830:
576:
1302:
3075:
2459:
2945:
2202:
1019:
2812:
1738:
474:
358:
3180:
1539:
1899:
83:
825:{\displaystyle \int _{X(r)}dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial X(r)}{\overline {z}}\,dz={1 \over 2i}\int _{|z|=r}{\overline {g}}\,dg=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}r^{-2n}.}
1972:
2525:
gives a series of bounds for a univalent function and its derivative. It is a direct consequence of
Bieberbach's inequality for the second coefficient and the Koebe quarter theorem.
2511:
2069:
1081:
1624:
197:
2018:
1815:
2666:
1441:
1181:
108:
2953:
2591:
2241:
1578:
539:
397:
1325:
2626:
1401:
1118:
503:
2702:
2555:
568:
145:
1166:
1050:
237:
3098:
2264:
2038:
1761:
1352:
1138:
893:
873:
853:
2272:
2820:
3416:
3268:
2077:
924:
2710:
1635:
3376:
3343:
3289:
3243:
259:
405:
270:
3106:
3216:(1916), "Ăśber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln",
1457:
1835:
52:
1910:
3298:
903:
2470:
3303:
1771:
3352:
2043:
1297:{\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}
1055:
1586:
1980:
1777:
91:
3070:{\displaystyle {1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+r \over 1-r}}
1365:
1361:
150:
3372:
3339:
3335:
3328:
3285:
3264:
3239:
3213:
2560:
2210:
1767:
1547:
1356:
508:
366:
208:
3235:
3229:
2631:
1406:
1310:
3312:
3225:
2596:
1818:
1371:
1086:
896:
482:
247:
31:
3386:
2671:
3382:
3260:
2531:
544:
121:
2454:{\displaystyle |w|^{-1}=|w^{-1}|=|-a_{2}+a_{2}+w^{-1}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,}
1143:
1027:
214:
17:
3359:, Studia Mathematica/Mathematische LehrbĂĽcher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht
3252:
3083:
2249:
2023:
1746:
1337:
1332:
1328:
1123:
878:
858:
838:
3410:
875:. The above proof shows equality holds if and only if the complement of the image of
243:
115:
2940:{\displaystyle {1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}}
3364:
3284:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag,
3323:
3277:
1629:
This follows by applying
Gronwall's area theorem to the odd univalent function
35:
204:
3357:
Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen
86:
3401:
2197:{\displaystyle h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots }
1014:{\displaystyle f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}}
2807:{\displaystyle {r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}}
111:
3316:
1024:
Application of the theorem to this function shows that the constant
211:
in 1916. The example of the Koebe function shows that the constant
1733:{\displaystyle g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .}
3234:, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, pp.
207:, who conjectured the result in 1907. The theorem was proven by
1446:
3002:
2876:
1868:
902:
This result was proved in 1914 by the
Swedish mathematician
1447:
Bieberbach's coefficient inequality for univalent functions
3371:. Series in Higher Mathematics (3 ed.). McGraw-Hill.
835:
Since the area is positive, the result follows by letting
1052:
in the theorem cannot be improved, as the image domain
469:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}\leq 1.}
353:{\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }
3175:{\displaystyle f(z)={z \over (1-e^{i\theta }z)^{2}}.}
3109:
3086:
2956:
2823:
2713:
2674:
2634:
2599:
2563:
2534:
2473:
2275:
2252:
2213:
2080:
2046:
2026:
1983:
1977:
In particular, the coefficient inequality gives that
1913:
1838:
1780:
1749:
1638:
1589:
1550:
1460:
1409:
1374:
1340:
1313:
1184:
1146:
1126:
1089:
1058:
1030:
927:
881:
861:
841:
579:
547:
511:
485:
408:
369:
273:
217:
153:
124:
94:
55:
3301:(1914), "Some remarks on conformal representation",
1534:{\displaystyle g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }
3327:
3174:
3092:
3069:
2939:
2806:
2696:
2660:
2620:
2585:
2549:
2505:
2453:
2258:
2235:
2196:
2063:
2032:
2012:
1966:
1893:
1809:
1755:
1732:
1618:
1572:
1533:
1435:
1395:
1346:
1319:
1296:
1160:
1132:
1112:
1075:
1044:
1013:
887:
867:
847:
824:
562:
533:
497:
468:
391:
352:
231:
191:
139:
102:
77:
1829:Applying an affine map, it can be assumed that
239:in the theorem cannot be improved (increased).
1894:{\displaystyle f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,}
78:{\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbb {C} }
8:
49:The image of an injective analytic function
1354:. The Koebe function and its rotations are
3197:
1967:{\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .}
1120:and so cannot contain any disk centred at
505:, the complement of the image of the disk
3160:
3144:
3125:
3108:
3085:
3041:
3001:
2994:
2957:
2955:
2928:
2898:
2890:
2875:
2866:
2854:
2824:
2822:
2795:
2773:
2765:
2748:
2736:
2714:
2712:
2689:
2681:
2673:
2633:
2598:
2572:
2564:
2562:
2533:
2490:
2482:
2474:
2472:
2437:
2428:
2415:
2406:
2398:
2392:
2383:
2375:
2366:
2353:
2340:
2328:
2320:
2311:
2302:
2290:
2285:
2276:
2274:
2251:
2222:
2214:
2212:
2182:
2166:
2153:
2096:
2079:
2053:
2045:
2025:
1999:
1993:
1984:
1982:
1949:
1939:
1912:
1867:
1862:
1861:
1860:
1837:
1796:
1790:
1781:
1779:
1748:
1712:
1702:
1688:
1669:
1662:
1649:
1637:
1605:
1599:
1590:
1588:
1559:
1551:
1549:
1519:
1509:
1496:
1486:
1459:
1408:
1373:
1339:
1312:
1288:
1272:
1259:
1248:
1232:
1207:
1189:
1183:
1150:
1145:
1125:
1102:
1088:
1065:
1057:
1034:
1029:
1005:
992:
981:
965:
943:
926:
880:
860:
840:
807:
797:
792:
785:
776:
767:
756:
740:
723:
713:
700:
692:
691:
672:
662:
652:
634:
615:
605:
584:
578:
546:
520:
512:
510:
484:
454:
449:
442:
433:
424:
413:
407:
378:
370:
368:
335:
325:
309:
299:
272:
221:
216:
181:
176:
154:
152:
123:
95:
93:
71:
70:
62:
54:
3190:
2246:Applying the coefficient inequality to
1770:in 1916 and provided the basis for his
7:
3257:Functions of One Complex Variable II
2506:{\displaystyle |w|\geq {1 \over 4}.}
1260:
993:
768:
635:
425:
246:, and a notion related to both is
118:contains the disk whose center is
25:
2054:
1066:
260:Area theorem (conformal mapping)
96:
63:
2064:{\displaystyle f(\mathbf {D} )}
1076:{\displaystyle f(\mathbf {D} )}
3157:
3131:
3119:
3113:
3027:
3021:
3013:
3007:
2925:
2912:
2891:
2887:
2881:
2867:
2851:
2838:
2792:
2779:
2766:
2762:
2756:
2749:
2733:
2720:
2690:
2682:
2649:
2643:
2609:
2603:
2573:
2565:
2544:
2538:
2483:
2475:
2438:
2407:
2399:
2384:
2376:
2329:
2321:
2303:
2286:
2277:
2223:
2215:
2175:
2146:
2131:
2125:
2111:
2105:
2090:
2084:
2058:
2050:
2000:
1985:
1923:
1917:
1879:
1873:
1848:
1842:
1797:
1782:
1743:Equality holds if and only if
1659:
1642:
1619:{\displaystyle |a_{2}|\leq 2.}
1606:
1591:
1560:
1552:
1470:
1464:
1424:
1418:
1384:
1378:
1229:
1213:
1201:
1195:
1070:
1062:
962:
949:
937:
931:
793:
777:
701:
693:
647:
641:
594:
588:
557:
551:
521:
513:
450:
434:
379:
371:
283:
277:
177:
173:
167:
155:
134:
128:
67:
1:
3080:with equality if and only if
2013:{\displaystyle |a_{2}|\leq 2}
1810:{\displaystyle |a_{n}|\leq n}
1763:is a rotated Koebe function.
27:Statement in complex analysis
3417:Theorems in complex analysis
3228:; Gamelin, T. D. W. (1993),
718:
657:
253:
103:{\displaystyle \mathbf {D} }
2557:be a univalent function on
1083:does not contain the point
203:The theorem is named after
3433:
1766:This result was proved by
257:
3369:Real and Complex Analysis
3218:S.-B. Preuss. Akad. Wiss.
192:{\displaystyle |f'(0)|/4}
2586:{\displaystyle |z|<1}
2523:Koebe distortion theorem
2517:Koebe distortion theorem
2236:{\displaystyle |z|<1}
1825:Proof of quarter theorem
1573:{\displaystyle |z|<1}
1140:with radius larger than
534:{\displaystyle |z|>r}
392:{\displaystyle |z|>1}
242:A related result is the
18:Koebe distortion theorem
2661:{\displaystyle f'(0)=1}
1436:{\displaystyle f'(0)=1}
1320:{\displaystyle \alpha }
570:. Its area is given by
254:Grönwall's area theorem
3176:
3094:
3071:
2941:
2808:
2698:
2662:
2622:
2621:{\displaystyle f(0)=0}
2587:
2551:
2507:
2455:
2260:
2237:
2198:
2065:
2034:
2014:
1968:
1895:
1811:
1757:
1734:
1620:
1574:
1535:
1437:
1397:
1396:{\displaystyle f(0)=0}
1348:
1321:
1298:
1264:
1173:rotated Koebe function
1162:
1134:
1114:
1113:{\displaystyle z=-1/4}
1077:
1046:
1015:
997:
889:
869:
849:
826:
772:
564:
535:
499:
498:{\displaystyle r>1}
470:
429:
393:
354:
233:
201:
193:
141:
104:
79:
47:Koebe Quarter Theorem.
42:states the following:
3400:Koebe 1/4 theorem at
3304:Annals of Mathematics
3177:
3100:is a Koebe function
3095:
3072:
2942:
2809:
2699:
2697:{\displaystyle r=|z|}
2663:
2623:
2588:
2552:
2508:
2456:
2261:
2238:
2199:
2066:
2035:
2015:
1969:
1896:
1812:
1772:celebrated conjecture
1758:
1735:
1621:
1575:
1536:
1438:
1398:
1349:
1322:
1299:
1244:
1163:
1135:
1115:
1078:
1047:
1016:
977:
904:Thomas Hakon Grönwall
890:
870:
850:
827:
752:
565:
536:
500:
471:
409:
394:
355:
234:
194:
142:
105:
80:
44:
3259:, Berlin, New York:
3107:
3084:
2954:
2821:
2711:
2672:
2632:
2597:
2561:
2550:{\displaystyle f(z)}
2532:
2471:
2273:
2250:
2211:
2078:
2044:
2024:
1981:
1911:
1836:
1817:, proved in 1985 by
1778:
1747:
1636:
1587:
1548:
1458:
1407:
1372:
1338:
1311:
1182:
1144:
1124:
1087:
1056:
1028:
925:
895:has zero area, i.e.
879:
859:
839:
577:
563:{\displaystyle X(r)}
545:
541:is a bounded domain
509:
483:
406:
367:
271:
215:
151:
147:and whose radius is
140:{\displaystyle f(0)}
122:
92:
53:
3282:Univalent functions
2593:normalized so that
1161:{\displaystyle 1/4}
1045:{\displaystyle 1/4}
232:{\displaystyle 1/4}
3334:, Dover, pp.
3214:Bieberbach, Ludwig
3172:
3090:
3067:
2937:
2804:
2694:
2658:
2618:
2583:
2547:
2503:
2451:
2256:
2233:
2194:
2061:
2030:
2010:
1964:
1891:
1807:
1753:
1730:
1616:
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