 549:j 545:a 538:i 535:= 532:] 527:0 523:a 519:, 514:j 510:a 506:[ 480:. 473:) 466:1 461:0 456:0 451:0 444:0 439:1 434:0 429:0 422:0 417:0 412:1 407:0 400:0 395:0 390:0 385:1 375:( 371:= 298:, 279:= 163:a 117:) 111:( 106:) 102:( 92:· 85:· 78:· 71:· 54:. 40:.

Index


cite
sources
improve this article
adding citations to reliable sources
removed
"K-Poincaré group"
news
newspapers
books
scholar
JSTOR
Learn how and when to remove this message
physics
mathematics
Henri Poincaré
quantum group
Poincaré group
Hopf algebra
Minkowskian metric
coproducts
antipodes
counits
K-Poincaré algebra
Stub icon
algebra
stub
expanding it
v
t

Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.