2635:
2234:
2630:{\displaystyle {\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left,x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}}
149:
The construction of this differential on an exterior algebra makes sense for any Lie algebra, so it is used to define Lie algebra cohomology for all Lie algebras. More generally one uses a similar construction to define Lie algebra cohomology with coefficients in a module.
3206:
4717:
3338:
1416:
580:
3644:
1721:
682:
474:
5002:
1905:
1304:
2935:
1794:
936:
2865:
1184:
755:
221:. The reason for this is that the passage from the complex of all differential forms to the complex of left-invariant differential forms uses an averaging process that only makes sense for compact groups.
1113:
4666:
2239:
4871:
4552:
4452:
3093:
4034:
2753:
3722:
4827:
3583:
4946:
2003:
1598:
1529:
3225:
2788:
5075:
3077:
110:
Lie group, then it is determined by its Lie algebra, so it should be possible to calculate its cohomology from the Lie algebra. This can be done as follows. Its cohomology is the
1337:
1215:
4759:
2101:
1963:
1558:
1445:
4650:
4601:
4313:
3013:
347:
288:
4370:
3963:
3790:
3746:
3037:
2959:
2684:
2129:
2064:
1818:
1642:
1469:
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1239:
1137:
1027:
963:
846:
802:
493:
375:
320:
251:
199:
3915:
5196:
3447:
142:. The left-invariant forms, meanwhile, are determined by their values at the identity, so that the space of left-invariant differential forms can be identified with the
4343:
3597:
4490:
2040:
1647:
4516:
3488:
591:
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2204:
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4260:
4153:
4133:
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4058:
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3850:
3830:
3810:
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3667:
3531:
3511:
3382:
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2979:
2704:
2660:
2172:
2152:
1925:
1838:
1618:
1489:
1067:
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1003:
983:
866:
822:
219:
171:
136:
104:
4240:
4951:
765:
1843:
1247:
2870:
1729:
877:
5295:
5262:
4554:. In light of the de-Rham correspondence, this shows the importance of the compact assumption, as this is the first cohomology group of the
2796:
761:
1142:
701:
1072:
5094:
2686:, the Chevalley–Eilenberg complex may also be canonically identified with the space of left-invariant forms with values in
5205:
5005:
2755:. The Chevalley–Eilenberg differential may then be thought of as a restriction of the covariant derivative on the trivial
139:
5327:
5322:
261:
5024:
3201:{\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}
1139:
is finitely generated as vector space, the
Chevalley–Eilenberg complex is canonically isomorphic to the tensor product
4839:
2006:
4521:
4421:
5287:
5123:
295:
75:
3997:
2709:
1331:
4712:{\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0.}
3675:
4768:
3333:{\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}
2791:
3917:, as mentioned earlier the Chevalley–Eilenberg complex coincides with the de-Rham complex for a corresponding
3542:
4878:
1968:
1563:
1494:
2761:
1411:{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}
3046:
5167:
107:
1189:
5332:
4720:
4658:
3589:
575:{\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}
4734:
3087:
The zeroth cohomology group is (by definition) the invariants of the Lie algebra acting on the module:
2069:
1930:
1534:
1421:
4626:
4577:
4268:
2984:
325:
266:
5159:
4351:
3944:
3853:
3771:
3727:
3018:
2940:
2665:
2110:
2045:
1799:
1623:
1450:
1309:
1220:
1118:
1008:
944:
827:
783:
356:
301:
232:
180:
5172:
3892:
4719:
Finite dimensional, simple Lie algebras only have trivial central extensions: a proof is provided
5227:
5149:
4316:
3639:{\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}
3040:
769:
111:
3390:
1716:{\displaystyle k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})}
691:
for the definition of Tor), which is equivalent to the left derived functors of the right exact
4322:
677:{\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}
469:{\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}
5291:
5258:
5219:
5066:
115:
55:
4457:
2012:
5279:
5209:
5191:
5187:
5084:
4495:
3458:
143:
67:
63:
5305:
5272:
5239:
4158:
4086:
2177:
5301:
5268:
5254:
5235:
3968:
2104:
484:
59:
5163:
4375:
2209:
5115:
5044:
5018:
4762:
4606:
4557:
4245:
4138:
4118:
4066:
4043:
3924:
3859:
3835:
3815:
3795:
3751:
3652:
3516:
3496:
3367:
3347:
2964:
2689:
2645:
2157:
2137:
1910:
1823:
1603:
1474:
1052:
1032:
988:
968:
851:
807:
204:
156:
121:
89:
47:
4657:
Second cohomology: The second cohomology group is the space of equivalence classes of
4205:
5316:
4997:{\displaystyle {\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}({\mathfrak {g}}).}
4454:
is in fact a derivation, and the set of inner derivations is trivial as they satisfy
17:
5246:
5137:
2756:
254:
43:
5070:
1900:{\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}}
692:
688:
480:
31:
5253:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 4 (2nd ed.), Berlin, New York:
1531:
according to the graded
Leibniz rule. It follows from the Jacobi identity that
39:
5223:
4345:, so the space of derivations is trivial, so the first cohomology is trivial.
3039:, the Chevalley–Eilenberg differential coincides with the restriction of the
1299:{\displaystyle \colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}
138:. Using an averaging process, this complex can be replaced by the complex of
5140:; Crans, Alissa S. (2004). "Higher-dimensional algebra VI: Lie 2-algebras".
2930:{\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}
1789:{\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}
51:
5047:(1929). "Sur les invariants intégraux de certains espaces homogènes clos".
760:
Some important basic results about the cohomology of Lie algebras include
931:{\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)}
5231:
5089:
2860:{\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))}
5154:
5214:
177:
Lie group, the Lie algebra cohomology of the associated Lie algebra
1179:{\displaystyle M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}
750:{\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}
483:
for the definition of Ext). Equivalently, these are the right
3724:
gives an equivalence class of ways to extend the Lie algebra
5194:(1948), "Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras",
1418:
by duality. The latter is sufficient to define a derivation
62:
to properties of the Lie algebra. It was later extended by
201:
does not necessarily reproduce the de Rham cohomology of
1108:{\displaystyle f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}
3079:
to the subspace of left-invariant differential forms.
4954:
4881:
4875:
First cohomology: the inner derivations are given by
4842:
4771:
4737:
4669:
4629:
4609:
4580:
4560:
4524:
4498:
4460:
4424:
4378:
4354:
4325:
4271:
4248:
4208:
4161:
4141:
4121:
4089:
4069:
4046:
4000:
3971:
3947:
3927:
3895:
3862:
3838:
3818:
3798:
3774:
3754:
3730:
3678:
3655:
3600:
3545:
3519:
3499:
3461:
3393:
3370:
3350:
3228:
3096:
3049:
3021:
2987:
2967:
2943:
2873:
2799:
2764:
2712:
2692:
2668:
2648:
2237:
2212:
2180:
2160:
2140:
2113:
2072:
2048:
2015:
1971:
1933:
1913:
1846:
1826:
1802:
1732:
1650:
1626:
1606:
1566:
1537:
1497:
1477:
1453:
1424:
1340:
1312:
1250:
1223:
1192:
1145:
1121:
1075:
1055:
1035:
1011:
991:
971:
947:
880:
854:
830:
810:
786:
704:
594:
496:
386:
359:
328:
304:
269:
235:
207:
183:
159:
124:
92:
4603:
can also be viewed as an abelian group of dimension
585:
Analogously, one can define Lie algebra homology as
4996:
4940:
4865:
4821:
4753:
4711:
4644:
4615:
4595:
4566:
4546:
4518:. Then the first cohomology group in this case is
4510:
4484:
4446:
4410:
4364:
4337:
4307:
4254:
4234:
4194:
4147:
4127:
4107:
4075:
4052:
4028:
3986:
3957:
3933:
3909:
3868:
3844:
3824:
3804:
3784:
3760:
3740:
3716:
3661:
3638:
3577:
3525:
3505:
3482:
3441:
3376:
3356:
3332:
3200:
3071:
3031:
3007:
2973:
2953:
2929:
2859:
2782:
2747:
2698:
2678:
2654:
2639:where the caret signifies omitting that argument.
2629:
2221:
2198:
2166:
2146:
2123:
2095:
2058:
2034:
1997:
1957:
1919:
1899:
1832:
1812:
1788:
1715:
1636:
1612:
1592:
1552:
1523:
1483:
1463:
1439:
1410:
1322:
1298:
1233:
1209:
1178:
1131:
1107:
1061:
1041:
1021:
997:
977:
957:
930:
860:
840:
816:
796:
749:
676:
574:
468:
369:
341:
314:
282:
245:
213:
193:
165:
146:of the Lie algebra, with a suitable differential.
130:
98:
71:
5197:Transactions of the American Mathematical Society
2042:following from the Lie algebra homomorphism from
4866:{\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}
1600:and is in fact a differential. In this setting,
5049:Annales de la Société Polonaise de Mathématique
4547:{\displaystyle M^{{\text{dim}}{\mathfrak {g}}}}
3672:Similarly, any element of the cohomology group
5071:"Homologie et cohomologie des algèbres de Lie"
4447:{\displaystyle D:{\mathfrak {g}}\rightarrow M}
487:of the left exact invariant submodule functor
5076:Bulletin de la Société Mathématique de France
3856:with nonzero terms only in degrees 0 through
8:
3192:
3144:
566:
518:
5004:The first cohomology group is the space of
4029:{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},a\in M}
2748:{\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}}
3717:{\displaystyle H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)}
5213:
5171:
5153:
5088:
4982:
4981:
4973:
4964:
4963:
4955:
4953:
4921:
4880:
4854:
4853:
4844:
4843:
4841:
4822:{\displaystyle x\cdot y=={\text{ad}}(x)y}
4802:
4770:
4745:
4744:
4736:
4697:
4696:
4687:
4686:
4677:
4676:
4668:
4636:
4632:
4631:
4628:
4608:
4587:
4583:
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4579:
4559:
4536:
4535:
4530:
4529:
4523:
4497:
4459:
4432:
4431:
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4393:
4392:
4383:
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4377:
4356:
4355:
4353:
4324:
4299:
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4275:
4270:
4247:
4223:
4222:
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4120:
4088:
4068:
4045:
4008:
4007:
3999:
3970:
3949:
3948:
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3926:
3903:
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3861:
3837:
3817:
3797:
3776:
3775:
3773:
3753:
3732:
3731:
3729:
3699:
3698:
3683:
3677:
3654:
3624:
3623:
3614:
3613:
3599:
3560:
3559:
3550:
3544:
3518:
3498:
3460:
3392:
3369:
3349:
3329:
3314:
3313:
3296:
3291:
3276:
3275:
3261:
3243:
3242:
3233:
3227:
3186:
3185:
3174:
3134:
3133:
3111:
3110:
3101:
3095:
3054:
3048:
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2986:
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2071:
2050:
2049:
2047:
2020:
2014:
1983:
1977:
1976:
1970:
1943:
1938:
1932:
1912:
1891:
1885:
1884:
1856:
1851:
1845:
1825:
1804:
1803:
1801:
1763:
1754:
1753:
1739:
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1703:
1702:
1684:
1675:
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1625:
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236:
234:
206:
185:
184:
182:
158:
123:
91:
5284:Lie groups, Lie algebras, and cohomology
3578:{\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}
3211:The first cohomology group is the space
1927:is then the unique derivation extending
5036:
4941:{\displaystyle Dx=xy==-{\text{ad}}(y)x}
4574:-torus viewed as an abelian group, and
3588:is the space of equivalence classes of
3452:and is called inner if it is given by
3015:is equipped with the trivial action of
1998:{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}
1907:. The Chevalley–Eilenberg differential
1593:{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{2}=0}
1524:{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}
5120:An introduction to homological algebra
2783:{\displaystyle G\times M\rightarrow G}
5142:Theory and Applications of Categories
4948:, so they are precisely the image of
4063:First cohomology: given a derivation
3072:{\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G)}
2662:is a real Lie group with Lie algebra
58:by relating cohomological methods of
46:. It was first introduced in 1929 by
7:
5286:, Mathematical Notes, vol. 34,
2134:Explicitly, the differential of the
377:, one defines the cohomology groups
4983:
4965:
4855:
4845:
4833:The zeroth cohomology group is the
4746:
4698:
4688:
4678:
4537:
4433:
4394:
4384:
4357:
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4287:
4277:
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4214:
4009:
3950:
3777:
3733:
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3561:
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3277:
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3024:
2946:
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1978:
1886:
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1573:
1544:
1504:
1456:
1431:
1397:
1370:
1347:
1315:
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1281:
1226:
1210:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
1196:
1165:
1124:
1094:
1014:
950:
914:
833:
789:
736:
717:
652:
612:
561:
509:
439:
404:
362:
334:
307:
275:
255:Lie algebra over a commutative ring
238:
186:
4202:for all commutators, so the ideal
3306:
3303:
3300:
3297:
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3265:
3262:
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2905:
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2080:
2077:
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1767:
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1743:
1740:
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1688:
1685:
1658:
1385:
1270:
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1083:
903:
889:
886:
883:
637:
634:
631:
597:
429:
426:
423:
389:
74:) to coefficients in an arbitrary
27:Cohomology theory for Lie algebras
25:
4754:{\displaystyle M={\mathfrak {g}}}
3649:of the Lie algebra by the module
3215:of derivations modulo the space
2096:{\displaystyle \mathrm {End} (M)}
1958:{\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}}
1553:{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}
1440:{\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}
1217:denotes the dual vector space of
140:left-invariant differential forms
4727:Cohomology on the adjoint module
4645:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4596:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4308:{\displaystyle ={\mathfrak {g}}}
3885:Cohomology on the trivial module
3008:{\displaystyle M=k=\mathbb {R} }
2867:associated with the left action
2790:, equipped with the equivariant
1840:and regard it as an application
1723:may be thought of as constants.
1447:of the complex of cochains from
342:{\displaystyle U{\mathfrak {g}}}
283:{\displaystyle U{\mathfrak {g}}}
5251:A course in homological algebra
5097:from the original on 2019-04-21
4365:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4040:The zeroth cohomology group is
3958:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3785:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3741:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3032:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2981:. In the particular case where
2954:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2679:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2124:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2059:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1813:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1637:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1464:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1323:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1234:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1132:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1022:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
958:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
841:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
797:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
370:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
353:as a trivial representation of
315:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
246:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
194:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4988:
4978:
4970:
4932:
4926:
4912:
4900:
4860:
4850:
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4807:
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4703:
4693:
4683:
4673:
4438:
4399:
4379:
4292:
4272:
4242:is contained in the kernel of
4229:
4209:
4183:
4180:
4168:
4165:
3941:carries the trivial action of
3910:{\displaystyle M=\mathbb {R} }
3711:
3695:
3630:
3620:
3610:
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3397:
3326:
3310:
3288:
3272:
3255:
3239:
3123:
3107:
3083:Cohomology in small dimensions
3066:
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2454:
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1774:
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1510:
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925:
899:
804:be a Lie algebra over a field
708:
671:
659:
623:
607:
500:
463:
451:
415:
399:
1:
5206:American Mathematical Society
4418:, then any linear functional
3536:The second cohomology group
3344:where a derivation is a map
824:, with a left action on the
262:universal enveloping algebra
2009:, the nilpotency condition
1796:denote the left action of
870:Chevalley–Eilenberg complex
776:Chevalley–Eilenberg complex
5349:
5288:Princeton University Press
5124:Cambridge University Press
3442:{\displaystyle d=xdy-ydx~}
5249:; Stammbach, Urs (1997),
4338:{\displaystyle D\equiv 0}
4155:, so derivations satisfy
941:are called cochains from
50:to study the topology of
3921:Lie group. In this case
3364:from the Lie algebra to
5204:(1), Providence, R.I.:
5025:Gelfand–Fuks cohomology
5021:in theoretical physics.
4652:has trivial cohomology.
4485:{\displaystyle Dx=xa=0}
2035:{\displaystyle d^{2}=0}
1620:is viewed as a trivial
1049:is thus an alternating
4998:
4942:
4867:
4823:
4755:
4713:
4646:
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4568:
4548:
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4511:{\displaystyle a\in M}
4486:
4448:
4412:
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4236:
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3640:
3590:Lie algebra extensions
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3443:
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1069:-multilinear function
1063:
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1023:
999:
979:
959:
932:
868:. The elements of the
862:
842:
818:
798:
751:
678:
576:
470:
371:
349:-module). Considering
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316:
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247:
215:
195:
173:is a simply connected
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36:Lie algebra cohomology
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4943:
4868:
4824:
4756:
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4569:
4549:
4513:
4487:
4449:
4413:
4372:is abelian, that is,
4367:
4340:
4315:, as is the case for
4310:
4257:
4237:
4197:
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4150:
4130:
4110:
4108:{\displaystyle xDy=0}
4078:
4055:
4031:
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3960:
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3912:
3871:
3847:
3827:
3807:
3787:
3763:
3743:
3719:
3664:
3641:
3580:
3528:
3508:
3485:
3444:
3379:
3359:
3335:
3219:of inner derivations
3203:
3074:
3034:
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2956:
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2657:
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2201:
2199:{\displaystyle (n+1)}
2169:
2149:
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2037:
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4952:
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4769:
4761:, the action is the
4735:
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4458:
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4376:
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4323:
4269:
4246:
4206:
4159:
4139:
4119:
4087:
4067:
4044:
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3969:
3945:
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3860:
3854:homotopy Lie algebra
3836:
3816:
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3772:
3752:
3728:
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3653:
3598:
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3517:
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3459:
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3368:
3348:
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3047:
3041:de Rham differential
3019:
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2965:
2941:
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357:
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302:
267:
233:
205:
181:
157:
122:
90:
64:Claude Chevalley
18:Lie algebra homology
5328:Homological algebra
5323:Cohomology theories
5164:2003math......7263B
4317:simple Lie algebras
3176: for all
2007:graded Leibniz rule
1994:
1954:
1867:
1583:
1520:
1363:
658:
550: for all
450:
5116:Weibel, Charles A.
5090:10.24033/bsmf.1410
5067:Koszul, Jean-Louis
4994:
4938:
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