1728:
938:
41:
in two spatial dimensions (for smooth enough initial data). There is an analogous inequality for functions of three real variables, but the exponents are slightly different; much of the difficulty in establishing existence and uniqueness of solutions to the three-dimensional Navier–Stokes equations
1472:
777:
760:
1328:
626:
473:
1166:
1383:
168:
1723:{\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq {\begin{cases}C\|u\|_{L^{2,\infty }}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2},&n=2,\\C\|u\|_{L^{2,\infty }}^{1/4}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{3/4},&n=3.\end{cases}}}
1089:
1028:
37:. The original such inequality, for functions of two real variables, was introduced by Ladyzhenskaya in 1958 to prove the existence and uniqueness of long-time solutions to the
134:
100:
255:
994:
638:
1192:
933:{\displaystyle p>q\geq 1,s>n({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{p}}),{\text{ and }}{\tfrac {1}{p}}={\tfrac {\alpha }{q}}+(1-\alpha )({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {s}{n}}).}
323:
283:
192:
67:
1461:
1412:
1115:
1054:
502:
349:
1434:
303:
216:
649:
1125:
A simple modification of the argument used by
Ladyzhenskaya in her 1958 paper (see e.g. Constantin & Seregin 2010) yields the following inequality for
1203:
510:
357:
1779:
McCormick, D. S.; Robinson, J. C.; Rodrigo, J. L. (2013). "Generalised
Gagliardo–Nirenberg inequalities using weak Lebesgue spaces and BMO".
34:
1128:
1754:
Constantin, P.; Seregin, G. (2010), "Hölder continuity of solutions of 2D Navier–Stokes equations with singular forcing",
42:
stems from these different exponents. Ladyzhenskaya's inequality is one member of a broad class of inequalities known as
1339:
139:
38:
1766:(1958). "Решение "в целом" краевой задачи для уравнений Навье – Стокса в случае двух пространственных переменных".
43:
1059:
998:
1847:
1842:
1798:
1837:
1741:
105:
76:
1803:
1507:
637:
Both the two- and three-dimensional versions of
Ladyzhenskaya's inequality are special cases of the
224:
262:
1758:, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 229, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 87–95
1816:
1788:
1763:
949:
1171:
308:
268:
177:
52:
1808:
70:
1439:
1390:
258:
171:
1094:
1033:
481:
328:
755:{\displaystyle \|u\|_{L^{p}}\leq C\|u\|_{L^{q}}^{\alpha }\|u\|_{H_{0}^{s}}^{1-\alpha },}
1419:
288:
201:
195:
1831:
219:
31:
25:
1820:
1323:{\displaystyle \|u\|_{L^{2r}}\leq Cr\|u\|_{L^{r}}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2}.}
621:{\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^{2}}^{1/4}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{3/4}}
468:{\displaystyle \|u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^{2}}^{1/2}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{1/2}}
17:
1812:
1386:
28:
24:
is any of a number of related functional inequalities named after the
1793:
1385:, can be generalized (see McCormick & al. 2013) to use the
1756:
Nonlinear partial differential equations and related topics
1716:
1161:{\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
1070:
1009:
913:
898:
865:
850:
827:
812:
1475:
1442:
1422:
1393:
1342:
1206:
1174:
1131:
1097:
1062:
1036:
1001:
952:
780:
652:
513:
484:
360:
331:
311:
291:
271:
227:
204:
180:
142:
108:
79:
55:
946:Ladyzhenskaya's inequalities are the special cases
1722:
1455:
1428:
1406:
1378:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n=2{\text{ or }}3}
1377:
1322:
1186:
1160:
1109:
1083:
1048:
1022:
988:
932:
754:
620:
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277:
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210:
186:
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94:
61:
163:{\displaystyle u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }
8:
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1555:
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1278:
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682:
660:
653:
639:Gagliardo–Nirenberg interpolation inequality
589:
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426:
397:
390:
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361:
174:function that vanishes on the boundary of
1802:
1792:
1689:
1685:
1678:
1673:
1650:
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1633:
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1580:
1573:
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1291:
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371:
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155:
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118:
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86:
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81:
78:
54:
1084:{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{4}}}
1023:{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}
1336:The usual Ladyzhenskaya inequality on
7:
1663:
1640:
1558:
1535:
1281:
582:
429:
312:
272:
241:
181:
149:
56:
14:
285:). Then there exists a constant
129:{\displaystyle n=2{\text{ or }}3}
95:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
35:Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya
1150:
924:
894:
891:
879:
838:
808:
250:{\displaystyle H^{1}(\Omega )}
244:
238:
152:
1:
989:{\displaystyle p=4,q=2,s=1}
1864:
1768:Доклады Академии наук СССР
44:interpolation inequalities
22:Ladyzhenskaya's inequality
1813:10.1007/s00032-013-0202-6
1187:{\displaystyle r\geq 2}
325:such that, in the case
318:{\displaystyle \Omega }
278:{\displaystyle \Omega }
187:{\displaystyle \Omega }
62:{\displaystyle \Omega }
39:Navier–Stokes equations
1724:
1457:
1436:in place of the usual
1430:
1408:
1379:
1324:
1188:
1162:
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1085:
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1024:
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622:
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469:
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279:
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1725:
1458:
1456:{\displaystyle L^{2}}
1431:
1409:
1407:{\displaystyle L^{2}}
1380:
1325:
1189:
1163:
1112:
1086:
1051:
1025:
991:
935:
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320:
300:
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252:
213:
189:
172:weakly differentiable
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1473:
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1420:
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1340:
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1034:
999:
950:
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768:which holds whenever
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1049:{\displaystyle n=2}
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735:
709:
617:
578:
497:{\displaystyle n=3}
464:
425:
344:{\displaystyle n=2}
263:compactly supported
1764:Ладыженская, О. А.
1742:Agmon's inequality
1720:
1715:
1669:
1624:
1564:
1519:
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305:depending only on
295:
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218:is a limit in the
208:
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126:
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59:
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1370:
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858:
847:
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257:of a sequence of
211:{\displaystyle u}
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1459:
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1168:, valid for all
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535:
534:
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478:and in the case
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472:
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194:in the sense of
193:
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190:
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98:
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71:Lipschitz domain
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1657:
1653:
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1642:
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