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Lévy's stochastic area

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1186: 377: 648: 480: 1004: 172: 794: 993: 719: 213: 822: 201: 907: 535: 1222: 859: 515: 45: 540: 1539: 395: 1425: 1181:{\displaystyle \mathbb {E} ={\frac {b}{\sinh(b)}}\exp \left({\frac {\|x\|_{2}}{2t}}\left(1-b\coth \left(b\right)\right)\right),} 56: 90: 1534: 732: 915: 41: 1483:. Séminaire de Probabilités XIV 1978/79. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 784. Berlin, Heidelberg: Springer. 655: 372:{\displaystyle S(t,W)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\left(W_{s}^{(1)}dW_{s}^{(2)}-W_{s}^{(2)}dW_{s}^{(1)}\right),} 1366: 60: 799: 177: 1371: 72: 1355:"Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions" 864: 1386: 1278: 64: 25: 17: 520: 1194: 1421: 390: 1511: 1484: 1454: 1413: 1376: 1333: 1270: 827: 485: 37: 68: 33: 383: 1502:
Helmes, Kurt; Schwane, A (1983). "Levy's stochastic area formula in higher dimensions".
1301:
Lévy, Paul M. (1950). "Wiener's random function, and other Laplacian random functions".
51:
The process has many unexpected connections to other objects in mathematics such as the
1225: 1417: 1528: 1515: 1475: 1404:
Ikeda, Nobuyuki; Watanabe, Shinzō (1984). "An Introduction to Malliavin's Calculus".
1390: 76: 1381: 1354: 1459: 1442: 643:{\displaystyle \varphi :\to \mathbb {R} ^{2},s\mapsto (W_{s}^{(1)},W_{s}^{(2)})} 1443:"Euler polynomials, Bernoulli polynomials, and Lévyʼs stochastic area formula" 1338: 1321: 29: 1238: 1488: 1282: 52: 1322:"The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons" 1274: 475:{\displaystyle \vartheta ={\tfrac {1}{2}}(x^{1}dx^{2}-x^{2}dx^{1})} 1244:
In 1983 Helmes and Schwane found a higher-dimensional formula.
67:, the process can be used to construct a process that is 406: 1197: 1007: 918: 867: 830: 802: 735: 658: 543: 523: 488: 398: 216: 180: 167:{\displaystyle W=(W_{s}^{(1)},W_{s}^{(2)})_{s\geq 0}} 93: 1261:
Lévy, Paul M. (1940). "Le Mouvement Brownien Plan".
789:{\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}} 1216: 1180: 988:{\displaystyle \mathbb {E} ={\frac {1}{\cosh(b)}}} 987: 901: 853: 816: 788: 713: 642: 529: 509: 474: 371: 195: 166: 1353:Biane, Philippe; Pitman, Jim; Yor, Marc (2001). 1474:Yor, Marc (1980). Azéma, J.; Yor, M. (eds.). 8: 1205: 1198: 1114: 1107: 1441:Ikeda, Nobuyuki; Taniguchi, Setsuo (2011). 1320:Ikeda, Nobuyuki; Taniguchi, Setsuo (2010). 714:{\displaystyle S(t,W)=\int _{W}\vartheta .} 1303:Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Stat. Proba 71:in the sense of Malliavin but that has no 1458: 1380: 1370: 1337: 1208: 1196: 1117: 1104: 1069: 1051: 1035: 1009: 1008: 1006: 961: 946: 920: 919: 917: 872: 866: 843: 829: 810: 809: 801: 780: 776: 775: 762: 749: 734: 684: 657: 625: 620: 601: 596: 574: 570: 569: 542: 522: 487: 463: 450: 437: 424: 405: 397: 349: 344: 325: 320: 301: 296: 277: 272: 257: 252: 238: 215: 187: 183: 182: 179: 152: 136: 131: 112: 107: 92: 48:and conditional characteristic function. 174:be a two-dimensional Brownian motion in 1253: 1477:Remarques sur une formule de paul levy 1296: 1294: 1292: 28:that describes the enclosed area of a 44:in 1940, and in 1950 he computed the 7: 1447:Bulletin des Sciences Mathématiques 1406:North-Holland Mathematical Library 1241:found a short probabilistic proof. 14: 817:{\displaystyle a\in \mathbb {R} } 75:modification with respect to the 196:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 40:. The process was introduced by 1263:American Journal of Mathematics 82: 1504:Journal of Functional Analysis 1087: 1081: 1063: 1041: 1022: 1013: 979: 973: 955: 952: 933: 924: 896: 884: 768: 742: 700: 688: 674: 662: 637: 632: 626: 608: 602: 589: 586: 565: 562: 550: 517:is the stochastic integral of 504: 492: 469: 417: 356: 350: 332: 326: 308: 302: 284: 278: 232: 220: 149: 143: 137: 119: 113: 100: 1: 1418:10.1016/S0924-6509(08)70387-8 1382:10.1090/S0273-0979-01-00912-0 1359:Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1516:10.1016/0022-1236(83)90053-8 1460:10.1016/j.bulsci.2011.07.009 1309:. Univ. California: 171–186. 902:{\displaystyle S_{t}=S(t,W)} 1556: 530:{\displaystyle \vartheta } 57:Korteweg–De Vries equation 1540:Paul Lévy (mathematician) 1339:10.1016/j.spa.2010.01.009 1217:{\displaystyle \|x\|_{2}} 46:characteristic function 1218: 1182: 989: 903: 855: 854:{\displaystyle b=at/2} 818: 790: 715: 644: 531: 511: 510:{\displaystyle S(t,W)} 476: 373: 205:Lévy's stochastic area 197: 168: 83:Lévy's stochastic area 22:Lévy's stochastic area 1219: 1183: 990: 904: 856: 819: 791: 716: 645: 532: 512: 477: 374: 198: 169: 61:Riemann zeta function 32:of a two-dimensional 1535:Stochastic processes 1195: 1005: 916: 865: 828: 800: 733: 656: 541: 521: 486: 396: 214: 178: 91: 909:then Lévy computed 636: 612: 360: 336: 312: 288: 262: 147: 123: 1489:10.1007/BFb0089501 1412:. Elsevier: 1–52. 1214: 1178: 985: 899: 851: 814: 786: 711: 640: 616: 592: 527: 507: 472: 415: 369: 340: 316: 292: 268: 248: 193: 164: 127: 103: 65:Malliavin calculus 26:stochastic process 18:probability theory 1326:Stoch. Proc. Appl 1132: 1091: 983: 414: 246: 55:solutions of the 1547: 1520: 1519: 1499: 1493: 1492: 1482: 1471: 1465: 1464: 1462: 1438: 1432: 1431: 1401: 1395: 1394: 1384: 1374: 1350: 1344: 1343: 1341: 1317: 1311: 1310: 1298: 1287: 1286: 1258: 1223: 1221: 1220: 1215: 1213: 1212: 1187: 1185: 1184: 1179: 1174: 1170: 1169: 1165: 1164: 1133: 1131: 1123: 1122: 1121: 1105: 1092: 1090: 1070: 1056: 1055: 1040: 1039: 1012: 994: 992: 991: 986: 984: 982: 962: 951: 950: 923: 908: 906: 905: 900: 877: 876: 860: 858: 857: 852: 847: 823: 821: 820: 815: 813: 795: 793: 792: 787: 785: 784: 779: 767: 766: 754: 753: 720: 718: 717: 712: 704: 703: 649: 647: 646: 641: 635: 624: 611: 600: 579: 578: 573: 537:along the curve 536: 534: 533: 528: 516: 514: 513: 508: 481: 479: 478: 473: 468: 467: 455: 454: 442: 441: 429: 428: 416: 407: 378: 376: 375: 370: 365: 361: 359: 348: 335: 324: 311: 300: 287: 276: 261: 256: 247: 239: 202: 200: 199: 194: 192: 191: 186: 173: 171: 170: 165: 163: 162: 146: 135: 122: 111: 1555: 1554: 1550: 1549: 1548: 1546: 1545: 1544: 1525: 1524: 1523: 1501: 1500: 1496: 1480: 1473: 1472: 1468: 1440: 1439: 1435: 1428: 1403: 1402: 1398: 1352: 1351: 1347: 1319: 1318: 1314: 1300: 1299: 1290: 1275:10.2307/2371467 1260: 1259: 1255: 1251: 1234: 1204: 1193: 1192: 1154: 1138: 1134: 1124: 1113: 1106: 1103: 1099: 1074: 1047: 1031: 1003: 1002: 966: 942: 914: 913: 868: 863: 862: 826: 825: 798: 797: 774: 758: 745: 731: 730: 727: 680: 654: 653: 568: 539: 538: 519: 518: 484: 483: 459: 446: 433: 420: 394: 393: 267: 263: 212: 211: 207:is the process 181: 176: 175: 148: 89: 88: 85: 34:Brownian motion 12: 11: 5: 1553: 1551: 1543: 1542: 1537: 1527: 1526: 1522: 1521: 1510:(2): 177–192. 1494: 1466: 1433: 1426: 1396: 1372:10.1.1.35.4158 1365:(4): 435–465. 1345: 1332:(5): 605–621. 1312: 1288: 1269:(1): 487–550. 1252: 1250: 1247: 1246: 1245: 1242: 1233: 1232:Further topics 1230: 1226:Euclidean norm 1211: 1207: 1203: 1200: 1189: 1188: 1177: 1173: 1168: 1163: 1160: 1157: 1153: 1150: 1147: 1144: 1141: 1137: 1130: 1127: 1120: 1116: 1112: 1109: 1102: 1098: 1095: 1089: 1086: 1083: 1080: 1077: 1073: 1068: 1065: 1062: 1059: 1054: 1050: 1046: 1043: 1038: 1034: 1030: 1027: 1024: 1021: 1018: 1015: 1011: 996: 995: 981: 978: 975: 972: 969: 965: 960: 957: 954: 949: 945: 941: 938: 935: 932: 929: 926: 922: 898: 895: 892: 889: 886: 883: 880: 875: 871: 850: 846: 842: 839: 836: 833: 812: 808: 805: 783: 778: 773: 770: 765: 761: 757: 752: 748: 744: 741: 738: 726: 723: 722: 721: 710: 707: 702: 699: 696: 693: 690: 687: 683: 679: 676: 673: 670: 667: 664: 661: 639: 634: 631: 628: 623: 619: 615: 610: 607: 604: 599: 595: 591: 588: 585: 582: 577: 572: 567: 564: 561: 558: 555: 552: 549: 546: 526: 506: 503: 500: 497: 494: 491: 471: 466: 462: 458: 453: 449: 445: 440: 436: 432: 427: 423: 419: 413: 410: 404: 401: 380: 379: 368: 364: 358: 355: 352: 347: 343: 339: 334: 331: 328: 323: 319: 315: 310: 307: 304: 299: 295: 291: 286: 283: 280: 275: 271: 266: 260: 255: 251: 245: 242: 237: 234: 231: 228: 225: 222: 219: 190: 185: 161: 158: 155: 151: 145: 142: 139: 134: 130: 126: 121: 118: 115: 110: 106: 102: 99: 96: 84: 81: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1552: 1541: 1538: 1536: 1533: 1532: 1530: 1517: 1513: 1509: 1505: 1498: 1495: 1490: 1486: 1479: 1478: 1470: 1467: 1461: 1456: 1452: 1448: 1444: 1437: 1434: 1429: 1427:0-444-87588-3 1423: 1419: 1415: 1411: 1407: 1400: 1397: 1392: 1388: 1383: 1378: 1373: 1368: 1364: 1360: 1356: 1349: 1346: 1340: 1335: 1331: 1327: 1323: 1316: 1313: 1308: 1304: 1297: 1295: 1293: 1289: 1284: 1280: 1276: 1272: 1268: 1264: 1257: 1254: 1248: 1243: 1240: 1236: 1235: 1231: 1229: 1227: 1209: 1201: 1175: 1171: 1166: 1161: 1158: 1155: 1151: 1148: 1145: 1142: 1139: 1135: 1128: 1125: 1118: 1110: 1100: 1096: 1093: 1084: 1078: 1075: 1071: 1066: 1060: 1057: 1052: 1048: 1044: 1036: 1032: 1028: 1025: 1019: 1016: 1001: 1000: 999: 976: 970: 967: 963: 958: 947: 943: 939: 936: 930: 927: 912: 911: 910: 893: 890: 887: 881: 878: 873: 869: 848: 844: 840: 837: 834: 831: 806: 803: 781: 771: 763: 759: 755: 750: 746: 739: 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Index

probability theory
stochastic process
trajectory
Brownian motion
chord
Paul Lévy
characteristic function
soliton
Korteweg–De Vries equation
Riemann zeta function
Malliavin calculus
smooth
continuous
Banach norm
Itō integral
1-Form
Euclidean norm
Yor
doi
10.2307/2371467
JSTOR
2371467



"The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons"
doi
10.1016/j.spa.2010.01.009
"Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions"
CiteSeerX

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