5186:
4280:
1787:
3053:
4535:
2614:
2383:
3669:
1252:
744:
4104:
3879:
446:
1649:
304:
3153:
658:
3564:
2038:
2861:
1473:
521:
1322:
3350:
3789:
1660:
2919:
789:
173:
3932:
1880:
1366:
1061:
40:
based on the behavior of the resolvent near the essential spectrum. The term is often used to indicate that the resolvent, when considered not in the original space (which is usually
4352:
2682:
2459:
970:
4396:
2464:
2233:
1828:
1008:
3572:
1973:
3204:
2411:
3410:
1129:
4042:
2774:
3472:
3307:
1514:
1137:
5075:
4309:
2904:
2725:
2228:
2193:
880:
3994:
666:
3245:
541:
4388:
101:
812:
856:
103:, see below), has a limit as the spectral parameter approaches the essential spectrum. This concept developed from the idea of introducing complex parameter into the
4275:{\displaystyle R_{\pm }(z):\;L_{s}^{2}(\mathbb {R} )\to L_{-s}^{2}(\mathbb {R} ),\quad s>1/2,\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ),\quad |z|\geq \delta ,}
3958:
2111:
1918:
576:
333:
4096:
4069:
2158:
2085:
67:
3701:
832:
4738:
3741:
3721:
3512:
3492:
3430:
3272:
2634:
2131:
2058:
1938:
1276:
904:
4901:
3794:
341:
5028:
4883:
4859:
1537:
209:
4663:
4751:
3061:
4840:
4731:
4704:
2777:
585:
5110:
3723:, when considered as acting in certain weighted spaces, has a limit (and/or remains uniformly bounded) as the spectral parameter
4755:
3517:
1978:
4549:
180:
3155:. A particular solution to the inhomogeneous Helmholtz equation corresponding to outgoing waves is obtained as the limit of
4906:
179:, who was considering the propagation and absorption of the electromagnetic waves in a wire. It is closely related to the
4962:
2785:
1371:
454:
5189:
4911:
4896:
4724:
4554:
2907:
1830:, one needs to use the branch of the square root which has positive real part (which decays for large absolute value of
1284:
188:
184:
4926:
3312:
5171:
4931:
1782:{\displaystyle G(x;z)={\frac {1}{2{\sqrt {-z}}}}e^{-|x|{\sqrt {-z}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ).}
5220:
5125:
5049:
3048:{\displaystyle (\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2})\psi (t,x)=F(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ,}
5166:
5210:
4982:
3750:
4916:
752:
5225:
5215:
5018:
4819:
907:
109:
4891:
3884:
1841:
1327:
1013:
4314:
5115:
4530:{\displaystyle \Vert u\Vert _{L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }(1+x^{2})^{s}|u(x)|^{2}\,dx,}
2609:{\displaystyle G_{-}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}-i\varepsilon )={\frac {1}{2ik}}e^{-i|x|k}}
2378:{\displaystyle G_{+}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}+i\varepsilon )=-{\frac {1}{2ik}}e^{i|x|k}}
3664:{\displaystyle \Vert R(z)\Vert \geq {\frac {1}{\operatorname {dist} (z,\sigma (A))}},\qquad z\in \rho (A).}
2639:
2416:
931:
5146:
5090:
5054:
1795:
975:
1943:
859:
835:
3158:
2388:
3674:
Many scientists refer to the "limiting absorption principle" when they want to say that the resolvent
3355:
1247:{\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-z)u(x)=F(x),\quad x\in \mathbb {R} ,\quad F\in L^{2}(\mathbb {R} )}
1074:
5129:
4590:
3999:
1525:
2730:
739:{\displaystyle \varkappa ^{2}={\frac {\mu \varepsilon \omega ^{2}}{c^{2}}}-i4\pi \sigma \mu \omega }
5095:
5033:
4747:
3435:
3277:
1478:
883:
523:
for the electric field used by
Ignatowsky: the absorption corresponds to nonzero imaginary part of
176:
29:
4288:
2866:
2687:
2198:
2163:
865:
5120:
4987:
4355:
3963:
3744:
2780:
1068:
926:
192:
104:
37:
3217:
526:
4361:
74:
5100:
4700:
794:
25:
841:
5105:
5023:
4992:
4972:
4957:
4952:
4947:
4784:
4598:
3937:
2910:: to find which solution corresponds to the outgoing waves, one considers the inhomogeneous
2090:
1888:
922:
546:
312:
4074:
4047:
2136:
2063:
45:
4967:
4921:
4869:
4864:
4835:
4716:
4688:
3677:
3248:
817:
33:
21:
4794:
4594:
5156:
5008:
4809:
3726:
3706:
3497:
3477:
3415:
3257:
2619:
2116:
2043:
1923:
1261:
889:
5204:
5161:
5085:
4814:
4799:
4789:
2911:
1279:
1064:
579:
5151:
4804:
4774:
3309:. For the values of the spectral parameter from the resolvent set of the operator,
3252:
4646:
3874:{\displaystyle A=-\partial _{x}^{2}:\,L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}
441:{\displaystyle v(x)=-\lim _{\epsilon \to +0}(\Delta +k^{2}-i\epsilon )^{-1}F(x).}
5080:
5070:
4977:
4779:
4692:
3791:. For instance, in the above example of the Laplace operator in one dimension,
1517:
5013:
4853:
4849:
4845:
4602:
203:
To find which solution to the
Helmholz equation with nonzero right-hand side
4098:
to itself), but will both be uniformly bounded when considered as operators
187:(1948). The terminology – both the limiting absorption principle and the
41:
1644:{\displaystyle (G(\cdot ,z)*F)(x)=\int _{\mathbb {R} }G(x-y;z)F(y)\,dy,}
299:{\displaystyle \Delta v(x)+k^{2}v(x)=-F(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}
2230:) of the real axis, there will be two different limiting expressions:
4620:
4664:"Spectral properties of Schrödinger operators and scattering theory"
4578:
4720:
3148:{\displaystyle \psi (0,x)=0,\,\partial _{t}\psi (t,x)|_{t=0}=0}
2906:
corresponds to incoming waves. This is directly related to the
175:
for selecting a particular solution. This idea is credited to
4697:
Methods of modern mathematical physics. Analysis of operators
335:, corresponds to the outgoing waves, one considers the limit
3412:
is bounded when considered as a linear operator acting from
1885:
One can also consider the limit of the fundamental solution
653:{\displaystyle (\Delta +\varkappa ^{2}/\omega ^{2})E(t,x)=0}
451:
The relation to absorption can be traced to the expression
4614:
4612:
4572:
4570:
3559:{\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A)}
2033:{\displaystyle \sigma (-\partial _{x}^{2})=[0,+\infty )}
917:
Example and relation to the limiting amplitude principle
4579:"Reflexion elektromagnetischer Wellen an einem Draft"
4399:
4364:
4317:
4291:
4107:
4077:
4050:
4002:
3966:
3940:
3887:
3797:
3753:
3729:
3709:
3680:
3575:
3520:
3500:
3480:
3438:
3418:
3358:
3315:
3280:
3260:
3220:
3161:
3064:
2922:
2869:
2788:
2733:
2690:
2642:
2622:
2467:
2419:
2391:
2236:
2201:
2166:
2139:
2119:
2093:
2066:
2046:
1981:
1946:
1926:
1891:
1844:
1798:
1663:
1540:
1481:
1374:
1330:
1287:
1264:
1140:
1077:
1016:
978:
934:
892:
868:
844:
820:
797:
755:
669:
588:
549:
529:
457:
344:
315:
212:
112:
77:
48:
5139:
5063:
5042:
5001:
4940:
4882:
4828:
4763:
2856:{\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-k^{2})u(x)=F(x)}
1468:{\displaystyle u(x)=(R(z)F)(x)=(G(\cdot ,z)*F)(x),}
516:{\displaystyle E(t,x)=Ae^{i(\omega t+\varkappa x)}}
5076:Spectral theory of ordinary differential equations
4529:
4382:
4346:
4303:
4274:
4090:
4063:
4036:
3988:
3952:
3926:
3873:
3783:
3735:
3715:
3695:
3663:
3558:
3506:
3486:
3474:, but its bound depends on the spectral parameter
3466:
3424:
3404:
3344:
3301:
3266:
3239:
3198:
3147:
3047:
2898:
2855:
2768:
2719:
2676:
2628:
2608:
2453:
2405:
2377:
2222:
2187:
2152:
2125:
2105:
2079:
2052:
2032:
1967:
1932:
1912:
1874:
1822:
1781:
1643:
1508:
1467:
1360:
1317:{\displaystyle \mathbb {C} \setminus [0,+\infty )}
1316:
1270:
1246:
1123:
1055:
1002:
964:
898:
874:
850:
826:
806:
783:
738:
652:
570:
535:
515:
440:
327:
298:
167:
95:
61:
3345:{\displaystyle z\in \rho (A)\subset \mathbb {C} }
2504:
2273:
364:
578:is given by the Helmholtz equation (or reduced
749:having negative imaginary part (and thus with
4732:
8:
4407:
4400:
3591:
3576:
3784:{\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(A)}
1654:where the fundamental solution is given by
71:), but in certain weighted spaces (usually
4767:
4739:
4725:
4717:
4651:. Vol. 4 (6 ed.). Moscow, Nauka.
4130:
784:{\displaystyle \varkappa ^{2}/\omega ^{2}}
4640:
4638:
4517:
4511:
4506:
4488:
4482:
4472:
4453:
4452:
4451:
4438:
4430:
4429:
4420:
4415:
4410:
4398:
4374:
4369:
4363:
4337:
4336:
4327:
4322:
4316:
4290:
4258:
4250:
4221:
4220:
4202:
4182:
4181:
4172:
4164:
4150:
4149:
4140:
4135:
4112:
4106:
4082:
4076:
4055:
4049:
4007:
4001:
3971:
3965:
3939:
3917:
3916:
3907:
3886:
3864:
3863:
3854:
3840:
3839:
3830:
3825:
3816:
3811:
3796:
3759:
3758:
3752:
3728:
3708:
3679:
3597:
3574:
3537:
3536:
3519:
3514:approaches the spectrum of the operator,
3499:
3479:
3454:
3437:
3417:
3393:
3357:
3338:
3337:
3314:
3279:
3259:
3227:
3219:
3184:
3160:
3127:
3122:
3097:
3092:
3063:
3038:
3037:
2999:
2953:
2948:
2935:
2930:
2921:
2887:
2874:
2868:
2817:
2804:
2799:
2787:
2757:
2738:
2732:
2708:
2695:
2689:
2647:
2641:
2621:
2596:
2588:
2581:
2559:
2538:
2507:
2491:
2472:
2466:
2424:
2418:
2399:
2398:
2390:
2365:
2357:
2353:
2331:
2307:
2276:
2260:
2241:
2235:
2200:
2165:
2144:
2138:
2118:
2092:
2071:
2065:
2045:
2000:
1995:
1980:
1959:
1954:
1945:
1925:
1890:
1865:
1864:
1855:
1843:
1813:
1812:
1803:
1797:
1751:
1750:
1728:
1723:
1715:
1711:
1694:
1685:
1662:
1631:
1589:
1588:
1587:
1539:
1480:
1373:
1351:
1350:
1341:
1329:
1289:
1288:
1286:
1263:
1237:
1236:
1227:
1209:
1208:
1156:
1151:
1139:
1112:
1076:
1046:
1045:
1036:
1015:
993:
992:
983:
977:
953:
948:
933:
891:
867:
843:
819:
796:
775:
766:
760:
754:
707:
696:
683:
674:
668:
617:
608:
602:
587:
548:
528:
486:
456:
414:
395:
367:
343:
314:
287:
283:
282:
235:
211:
168:{\displaystyle (\Delta +k^{2})u(x)=-F(x)}
126:
111:
87:
82:
76:
53:
47:
5029:Group algebra of a locally compact group
4671:Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4)
3927:{\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}
3566:. More precisely, there is the relation
1875:{\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} )}
1361:{\displaystyle u\in L^{2}(\mathbb {R} )}
1056:{\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}
28:that consists of choosing the "correct"
4566:
4347:{\displaystyle L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}
4225:
3541:
2776:) corresponds to outgoing waves of the
1755:
1293:
791:no longer belonging to the spectrum of
2677:{\displaystyle k^{2}\in (0,+\infty )}
2454:{\displaystyle k^{2}\in (0,+\infty )}
965:{\displaystyle A=-\partial _{x}^{2},}
7:
1823:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
1003:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
18:limiting absorption principle (LAP)
4240:
3808:
3766:
3763:
3760:
3094:
2945:
2927:
2796:
2668:
2445:
2202:
2167:
2024:
1992:
1968:{\displaystyle -\partial _{x}^{2}}
1951:
1770:
1308:
1148:
945:
801:
592:
385:
213:
116:
14:
3199:{\displaystyle \psi (t,x)e^{ikt}}
2406:{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
2160:in the complex plane from above (
1792:To obtain an operator bounded in
1258:then, for the spectral parameter
5185:
5184:
5111:Topological quantum field theory
3405:{\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}
3210:Estimates in the weighted spaces
1124:{\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}
543:, and the equation satisfied by
4699:. Vol. 4. Academic Press.
4249:
4213:
4192:
4037:{\displaystyle G_{\pm }(x-y;z)}
3639:
3030:
3017:
1743:
1216:
1201:
274:
4550:Sommerfeld radiation condition
4507:
4502:
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4489:
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2006:
1985:
1907:
1895:
1869:
1861:
1834:), so that the convolution of
1817:
1809:
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989:
925:in one dimension, which is an
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629:
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181:Sommerfeld radiation condition
162:
156:
144:
138:
132:
113:
1:
4907:Uniform boundedness principle
3467:{\displaystyle R(z):\,X\to X}
3302:{\displaystyle D(A)\subset X}
1509:{\displaystyle G(\cdot ,z)*F}
4648:Course in Higher Mathematics
4555:Limiting amplitude principle
4304:{\displaystyle \delta >0}
4071:(that is, as operators from
2908:limiting amplitude principle
2899:{\displaystyle R_{-}(k^{2})}
2720:{\displaystyle R_{+}(k^{2})}
2223:{\displaystyle \Im (z)<0}
2188:{\displaystyle \Im (z)>0}
875:{\displaystyle \varepsilon }
189:limiting amplitude principle
185:limiting amplitude principle
3989:{\displaystyle R_{\pm }(z)}
1940:approaches the spectrum of
5242:
5050:Invariant subspace problem
4625:Doklady Akademii Nauk SSSR
4358:functions such that their
3996:with the integral kernels
3240:{\displaystyle A:\,X\to X}
2684:from below. The resolvent
1010:and defined on the domain
536:{\displaystyle \varkappa }
5180:
4770:
4619:Sveshnikov, A.G. (1950).
4577:W. v. Ignatowsky (1905).
4383:{\displaystyle L_{s}^{2}}
4354:are defined as spaces of
3703:of a particular operator
3494:and tends to infinity as
96:{\displaystyle L_{s}^{2}}
5019:Spectrum of a C*-algebra
4603:10.1002/andp.19053231305
3881:, defined on the domain
3274:, defined on the domain
2113:. Depending on whether
908:speed of light in vacuum
807:{\displaystyle -\Delta }
5116:Noncommutative geometry
3058:with zero initial data
851:{\displaystyle \sigma }
5172:Tomita–Takesaki theory
5147:Approximation property
5091:Calculus of variations
4645:Smirnov, V.I. (1974).
4531:
4384:
4348:
4305:
4276:
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4065:
4038:
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3954:
3953:{\displaystyle z>0}
3928:
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3406:
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2106:{\displaystyle k>0}
2081:
2054:
2034:
1969:
1934:
1914:
1913:{\displaystyle G(x;z)}
1876:
1824:
1783:
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1510:
1469:
1362:
1318:
1272:
1248:
1125:
1067:. Let us describe its
1057:
1004:
966:
900:
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808:
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517:
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328:{\displaystyle k>0}
300:
169:
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5167:Banach–Mazur distance
5130:Generalized functions
4621:"Radiation principle"
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2128:
2108:
2082:
2080:{\displaystyle k^{2}}
2055:
2035:
1970:
1935:
1915:
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1511:
1470:
1363:
1319:
1273:
1249:
1131:. Given the equation
1126:
1058:
1005:
967:
921:One can consider the
901:
877:
860:electric conductivity
853:
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809:
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301:
170:
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64:
62:{\displaystyle L^{2}}
4912:Kakutani fixed-point
4897:Riesz representation
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4362:
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1526:fundamental solution
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827:{\displaystyle \mu }
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667:
586:
547:
527:
455:
342:
313:
210:
191:– was introduced by
110:
75:
46:
16:In mathematics, the
5096:Functional calculus
5055:Mahler's conjecture
5034:Von Neumann algebra
4748:Functional analysis
4595:1905AnP...323..495I
4443:
4425:
4379:
4332:
4177:
4145:
4044:are not bounded in
3821:
2958:
2940:
2809:
2005:
1964:
1161:
958:
884:dielectric constant
177:Vladimir Ignatowski
92:
5121:Riemann hypothesis
4820:Topological vector
4583:Annalen der Physik
4527:
4411:
4406:
4380:
4365:
4356:locally integrable
4344:
4318:
4301:
4272:
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4131:
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3745:essential spectrum
3733:
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2926:
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2795:
2781:Helmholtz equation
2766:
2727:(convolution with
2717:
2674:
2626:
2606:
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193:Aleksei Sveshnikov
165:
105:Helmholtz equation
93:
78:
59:
38:essential spectrum
20:is a concept from
5221:Scattering theory
5198:
5197:
5101:Integral operator
4878:
4877:
4662:Agmon, S (1975).
4627:. Novaya Seriya.
3960:, both operators
3736:{\displaystyle z}
3716:{\displaystyle A}
3634:
3507:{\displaystyle z}
3487:{\displaystyle z}
3425:{\displaystyle X}
3267:{\displaystyle X}
3206:for large times.
2629:{\displaystyle z}
2575:
2503:
2347:
2272:
2195:) or from below (
2126:{\displaystyle z}
2053:{\displaystyle z}
1933:{\displaystyle z}
1736:
1705:
1702:
1271:{\displaystyle z}
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363:
26:scattering theory
5233:
5211:Linear operators
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5187:
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