1419:
1961:
823:
1414:{\displaystyle {\begin{aligned}d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)-d\left(a^{2}y^{2}\right)&=0\\(2x\,dx)\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}(2x\,dx+2y\,dy)-a^{2}2y\,dy&=0\\\left(4x^{3}+2xy^{2}\right)dx+\left(2yx^{2}-2a^{2}y\right)dy&=0\\x\left(2x^{2}+y^{2}\right)dx+y\left(x^{2}-a^{2}\right)dy&=0\\{\frac {x\left(2x^{2}+y^{2}\right)}{y\left(a^{2}-x^{2}\right)}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}
1462:
1956:{\displaystyle {\begin{aligned}2x\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}\left(2x+2y{\frac {dy}{dx}}\right)&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\2x^{3}+2xy^{2}+2x^{3}&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}-2x^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\4x^{3}+2xy^{2}&=\left(2a^{2}y-2x^{2}y\right){\frac {dy}{dx}}\\{\frac {2x^{3}+xy^{2}}{a^{2}y-x^{2}y}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}
491:
266:
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808:
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486:{\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta }{a\left(\sin ^{2}(2\theta )+4\right)^{\frac {3}{2}}}}.}
711:
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16:
1982:
1975:
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2032:
174:
705:
Now, an infinitesimal change in our location must also change the value of the left hand side, so
2025:
2008:
1986:
272:
74:
2036:
610:
are variables, while a is taken to be a constant. From the definition of the kappa curve,
40:
47:
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2056:
599:
261:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin t,\\y&=a\sin t\tan t.\end{aligned}}}
579:{\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left({\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )\right).}
70:
62:
2011:
594:
The tangent lines of the kappa curve can also be determined geometrically using
2016:
337:
320:
21:
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803:{\displaystyle d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}\right)=0}
496:
66:
65:'s application of rudimentary calculus methods to determine the
1444:, the slope of a tangent line to the kappa curve at a point
1429:
If we use the modern concept of a functional relationship
695:{\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}=0}
163:{\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=a^{2}y^{2}}
539:
1465:
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714:
619:
508:
349:
333:, shown as dashed blue lines in the figure at right.
284:
186:
93:
61:, it is remembered as one of the first examples of
1974:
1955:
1413:
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485:
308:
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162:
77:continued the studies of this curve subsequently.
8:
813:Distributing the differential and applying
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92:
2026:A Java applet for playing with the curve
15:
2042:MacTutor History of Mathematics Archive
53:. The kappa curve was first studied by
7:
14:
1977:A Catalog of Special Plane Curves
20:The kappa curve has two vertical
309:{\displaystyle r=a\tan \theta .}
1034:
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359:
353:
275:its equation is even simpler:
1:
1981:. New York: Dover. pp.
1973:Lawrence, J. Dennis (1972).
598:and the elementary rules of
590:Tangents via infinitesimals
82:Cartesian coordinate system
2079:
2047:University of St Andrews
1442:implicit differentiation
84:it can be expressed as
1957:
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55:Gérard van Gutschoven
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602:arithmetic. Suppose
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319:It has two vertical
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175:parametric equations
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57:around 1662. In the
2031:O'Connor, John J.;
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