1561:
2024:
779:
58:
for the corresponding statements about first and second order cohomology, respectively, but there are similar statements pertaining to Lie algebra cohomology in arbitrary orders which are also attributed to
Whitehead.
2994:
1307:
936:
2709:
2533:
717:
438:
Another related statement, which is also attributed to
Whitehead, describes Lie algebra cohomology in arbitrary order: Given the same conditions as in the previous two statements, but further let
3089:
1443:
1408:
544:
140:
596:
433:
374:
2815:
1668:
1154:
1786:
1340:
2385:
2179:
1438:
318:
1613:
1188:
1045:
987:
865:
810:
2094:
2330:
1837:
834:
665:
508:
484:
220:
96:
2298:
3201:
3221:
2237:
1935:
1903:
1870:
1753:
622:
288:
3142:
2149:
1940:
250:
1813:
1072:
1014:
2257:
2044:
1208:
956:
2205:
1724:
1698:
2838:
3162:
3112:
2405:
2114:
1095:
456:
725:
63:
2846:
3305:
1217:
870:
2544:
2413:
670:
3005:
1556:{\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (c))=\sum \operatorname {tr} (\pi (e_{i})\pi (e^{i}))=\dim {\mathfrak {g}}_{1}.}
1345:
459:
103:
40:
513:
109:
3295:
549:
386:
327:
2717:
1618:
1103:
1758:
1312:
2335:
2154:
1671:
1413:
321:
293:
48:
44:
1572:
1162:
1019:
961:
839:
784:
3332:
2049:
2303:
1818:
815:
646:
489:
465:
148:
77:
17:
28:
2262:
36:
1566:
719:
a finite-dimensional representation (which is semisimple but the proof does not use that fact).
3167:
2019:{\displaystyle \dim({\mathfrak {g}}/\operatorname {ker} (\pi ))=\operatorname {tr} (\pi (c))=0}
3311:
3301:
3206:
383:
Similarly, Whitehead's second lemma states that under the conditions of the first lemma, also
2213:
1911:
1875:
1842:
1729:
601:
255:
3117:
2119:
229:
74:
Without mentioning cohomology groups, one can state
Whitehead's first lemma as follows: Let
1791:
1050:
992:
3291:
2242:
2029:
1193:
1075:
941:
377:
2184:
1703:
1677:
2820:
3147:
3097:
2390:
2099:
1080:
667:
be a finite-dimensional semisimple Lie algebra over a field of characteristic zero and
441:
47:
in characteristic zero. Historically, they are regarded as leading to the discovery of
3326:
98:
be a finite-dimensional, semisimple Lie algebra over a field of characteristic zero,
774:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {ker} (\pi )\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}
3315:
2989:{\displaystyle -\sum _{j}e_{j}f()=-\sum _{i}e_{i}(xf(e^{i})-e^{i}f(x)).}
1302:{\displaystyle \pi (c)=\sum _{i}\pi (e_{i})\circ \pi (e^{i}):V\to V}
3300:(Republication of the 1962 original ed.). Dover Publications.
62:
The first
Whitehead lemma is an important step toward the proof of
1839:-submodule. Hence, it is enough to prove the lemma separately for
1074:
the dual basis with respect to this trace form. Then define the
931:{\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {tr} (\pi (x)\pi (y))}
2704:{\displaystyle =\sum _{j}(,e^{j})e_{j}=-\sum _{j}(,e_{i})e_{j}}
2528:{\displaystyle xw=\sum _{i}e_{i}xf(e^{i})+\sum _{i}f(e^{i}).}
1937:
is a nilpotent endomorphism. Then, by the early observation,
2239:
is an automorphism. For notational simplicity, we will drop
1159:
which is an element of the universal enveloping algebra of
712:{\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
324:, this is, by definition, equivalent to the fact that
3209:
3170:
3150:
3120:
3100:
3008:
2849:
2823:
2720:
2547:
2416:
2393:
2338:
2306:
2265:
2245:
2216:
2187:
2157:
2122:
2102:
2052:
2032:
1943:
1914:
1878:
1845:
1821:
1794:
1761:
1732:
1706:
1680:
1621:
1575:
1446:
1416:
1348:
1315:
1220:
1196:
1165:
1106:
1083:
1053:
1022:
995:
964:
944:
873:
842:
818:
787:
728:
673:
649:
604:
552:
516:
492:
468:
444:
389:
330:
296:
258:
232:
151:
112:
80:
3215:
3195:
3156:
3136:
3106:
3083:
2988:
2832:
2809:
2703:
2527:
2399:
2379:
2324:
2292:
2251:
2231:
2199:
2173:
2143:
2108:
2088:
2038:
2018:
1929:
1897:
1864:
1831:
1807:
1780:
1747:
1718:
1692:
1662:
1607:
1555:
1432:
1402:
1334:
1301:
1202:
1182:
1148:
1089:
1066:
1039:
1008:
981:
950:
930:
859:
828:
804:
773:
711:
659:
616:
590:
538:
502:
478:
450:
427:
368:
312:
282:
244:
214:
134:
90:
3084:{\displaystyle xw=\sum _{i}e_{i}e^{i}f(x)=cf(x).}
376:for every such representation. The proof uses a
1403:{\displaystyle \pi (x)\pi (c)=\pi (c)\pi (x)}
1309:.) The key property is that it commutes with
39:) represent a series of statements regarding
8:
539:{\displaystyle {\mathfrak {g}}\cdot V\neq 0}
135:{\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to V}
591:{\displaystyle H^{q}({\mathfrak {g}},V)=0}
428:{\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}},V)=0}
369:{\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}},V)=0}
54:One usually makes the distinction between
3208:
3181:
3169:
3149:
3125:
3119:
3099:
3042:
3032:
3022:
3007:
2962:
2946:
2924:
2914:
2892:
2867:
2857:
2848:
2822:
2801:
2788:
2772:
2750:
2734:
2719:
2695:
2682:
2666:
2644:
2628:
2615:
2599:
2577:
2561:
2546:
2513:
2494:
2475:
2459:
2440:
2430:
2415:
2392:
2368:
2352:
2337:
2305:
2264:
2244:
2215:
2186:
2165:
2164:
2156:
2121:
2101:
2077:
2076:
2067:
2066:
2054:
2053:
2051:
2031:
1960:
1954:
1953:
1942:
1913:
1889:
1877:
1856:
1844:
1823:
1822:
1820:
1799:
1793:
1769:
1768:
1760:
1731:
1705:
1679:
1654:
1641:
1620:
1599:
1586:
1574:
1569:, we have the vector space decomposition
1544:
1538:
1537:
1515:
1496:
1445:
1424:
1423:
1415:
1347:
1323:
1322:
1314:
1278:
1256:
1240:
1219:
1195:
1174:
1168:
1167:
1164:
1137:
1127:
1117:
1105:
1082:
1058:
1052:
1031:
1025:
1024:
1021:
1000:
994:
973:
967:
966:
963:
943:
872:
851:
845:
844:
841:
820:
819:
817:
796:
790:
789:
786:
765:
759:
758:
730:
729:
727:
691:
690:
681:
680:
672:
651:
650:
648:
603:
567:
566:
557:
551:
518:
517:
515:
494:
493:
491:
470:
469:
467:
443:
404:
403:
394:
388:
345:
344:
335:
329:
304:
303:
295:
257:
231:
150:
120:
119:
111:
82:
81:
79:
3274:
3262:
3250:
3238:
2332:denote the trace form used earlier. Let
3231:
2810:{\displaystyle =\sum _{i}(,e_{i})e^{i}}
64:Weyl's theorem on complete reducibility
2817:, the second term of the expansion of
1663:{\displaystyle \pi (c):V_{i}\to V_{i}}
1149:{\displaystyle c=\sum _{i}e_{i}e^{i},}
1781:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
1335:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
18:Whitehead's lemma (Lie algebras)
7:
2380:{\displaystyle w=\sum e_{i}f(e^{i})}
2174:{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}
1433:{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}
313:{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}
2166:
2078:
2068:
2055:
2046:is a trivial representation. Since
1955:
1824:
1770:
1608:{\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}
1539:
1425:
1324:
1183:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
1169:
1040:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
1026:
982:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
968:
860:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
846:
821:
805:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}
791:
760:
731:
695:
692:
682:
652:
568:
519:
495:
471:
405:
346:
305:
121:
83:
1214:as a linear endomorphism (namely,
56:Whitehead's first and second lemma
25:
2089:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=}
2325:{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
1832:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
829:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
660:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
503:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
479:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
215:{\displaystyle f()=xf(y)-yf(x)}
91:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3075:
3069:
3057:
3051:
2980:
2977:
2971:
2952:
2939:
2930:
2901:
2898:
2879:
2876:
2794:
2778:
2759:
2756:
2740:
2721:
2688:
2672:
2653:
2650:
2621:
2605:
2586:
2583:
2567:
2548:
2519:
2506:
2500:
2481:
2465:
2452:
2374:
2361:
2319:
2307:
2284:
2278:
2226:
2220:
2132:
2126:
2083:
2063:
2007:
2004:
1998:
1992:
1980:
1977:
1971:
1950:
1924:
1918:
1775:
1765:
1742:
1736:
1647:
1631:
1625:
1524:
1521:
1508:
1502:
1489:
1483:
1468:
1465:
1459:
1453:
1397:
1391:
1385:
1379:
1370:
1364:
1358:
1352:
1329:
1319:
1293:
1284:
1271:
1262:
1249:
1230:
1224:
925:
922:
916:
910:
904:
898:
889:
886:
874:
867:is semisimple, the trace form
751:
745:
706:
700:
687:
579:
563:
416:
400:
357:
341:
268:
262:
209:
203:
191:
185:
173:
170:
158:
155:
126:
1:
3203:has the required property.
2293:{\displaystyle xv=\pi (x)v}
2207:satisfies the requirement.
1700:and is an automorphism for
226:Then there exists a vector
3349:
3196:{\displaystyle v=c^{-1}w}
3277:, Ch. III, § 7, Lemma 3.
3216:{\displaystyle \square }
2181:; i.e., the zero vector
142:a linear map such that
2387:, which is a vector in
2232:{\displaystyle \pi (c)}
1930:{\displaystyle \pi (c)}
1898:{\displaystyle V=V_{1}}
1865:{\displaystyle V=V_{0}}
1748:{\displaystyle \pi (c)}
617:{\displaystyle q\geq 0}
380:(see the proof below).
283:{\displaystyle f(x)=xv}
45:semisimple Lie algebras
43:of finite-dimensional,
3217:
3197:
3158:
3138:
3137:{\displaystyle c^{-1}}
3108:
3085:
2990:
2834:
2811:
2705:
2529:
2401:
2381:
2326:
2294:
2253:
2233:
2201:
2175:
2145:
2144:{\displaystyle f(x)=0}
2110:
2090:
2040:
2020:
1931:
1899:
1866:
1833:
1809:
1782:
1749:
1720:
1694:
1672:nilpotent endomorphism
1664:
1609:
1557:
1434:
1404:
1336:
1303:
1204:
1184:
1150:
1091:
1068:
1041:
1010:
983:
958:, is nondegenerate on
952:
932:
861:
830:
806:
775:
713:
661:
618:
592:
540:
504:
480:
452:
429:
370:
322:Lie algebra cohomology
314:
284:
246:
245:{\displaystyle v\in V}
216:
136:
92:
49:Lie algebra cohomology
3218:
3198:
3159:
3139:
3109:
3086:
2991:
2835:
2812:
2706:
2530:
2402:
2382:
2327:
2295:
2254:
2234:
2202:
2176:
2146:
2111:
2091:
2041:
2021:
1932:
1900:
1867:
1834:
1810:
1808:{\displaystyle V_{i}}
1783:
1750:
1721:
1695:
1665:
1610:
1558:
1435:
1405:
1337:
1304:
1205:
1185:
1151:
1092:
1069:
1067:{\displaystyle e^{i}}
1042:
1011:
1009:{\displaystyle e_{i}}
984:
953:
933:
862:
831:
807:
776:
714:
662:
619:
593:
541:
510:act nontrivially, so
505:
481:
453:
430:
371:
315:
285:
247:
217:
137:
102:a finite-dimensional
93:
41:representation theory
3207:
3168:
3148:
3118:
3098:
3006:
2847:
2821:
2718:
2545:
2414:
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