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1483:. Séminaire de Probabilités XIV 1978/79. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 784. Berlin, Heidelberg: Springer.
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372:{\displaystyle S(t,W)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\left(W_{s}^{(1)}dW_{s}^{(2)}-W_{s}^{(2)}dW_{s}^{(1)}\right),}
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Helmes, Kurt; Schwane, A (1983). "Levy's stochastic area formula in higher dimensions".
1301:
Lévy, Paul M. (1950). "Wiener's random function, and other
Laplacian random functions".
51:
The process has many unexpected connections to other objects in mathematics such as the
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1515:
1475:
1404:
Ikeda, Nobuyuki; Watanabe, Shinzō (1984). "An
Introduction to Malliavin's Calculus".
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In 1983 Helmes and
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Lévy, Paul M. (1940). "Le
Mouvement Brownien Plan".
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1320:Ikeda, Nobuyuki; Taniguchi, Setsuo (2010).
714:{\displaystyle S(t,W)=\int _{W}\vartheta .}
1303:Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Stat. Proba
71:in the sense of Malliavin but that has no
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28:that describes the enclosed area of a
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40:. The process was introduced by
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1382:10.1090/S0273-0979-01-00912-0
1359:Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)
1516:10.1016/0022-1236(83)90053-8
1460:10.1016/j.bulsci.2011.07.009
1309:. Univ. California: 171–186.
902:{\displaystyle S_{t}=S(t,W)}
1556:
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