818:
541:
613:
366:
197:
813:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right)}
260:
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858:
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536:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right).}
1060:
109:
1065:
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25:
941:
883:
968:
900:
1036:
946:
Bernoulli, Bayes, Laplace: Proceedings of an
International Research Seminar
940:(1963). "On the Distribution of Sums of Independent Random Variables". In
550:
and the above inequality bounds the approximation error in terms of the
104:(i.e., equal to either 0 or 1), not necessarily identically distributed.
992:
984:
192:{\displaystyle \Pr(X_{i}=1)=p_{i},{\text{ for }}i=1,2,3,\ldots .}
884:"An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution"
863:
It is also possible to weaken the independence requirement.
846:
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616:
589:
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254:
191:
85:
255:{\displaystyle \lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.}
969:"Le Cam's Inequality and Poisson Approximations"
847:
643:
396:
113:
948:. New York: Springer-Verlag. pp. 179–202.
8:
546:In other words, the sum has approximately a
318:{\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}
899:
845:
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576:, we see that this generalizes the usual
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86:{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }
71:
58:
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39:
1011:Probability Theory: the Coupling Method
871:
610:is large a better bound is possible:
7:
633:
386:
14:
973:The American Mathematical Monthly
888:Pacific Journal of Mathematics
665:
646:
418:
399:
135:
116:
1:
354:Poisson binomial distribution
603:{\displaystyle \lambda _{n}}
1087:
1061:Probabilistic inequalities
1066:Statistical inequalities
944:; Lucien le Cam (eds.).
901:10.2140/pjm.1960.10.1181
552:total variation distance
28:, states the following.
833:{\displaystyle \wedge }
1071:Theorems in statistics
1009:den Hollander, Frank.
967:Steele, J. M. (1994).
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557:By setting
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1037:MathWorld
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882:(1960).
820:, where
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325:(i.e.
989:JSTOR
583:When
360:Then
726:<
479:<
93:are
981:doi
977:101
914:Zbl
896:doi
848:min
566:= λ
16:In
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1001:^
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