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423:
1204:{\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}
171:
114:
272:
1479:{\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}
679:
636:
407:
1649:
280:
43:
and convergence of sequences. The lemma is often used in the proofs of theorems concerning sums of independent random variables such as the strong
1678:
892:{\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}
1591:
1504:
179:
1642:
593:{\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}
1668:
1635:
122:
68:
1497:, which cancels with the third term. The second term goes to zero (as the sum is a fixed value). Since the
1615:
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414:
1587:
54:
17:
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614:
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1619:
1662:
51:
40:
367:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}
28:
1607:
39:, Lemma IV.3.2)) is a result about the relationship between convergence of
48:
1564:{\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon }
234:{\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots }
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1507:
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sequence is increasing, the last term is bounded by
116:is an infinite sequence of real numbers such that
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166:{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}
176:exists and is finite, then we have for all
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1493:go to infinity. The first term goes to
109:{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}
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654:. This can be done as the sequence
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1606:
267:{\displaystyle b_{n}\to \infty }
685:. Then the right hand side is:
409:denote the partial sums of the
47:. The lemma is named after the
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1:
1622:. You can help Knowledge by
1582:Shiryaev, Albert N. (1996).
18:Kronecker's lemma/Proof
1679:Mathematical analysis stubs
1695:
1601:
1586:(2nd ed.). Springer.
1618:–related article is a
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