2921:
4352:
5759:
641:
3993:
2540:
3601:
5338:
4004:
6925:
6416:
3644:
3235:
692:
correspond to the breed. In this situation, it is reasonable to expect that the breed explains a major portion of the variance in weight since there is a big variance in the breeds' average weights. Of course, there is still some variance in weight for each breed, which is taken into account in the
2916:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)={}&\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X\mid A_{i})\Pr(A_{i})+\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} ^{2}(1-\Pr(A_{i}))\Pr(A_{i})\\&{}-2\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}\operatorname {E} \Pr(A_{i})\operatorname {E} \Pr(A_{j}).\end{aligned}}}
2214:
6744:
2016:
4347:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}}_{x_{i}})^{2}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {y}}_{x_{i}}-{\bar {y}})^{2}=\operatorname {E} +\operatorname {Var} (\operatorname {E} ).}
6178:
5754:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} ={}&\operatorname {E} (\operatorname {Var} )\\&{}+\sum _{j=2}^{c-1}\operatorname {E} (\operatorname {Var} \mid H_{1t},H_{2t},\ldots ,H_{j-1,t}])\\&{}+\operatorname {Var} (\operatorname {E} ).\end{aligned}}}
4815:
4983:
6024:
6277:
1625:
1417:
4610:
1007:
3988:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}2(y_{i}-{\bar {y}}_{x_{i}})({\bar {y}}_{x_{i}}-{\bar {y}})=2\sum _{x}\left(\sum _{\{1\leq i\leq n|x_{i}=x\}}(y_{i}-{\bar {y}}_{x})\right)({\bar {y}}_{x}-{\bar {y}})=2\sum _{x}0\cdot ({\bar {y}}_{x}-{\bar {y}})=0.}
222:
3596:{\displaystyle (y_{i}-{\bar {y}})^{2}=\left(y_{i}-{\bar {y}}_{x_{i}}+{\bar {y}}_{x_{i}}-{\bar {y}}\right)^{2}=(y_{i}-{\bar {y}}_{x_{i}})^{2}+({\bar {y}}_{x_{i}}-{\bar {y}})^{2}+2(y_{i}-{\bar {y}}_{x_{i}})({\bar {y}}_{x_{i}}-{\bar {y}}).}
4448:
2021:
1790:
5115:
5924:
6076:
6702:
5343:
4637:
4822:
1118:
5929:
2545:
615:
543:
6920:{\displaystyle \mu _{3}(Y)=\operatorname {E} \left(\mu _{3}(Y\mid X)\right)+\mu _{3}(\operatorname {E} (Y\mid X))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (Y\mid X),\operatorname {var} (Y\mid X)).}
3224:
3020:
2408:
5857:
4453:
5255:
3102:
6552:
6253:
2446:
2257:
468:
120:
1255:
336:
226:
In language perhaps better known to statisticians than to probability theorists, the two terms are the "unexplained" and the "explained" components of the variance respectively (cf.
1504:
1333:
1064:
930:
2535:
5023:
1214:
422:
296:
935:
6411:{\displaystyle \iota _{Y\mid X}={\operatorname {Var} (\operatorname {E} (Y\mid X)) \over \operatorname {Var} (Y)}=\operatorname {Corr} (\operatorname {E} (Y\mid X),Y)^{2},}
4369:
3636:
6739:
5333:
1785:
6514:
6212:
5801:
3052:
2478:
5284:
5151:
5028:
1173:
2329:
6479:
6071:
5862:
5307:
5174:
2280:
7133:
6592:
6572:
6456:
6436:
6273:
6048:
4632:
3142:
3122:
2925:
In this formula, the first component is the expectation of the conditional variance; the other two components are the variance of the conditional expectation.
2349:
2300:
1497:
1477:
1457:
1437:
1328:
1308:
1143:
816:
795:
767:
747:
714:
690:
670:
635:
563:
488:
376:
356:
113:
81:
61:
7138:
7053:
Bowsher, C.G. and P.S. Swain, Identifying sources of variation and the flow of information in biochemical networks, PNAS May 15, 2012 109 (20) E1320-E1328.
6601:
5257:, each one corresponding to the history (trajectory) of a different collection of system variables. The collections need not be disjoint. The variance of
250:). These two components are also the source of the term "Eve's law", from the initials EV VE for "expectation of variance" and "variance of expectation".
617:
is the variance of the expected values, i.e., it represents the part of the variance that is explained by the variation of the average value of
7022:
2209:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y\mid X_{1})=\operatorname {E} \left+\operatorname {Var} \left(\operatorname {E} \left\mid X_{1}\right).}
7128:
5124:
The following formula shows how to apply the general, measure theoretic variance decomposition formula to stochastic dynamic systems. Let
2011:{\displaystyle \operatorname {Var} =\operatorname {E} \left+\operatorname {E} \mid X_{1})]+\operatorname {Var} (\operatorname {E} \left),}
2351:(this is where adherence to the conventional and rigidly case-sensitive notation of probability theory becomes important!). If we write
5806:
1069:
7108:
6173:{\displaystyle {\operatorname {Var} (\operatorname {E} (Y\mid X)) \over \operatorname {Var} (Y)}=\operatorname {Corr} (X,Y)^{2}.}
227:
7143:
568:
496:
4450:
from the definition of variance. Again, from the definition of variance, and applying the law of total expectation, we have
716:(e.g., for each breed in the example above) are very distinct, those variances are still combined in the "unexplained" term.
1704:. Then the first, "unexplained" term on the right-hand side of the above formula is the weighted average of the variances,
3147:
4810:{\displaystyle \operatorname {E} \left-\operatorname {E} ^{2}=\operatorname {E} \left^{2}\right]-\operatorname {E} ]^{2}.}
4978:{\displaystyle =\left(\operatorname {E} \right)+\left(\operatorname {E} \left^{2}\right]-\operatorname {E} ]^{2}\right).}
2941:
6952:
2354:
6019:{\displaystyle b=\operatorname {E} (Y)-{\operatorname {Cov} (Y,X) \over \operatorname {Var} (X)}\operatorname {E} (X)}
5183:
7014:
7006:
3060:
2219:
7148:
6519:
6220:
2413:
2224:
427:
4987:
Finally, we recognize the terms in the second set of parentheses as the variance of the conditional expectation
6594:
itself has a (marginal) Gaussian distribution, this explained component of variation sets a lower bound on the
4363:
2488:
1220:
301:
5763:
The decomposition is not unique. It depends on the order of the conditioning in the sequential decomposition.
1620:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} +\operatorname {Var} (\operatorname {E} )=800+0=800.}
1412:{\displaystyle \left({\frac {3}{5}}\right)\left({\frac {3800}{3}}\right)+\left({\frac {2}{5}}\right)(100)=800}
2537:
is a partition of the whole outcome space, that is, these events are mutually exclusive and exhaustive, then
6946:
1015:
881:
6934:
4634:
in terms of its variance and first moment, and apply the law of total expectation on the right hand side:
4605:{\displaystyle \operatorname {E} \left=\operatorname {E} \left\right]=\operatorname {E} \left^{2}\right].}
2494:
4990:
1179:
381:
261:
1002:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X={\text{International}})={\frac {3800}{3}}=1266.{\overline {6}}}
696:
Note that the "explained" term actually means "explained by the averages." If variances for each fixed
7076:
2481:
649:
6026:
and the explained component of the variance divided by the total variance is just the square of the
217:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} +\operatorname {Var} (\operatorname {E} ).}
3609:
1654:
231:
6595:
5177:
1499:. In this case, it is zero, since the mean is the same for each group. So the total variation is
239:
20:
6999:
7104:
7018:
6717:
769:
indicate whether the student is international or domestic. The data is summarized as follows:
235:
88:
5312:
1764:
6484:
6185:
5774:
4819:
Since the expectation of a sum is the sum of expectations, the terms can now be regrouped:
3025:
2451:
5260:
5127:
1149:
84:
6955: – Effect of variables' uncertainties on the uncertainty of a function based on them
2308:
490:
to group the outcomes and then compute the expected values and variances for each group.
6461:
6053:
5289:
5156:
2262:
6712:
6577:
6557:
6441:
6421:
6258:
6033:
4617:
3127:
3107:
2334:
2285:
1482:
1462:
1442:
1422:
1313:
1293:
1128:
801:
780:
752:
732:
699:
675:
655:
620:
548:
473:
361:
341:
98:
66:
46:
4443:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} \left-\operatorname {E} ^{2}}
7122:
640:
1724:, and the second, "explained" term is the variance of the distribution that gives
6027:
5803:
are such that the conditional expected value is linear; that is, in cases where
648:
For an illustration, consider the example of a dog show (a selected excerpt of
5110:{\displaystyle =\operatorname {E} +\operatorname {Var} (\operatorname {E} ).}
1787:
components (see below). For example, with two conditioning random variables:
258:
To understand the formula above, we need to comprehend the random variables
242:, the first component is called the expected value of the process variance (
5919:{\displaystyle a={\operatorname {Cov} (Y,X) \over \operatorname {Var} (X)}}
2259:
is a random variable in its own right, whose value depends on the value of
6930:
92:
5767:
The square of the correlation and explained (or informational) variation
729:
Five graduate students take an exam that is graded from 0 to 100. Let
6988:
Joseph K. Blitzstein and
Jessica Hwang: "Introduction to Probability"
6697:{\displaystyle \operatorname {I} (Y;X)\geq \ln \left(^{-1/2}\right).}
246:) and the second is called the variance of the hypothetical means (
639:
1330:
is the mean of the variances for each group. In this case, it is
470:
are constant numbers. Essentially, we use the possible values of
1113:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X={\text{Domestic}})=100}
6554:
has a
Gaussian distribution (and is an invertible function of
5120:
General variance decomposition applicable to dynamic systems
2018:
which follows from the law of total conditional variance:
6949: – Formula in probability theory − a generalization
610:{\displaystyle \operatorname {Var} (\operatorname {E} )}
538:{\displaystyle \operatorname {E} (\operatorname {Var} )}
6957:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
1761:
There is a general variance decomposition formula for
6747:
6720:
6604:
6580:
6560:
6522:
6487:
6464:
6444:
6424:
6280:
6261:
6223:
6188:
6079:
6056:
6036:
5932:
5865:
5859:it follows from the bilinearity of covariance that
5809:
5777:
5341:
5315:
5292:
5263:
5186:
5159:
5130:
5031:
4993:
4825:
4640:
4620:
4456:
4372:
4007:
3647:
3612:
3238:
3219:{\displaystyle {\bar {y}}_{x_{i}}=\operatorname {E} }
3150:
3130:
3110:
3063:
3028:
2944:
2543:
2497:
2454:
2416:
2357:
2337:
2311:
2288:
2265:
2227:
2024:
1793:
1767:
1507:
1485:
1465:
1445:
1425:
1336:
1316:
1296:
1223:
1182:
1152:
1131:
1072:
1018:
938:
884:
804:
783:
755:
735:
702:
678:
658:
623:
571:
551:
499:
476:
430:
384:
364:
344:
304:
264:
123:
101:
69:
49:
3015:{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
1638:is a coin flip with the probability of heads being
7066:, Addison–Wesley, 2005, pages 380–383.
6979:, Addison–Wesley, 2005, pages 385–386.
6919:
6733:
6696:
6586:
6566:
6546:
6508:
6473:
6450:
6430:
6410:
6267:
6247:
6206:
6172:
6065:
6042:
6018:
5918:
5851:
5795:
5753:
5327:
5301:
5278:
5249:
5168:
5145:
5109:
5017:
4977:
4809:
4626:
4604:
4442:
4362:The law of total variance can be proved using the
4346:
3987:
3630:
3595:
3218:
3136:
3116:
3096:
3046:
3014:
2915:
2529:
2472:
2440:
2403:{\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X=x)=g(x)}
2402:
2343:
2323:
2294:
2274:
2251:
2208:
2010:
1779:
1619:
1491:
1471:
1451:
1431:
1411:
1322:
1302:
1249:
1208:
1167:
1137:
1112:
1058:
1001:
924:
810:
789:
761:
741:
708:
684:
664:
629:
609:
557:
537:
482:
462:
416:
370:
350:
330:
290:
216:
107:
75:
55:
6217:More generally, when the conditional expectation
6214:have a bivariate normal (Gaussian) distribution.
5852:{\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)=aX+b,}
6481:using data drawn from the joint distribution of
4614:Now we rewrite the conditional second moment of
2887:
2840:
2730:
2708:
2621:
5250:{\displaystyle H_{1t},H_{2t},\ldots ,H_{c-1,t}}
1479:inside each group defined by the values of the
7086:. Harvard University, Department of Statistics
2282:Notice that the conditional expected value of
545:is simply the average of all the variances of
6998:Mahler, Howard C.; Dean, Curtis Gary (2001).
3097:{\displaystyle {\bar {y}}=\operatorname {E} }
565:within each group. The "explained" component
8:
7103:. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.
3829:
3790:
1686:is drawn from normal distribution with mean
6547:{\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}
6248:{\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}
2441:{\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}
2252:{\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}
463:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)}
5153:be the value of a system variable at time
878:Among international students, the mean is
7011:Foundations of Casualty Actuarial Science
6818:
6785:
6752:
6746:
6725:
6719:
6676:
6669:
6653:
6603:
6579:
6559:
6521:
6486:
6463:
6443:
6423:
6399:
6300:
6285:
6279:
6260:
6222:
6187:
6161:
6080:
6078:
6055:
6035:
5957:
5931:
5872:
5864:
5808:
5776:
5729:
5687:
5656:
5634:
5618:
5599:
5577:
5561:
5503:
5492:
5483:
5452:
5430:
5414:
5373:
5342:
5340:
5314:
5291:
5262:
5229:
5207:
5191:
5185:
5158:
5129:
5030:
4992:
4961:
4913:
4824:
4798:
4750:
4684:
4655:
4639:
4619:
4588:
4508:
4471:
4455:
4434:
4405:
4371:
4263:
4248:
4247:
4236:
4231:
4220:
4219:
4209:
4198:
4184:
4175:
4163:
4158:
4147:
4146:
4136:
4123:
4112:
4098:
4089:
4074:
4073:
4064:
4051:
4040:
4026:
4006:
3965:
3964:
3955:
3944:
3943:
3927:
3903:
3902:
3893:
3882:
3881:
3863:
3852:
3851:
3841:
3817:
3808:
3789:
3774:
3750:
3749:
3738:
3733:
3722:
3721:
3706:
3701:
3690:
3689:
3679:
3663:
3652:
3646:
3611:
3576:
3575:
3564:
3559:
3548:
3547:
3532:
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3515:
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3329:
3317:
3312:
3301:
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3271:
3256:
3255:
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3237:
3207:
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3169:
3164:
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3129:
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3065:
3064:
3062:
3027:
3003:
2990:
2965:
2952:
2943:
2897:
2878:
2850:
2831:
2800:
2789:
2779:
2768:
2756:
2740:
2718:
2693:
2683:
2658:
2647:
2631:
2612:
2587:
2576:
2566:
2544:
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1315:
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657:
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429:
397:
383:
363:
343:
338:. These variables depend on the value of
331:{\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X)}
317:
303:
277:
263:
122:
100:
68:
48:
6438:squared from a non-linear regression of
5176:Suppose we have the internal histories (
1122:
771:
6968:
6182:One example of this situation is when
1059:{\displaystyle \operatorname {E} =50}
1012:Among domestic students, the mean is
925:{\displaystyle \operatorname {E} =50}
7:
7134:Statistical deviation and dispersion
7049:
7047:
7045:
7043:
7041:
7139:Theory of probability distributions
7077:"Stat 110 Final Review (Eve's Law)"
2530:{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
6866:
6827:
6770:
6605:
6523:
6368:
6312:
6224:
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4272:
3180:
3079:
2859:
2812:
2664:
2487:One special case, (similar to the
2417:
2358:
2228:
2140:
2056:
1970:
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1876:
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1183:
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500:
417:{\displaystyle \operatorname {E} }
385:
291:{\displaystyle \operatorname {E} }
265:
187:
142:
14:
5286:can be decomposed, for all times
672:correspond to the dog weight and
6933:, a generalization exists. See
1459:is the variance of the means of
228:fraction of variance unexplained
749:denote the student's grade and
6911:
6908:
6896:
6884:
6872:
6863:
6848:
6845:
6833:
6824:
6803:
6791:
6764:
6758:
6666:
6640:
6623:
6611:
6541:
6529:
6500:
6488:
6418:which can be estimated as the
6396:
6386:
6374:
6365:
6350:
6344:
6333:
6330:
6318:
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6230:
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6145:
6130:
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6013:
6007:
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5989:
5978:
5966:
5951:
5945:
5910:
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5881:
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5816:
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5778:
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5713:
5707:
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5674:
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5545:
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5470:
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5352:
5273:
5267:
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4861:
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4779:
4770:
4747:
4734:
4722:
4710:
4681:
4674:
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4572:
4560:
4548:
4520:
4501:
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4424:
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4379:
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4335:
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4287:
4278:
4260:
4253:
4225:
4215:
4172:
4152:
4129:
4086:
4079:
4057:
4020:
4014:
3976:
3970:
3949:
3939:
3914:
3908:
3887:
3877:
3869:
3857:
3834:
3809:
3761:
3755:
3727:
3717:
3714:
3695:
3672:
3587:
3581:
3553:
3543:
3540:
3521:
3498:
3483:
3476:
3448:
3438:
3426:
3406:
3383:
3363:
3335:
3306:
3268:
3261:
3239:
3213:
3193:
3186:
3158:
3091:
3085:
3070:
3041:
3029:
3009:
2983:
2971:
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2903:
2890:
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2865:
2856:
2843:
2837:
2818:
2746:
2733:
2727:
2724:
2711:
2699:
2690:
2670:
2637:
2624:
2618:
2599:
2560:
2554:
2480:Similar comments apply to the
2464:
2458:
2435:
2423:
2397:
2391:
2382:
2364:
2246:
2234:
2105:
2073:
2050:
2031:
2002:
1967:
1955:
1952:
1891:
1882:
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1800:
1596:
1593:
1586:
1579:
1570:
1558:
1555:
1548:
1541:
1532:
1520:
1514:
1419:. The part of the variance of
1400:
1394:
1244:
1237:
1230:
1203:
1196:
1189:
1162:
1156:
1101:
1086:
1079:
1047:
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1025:
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952:
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898:
891:
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601:
594:
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437:
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318:
311:
285:
278:
271:
208:
205:
193:
184:
172:
169:
157:
148:
136:
130:
29:variance decomposition formula
1:
7099:Billingsley, Patrick (1995).
3631:{\displaystyle 1\leq i\leq n}
3104:and, for each possible value
33:conditional variance formulas
16:Theorem in probability theory
6953:Law of propagation of errors
6711:A similar law for the third
6255:is a non-linear function of
1290:The part of the variance of
994:
650:Analysis_of_variance#Example
493:The "unexplained" component
7129:Algebra of random variables
652:). Let the random variable
7165:
7015:Casualty Actuarial Society
7007:Casualty Actuarial Society
3638:, the last parcel becomes
2220:conditional expected value
2410:then the random variable
37:law of iterated variances
7000:"Chapter 8: Credibility"
6734:{\displaystyle \mu _{3}}
6073:that is, in such cases,
4364:law of total expectation
2489:law of total expectation
7101:Probability and Measure
7064:A Course in Probability
6977:A Course in Probability
6947:Law of total covariance
5335:components as follows:
5328:{\displaystyle c\geq 2}
1780:{\displaystyle c\geq 2}
1695:and standard deviation
1666:and standard deviation
644:Weight of dogs by breed
7144:Theorems in statistics
6935:law of total cumulance
6921:
6735:
6698:
6588:
6568:
6548:
6510:
6509:{\displaystyle (X,Y).}
6475:
6452:
6432:
6412:
6269:
6249:
6208:
6174:
6067:
6044:
6020:
5920:
5853:
5797:
5755:
5514:
5329:
5303:
5280:
5251:
5170:
5147:
5111:
5019:
4979:
4811:
4628:
4606:
4444:
4348:
4214:
4128:
4056:
3989:
3668:
3632:
3597:
3220:
3138:
3118:
3098:
3048:
3022:be observed values of
3016:
2917:
2811:
2784:
2663:
2592:
2531:
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2442:
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2345:
2325:
2296:
2276:
2253:
2210:
2012:
1781:
1621:
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1304:
1251:
1210:
1169:
1139:
1114:
1060:
1003:
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812:
791:
763:
743:
710:
686:
666:
645:
631:
611:
559:
539:
484:
464:
418:
372:
352:
332:
292:
218:
109:
77:
57:
6922:
6736:
6699:
6589:
6569:
6549:
6511:
6476:
6453:
6433:
6413:
6270:
6250:
6209:
6207:{\displaystyle (X,Y)}
6175:
6068:
6045:
6021:
5921:
5854:
5798:
5796:{\displaystyle (Y,X)}
5756:
5488:
5330:
5304:
5281:
5252:
5171:
5148:
5112:
5020:
4980:
4812:
4629:
4607:
4445:
4349:
4194:
4108:
4036:
3990:
3648:
3633:
3598:
3221:
3139:
3119:
3099:
3049:
3047:{\displaystyle (X,Y)}
3017:
2918:
2785:
2764:
2643:
2572:
2532:
2475:
2473:{\displaystyle g(X).}
2443:
2405:
2346:
2326:
2297:
2277:
2254:
2211:
2013:
1782:
1642:. Suppose that when
1622:
1494:
1474:
1454:
1434:
1414:
1325:
1305:
1252:
1211:
1170:
1140:
1115:
1061:
1004:
927:
813:
792:
764:
744:
711:
687:
667:
643:
632:
612:
560:
540:
485:
465:
419:
373:
353:
333:
293:
219:
110:
78:
58:
25:law of total variance
7017:. pp. 525–526.
6745:
6718:
6602:
6578:
6558:
6520:
6485:
6462:
6442:
6422:
6278:
6259:
6221:
6186:
6077:
6054:
6034:
5930:
5863:
5807:
5775:
5339:
5313:
5290:
5279:{\displaystyle Y(t)}
5261:
5184:
5157:
5146:{\displaystyle Y(t)}
5128:
5029:
4991:
4823:
4638:
4618:
4454:
4370:
4005:
3645:
3610:
3236:
3148:
3128:
3108:
3061:
3054:, with repetitions.
3026:
2942:
2541:
2495:
2482:conditional variance
2452:
2414:
2355:
2335:
2309:
2286:
2263:
2225:
2022:
1791:
1765:
1505:
1483:
1463:
1443:
1423:
1334:
1314:
1294:
1221:
1180:
1168:{\displaystyle P(X)}
1150:
1129:
1070:
1066:and the variance is
1016:
936:
932:and the variance is
882:
802:
781:
753:
733:
700:
693:"unexplained" term.
676:
656:
621:
569:
549:
497:
474:
428:
382:
362:
342:
302:
262:
121:
99:
67:
47:
5178:natural filtrations
2324:{\displaystyle X=x}
1655:normal distribution
232:explained variation
7115:(Problem 34.10(b))
6917:
6731:
6694:
6596:mutual information
6584:
6564:
6544:
6506:
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6471:
6448:
6428:
6408:
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6245:
6204:
6170:
6066:{\displaystyle X;}
6063:
6040:
6016:
5916:
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5793:
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5749:
5325:
5302:{\displaystyle t,}
5299:
5276:
5247:
5169:{\displaystyle t.}
5166:
5143:
5107:
5015:
4975:
4807:
4624:
4602:
4440:
4344:
3985:
3932:
3833:
3779:
3628:
3606:Summing these for
3593:
3216:
3134:
3114:
3094:
3044:
3012:
2913:
2911:
2527:
2470:
2438:
2400:
2341:
2321:
2292:
2275:{\displaystyle X.}
2272:
2249:
2206:
2008:
1777:
1617:
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1449:
1429:
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1320:
1300:
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