901:
2202:
1162:
607:
1420:
1710:
750:
178:
793:
Lindeberg's condition is sufficient, but not in general necessary (i.e. the inverse implication does not hold in general). However, if the sequence of independent random variables in question satisfies
1794:
371:
117:
297:
978:
1803:
52:
1056:
234:
1203:
800:
1233:
636:
1023:
1505:
789:
2283:
2236:
1446:
1537:
1061:
1592:
2263:
1619:
1473:
1327:
1296:
1260:
400:
412:
1626:
1557:
1340:
1719:
659:
126:
36:
906:
then
Lindeberg's condition is both sufficient and necessary, i.e. it holds if and only if the result of central limit theorem holds.
2452:
2363:
2330:
302:
2474:
2479:
2403:
78:
755:
239:
2408:
922:
1032:
896:{\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ as }}n\to \infty ,}
60:
187:
1167:
64:
1299:
1212:
919:
Feller's theorem can be used as an alternative method to prove that
Lindeberg's condition holds. Letting
2299:
1268:
650:
56:
40:
615:
983:
2355:
2197:{\displaystyle \sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left\leq \sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left=\mathbb {E} \left}
1478:
1206:
765:
759:
2388:
2268:
2209:
1425:
1157:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\max _{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0}
2425:
2294:
646:
28:
1510:
2448:
2359:
2326:
2320:
1570:
120:
47:. Unlike the classical CLT, which requires that the random variables in question have finite
2417:
2380:
2347:
602:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left=0}
44:
2241:
1597:
1451:
1305:
1274:
1238:
378:
2348:
2381:
1567:
Consider the following informative example which satisfies the
Lindeberg condition. Let
1542:
2468:
2429:
59:
only requires that they have finite variance, satisfy
Lindeberg's condition, and be
17:
2404:"Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung"
1415:{\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0}
1705:{\displaystyle \max _{i}^{n}{\frac {|a_{i}|}{\|a_{i}\|_{2}}}\rightarrow 0}
48:
1448:, it guarantees that the contribution of any individual random variable
2421:
1302:. This procedure involves proving that Lindeberg's condition fails for
745:{\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}}
184:
random variables defined on that space. Assume the expected values
173:{\displaystyle X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N} }
39:(and under certain conditions also a necessary condition) for the
1594:
be a sequence of zero mean, variance 1 iid random variables and
1714:
Now, define the normalized elements of the linear combination:
93:
1789:{\displaystyle X_{n,i}={\frac {a_{i}\xi _{i}}{\|a\|_{2}}}}
366:{\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}
1539:
is arbitrarily small, for sufficiently large values of
2271:
2244:
2212:
1806:
1722:
1629:
1600:
1573:
1545:
1513:
1481:
1454:
1428:
1343:
1308:
1277:
1241:
1215:
1170:
1064:
1035:
986:
925:
803:
768:
662:
618:
415:
381:
305:
242:
190:
129:
112:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
81:
2277:
2257:
2230:
2196:
1788:
1704:
1613:
1586:
1551:
1531:
1499:
1467:
1440:
1414:
1321:
1290:
1254:
1227:
1197:
1156:
1050:
1017:
972:
895:
783:
744:
630:
601:
394:
365:
291:
228:
172:
111:
375:If this sequence of independent random variables
2147:
2006:
1631:
1345:
1082:
1066:
805:
417:
292:{\displaystyle \mathrm {Var} \,=\sigma _{k}^{2}}
63:. It is named after the Finnish mathematician
2238:is finite so by DCT and the condition on the
8:
2135:
2128:
1994:
1987:
1774:
1767:
1684:
1670:
583:
531:
43:(CLT) to hold for a sequence of independent
973:{\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}
2270:
2249:
2243:
2222:
2217:
2211:
2176:
2170:
2161:
2155:
2150:
2138:
2125:
2114:
2108:
2099:
2085:
2075:
2057:
2056:
2035:
2029:
2020:
2014:
2009:
1997:
1984:
1973:
1967:
1958:
1944:
1934:
1916:
1915:
1909:
1904:
1878:
1872:
1863:
1851:
1841:
1823:
1822:
1816:
1811:
1805:
1798:which satisfies the Lindeberg condition:
1777:
1759:
1749:
1742:
1727:
1721:
1687:
1677:
1663:
1657:
1648:
1645:
1639:
1634:
1628:
1605:
1599:
1578:
1572:
1544:
1523:
1518:
1512:
1480:
1459:
1453:
1427:
1398:
1393:
1383:
1378:
1372:
1348:
1342:
1313:
1307:
1282:
1276:
1267:This theorem can be used to disprove the
1246:
1240:
1214:
1187:
1177:
1171:
1169:
1139:
1124:
1118:
1109:
1085:
1069:
1063:
1051:{\displaystyle \forall \varepsilon >0}
1034:
1000:
992:
988:
987:
985:
964:
954:
943:
930:
924:
876:
858:
853:
843:
838:
832:
808:
802:
767:
734:
720:
707:
694:
683:
676:
667:
661:
617:
577:
562:
556:
543:
534:
530:
525:
515:
505:
492:
476:
475:
469:
458:
446:
441:
432:
420:
414:
386:
380:
354:
349:
339:
328:
315:
310:
304:
283:
278:
262:
254:
243:
241:
220:
204:
196:
192:
191:
189:
166:
165:
158:
157:
150:
149:
134:
128:
102:
101:
92:
91:
80:
1337:Because the Lindeberg condition implies
2311:
229:{\displaystyle \mathbb {E} \,=\mu _{k}}
53:independent and identically distributed
2443:Athreya, K. B.; Lahiri, S. N. (2006).
2265:we have that this goes to 0 for every
1198:{\displaystyle {\frac {S_{n}}{s_{n}}}}
2445:Measure Theory and Probability Theory
7:
2325:(2nd ed.). Wiley. p. 369.
1262:satisfies the Lindeberg's condition.
1228:{\displaystyle n\rightarrow \infty }
1621:a non-random sequence satisfying:
1435:
1222:
1076:
1036:
887:
775:
427:
250:
247:
244:
143:
85:
25:
653:holds, i.e. the random variables
631:{\displaystyle \varepsilon >0}
1018:{\displaystyle \mathbb {E} \,=0}
526:
1205:converges weakly to a standard
875:
760:standard normal random variable
299:exist and are finite. Also let
2350:Probability and measure theory
2177:
2162:
2115:
2100:
2036:
2021:
1974:
1959:
1889:
1879:
1864:
1860:
1696:
1664:
1649:
1432:
1406:
1219:
1145:
1125:
1110:
1106:
1073:
1006:
993:
884:
866:
772:
726:
700:
563:
535:
512:
485:
424:
268:
255:
210:
197:
146:
106:
82:
1:
1500:{\displaystyle 1\leq k\leq n}
784:{\displaystyle n\to \infty .}
2278:{\displaystyle \varepsilon }
2231:{\displaystyle \xi _{i}^{2}}
1441:{\displaystyle n\to \infty }
2496:
2447:. Springer. p. 348.
2409:Mathematische Zeitschrift
2402:Lindeberg, J. W. (1922).
1532:{\displaystyle s_{n}^{2}}
2354:(2nd ed.). p.
2319:Billingsley, P. (1986).
1587:{\displaystyle \xi _{i}}
756:converge in distribution
2379:Resnick, S. I. (1999).
2322:Probability and Measure
914:
65:Jarl Waldemar Lindeberg
2475:Theorems in statistics
2279:
2259:
2232:
2198:
2160:
2019:
1914:
1821:
1790:
1706:
1644:
1615:
1588:
1553:
1533:
1501:
1469:
1442:
1416:
1323:
1300:proof by contradiction
1292:
1256:
1229:
1199:
1158:
1052:
1025:, the theorem states
1019:
974:
959:
897:
785:
746:
699:
632:
603:
474:
396:
367:
344:
293:
230:
174:
113:
2480:Central limit theorem
2300:Central limit theorem
2280:
2260:
2258:{\displaystyle a_{i}}
2233:
2199:
2146:
2005:
1900:
1807:
1791:
1707:
1630:
1616:
1614:{\displaystyle a_{i}}
1589:
1554:
1534:
1502:
1470:
1468:{\displaystyle X_{k}}
1443:
1417:
1324:
1322:{\displaystyle X_{k}}
1293:
1291:{\displaystyle X_{k}}
1269:central limit theorem
1257:
1255:{\displaystyle X_{k}}
1230:
1200:
1159:
1053:
1020:
975:
939:
898:
786:
747:
679:
651:central limit theorem
633:
604:
454:
404:Lindeberg's condition
397:
395:{\displaystyle X_{k}}
368:
324:
294:
231:
175:
114:
41:central limit theorem
33:Lindeberg's condition
2269:
2242:
2210:
1804:
1720:
1627:
1598:
1571:
1543:
1511:
1479:
1452:
1426:
1341:
1306:
1275:
1239:
1213:
1168:
1062:
1033:
984:
923:
801:
766:
660:
616:
413:
379:
303:
240:
188:
127:
79:
37:sufficient condition
2346:Ash, R. B. (2000).
2227:
1528:
1403:
1388:
1207:normal distribution
980:and for simplicity
863:
848:
451:
359:
320:
288:
18:Lindeberg condition
2422:10.1007/BF01494395
2383:A probability Path
2295:Lyapunov condition
2275:
2255:
2228:
2213:
2194:
1786:
1702:
1611:
1584:
1549:
1529:
1514:
1507:) to the variance
1497:
1465:
1438:
1412:
1389:
1374:
1371:
1319:
1288:
1252:
1225:
1195:
1154:
1102:
1080:
1048:
1015:
970:
893:
849:
834:
831:
781:
742:
647:indicator function
628:
599:
437:
431:
392:
363:
345:
306:
289:
274:
226:
170:
109:
29:probability theory
2182:
2041:
1784:
1694:
1552:{\displaystyle n}
1404:
1344:
1193:
1081:
1065:
879:
864:
804:
740:
452:
416:
121:probability space
16:(Redirected from
2487:
2459:
2458:
2440:
2434:
2433:
2399:
2393:
2392:
2386:
2376:
2370:
2369:
2353:
2343:
2337:
2336:
2316:
2284:
2282:
2281:
2276:
2264:
2262:
2261:
2256:
2254:
2253:
2237:
2235:
2234:
2229:
2226:
2221:
2203:
2201:
2200:
2195:
2193:
2189:
2188:
2184:
2183:
2181:
2180:
2175:
2174:
2165:
2159:
2154:
2144:
2143:
2142:
2126:
2118:
2113:
2112:
2103:
2090:
2089:
2084:
2080:
2079:
2060:
2052:
2048:
2047:
2043:
2042:
2040:
2039:
2034:
2033:
2024:
2018:
2013:
2003:
2002:
2001:
1985:
1977:
1972:
1971:
1962:
1949:
1948:
1943:
1939:
1938:
1919:
1913:
1908:
1896:
1892:
1882:
1877:
1876:
1867:
1856:
1855:
1850:
1846:
1845:
1826:
1820:
1815:
1795:
1793:
1792:
1787:
1785:
1783:
1782:
1781:
1765:
1764:
1763:
1754:
1753:
1743:
1738:
1737:
1711:
1709:
1708:
1703:
1695:
1693:
1692:
1691:
1682:
1681:
1668:
1667:
1662:
1661:
1652:
1646:
1643:
1638:
1620:
1618:
1617:
1612:
1610:
1609:
1593:
1591:
1590:
1585:
1583:
1582:
1558:
1556:
1555:
1550:
1538:
1536:
1535:
1530:
1527:
1522:
1506:
1504:
1503:
1498:
1474:
1472:
1471:
1466:
1464:
1463:
1447:
1445:
1444:
1439:
1421:
1419:
1418:
1413:
1405:
1402:
1397:
1387:
1382:
1373:
1370:
1328:
1326:
1325:
1320:
1318:
1317:
1297:
1295:
1294:
1289:
1287:
1286:
1261:
1259:
1258:
1253:
1251:
1250:
1234:
1232:
1231:
1226:
1204:
1202:
1201:
1196:
1194:
1192:
1191:
1182:
1181:
1172:
1163:
1161:
1160:
1155:
1144:
1143:
1128:
1123:
1122:
1113:
1101:
1079:
1057:
1055:
1054:
1049:
1024:
1022:
1021:
1016:
1005:
1004:
991:
979:
977:
976:
971:
969:
968:
958:
953:
935:
934:
915:Feller's theorem
902:
900:
899:
894:
880:
877:
865:
862:
857:
847:
842:
833:
830:
790:
788:
787:
782:
751:
749:
748:
743:
741:
739:
738:
729:
725:
724:
712:
711:
698:
693:
677:
672:
671:
637:
635:
634:
629:
608:
606:
605:
600:
592:
588:
587:
586:
582:
581:
566:
561:
560:
548:
547:
538:
529:
520:
519:
510:
509:
497:
496:
479:
473:
468:
453:
450:
445:
433:
430:
401:
399:
398:
393:
391:
390:
372:
370:
369:
364:
358:
353:
343:
338:
319:
314:
298:
296:
295:
290:
287:
282:
267:
266:
253:
235:
233:
232:
227:
225:
224:
209:
208:
195:
179:
177:
176:
171:
169:
153:
139:
138:
118:
116:
115:
110:
105:
97:
96:
45:random variables
21:
2495:
2494:
2490:
2489:
2488:
2486:
2485:
2484:
2465:
2464:
2463:
2462:
2455:
2442:
2441:
2437:
2401:
2400:
2396:
2378:
2377:
2373:
2366:
2345:
2344:
2340:
2333:
2318:
2317:
2313:
2308:
2291:
2267:
2266:
2245:
2240:
2239:
2208:
2207:
2166:
2145:
2134:
2127:
2104:
2098:
2094:
2071:
2067:
2066:
2065:
2061:
2025:
2004:
1993:
1986:
1963:
1957:
1953:
1930:
1926:
1925:
1924:
1920:
1868:
1837:
1833:
1832:
1831:
1827:
1802:
1801:
1773:
1766:
1755:
1745:
1744:
1723:
1718:
1717:
1683:
1673:
1669:
1653:
1647:
1625:
1624:
1601:
1596:
1595:
1574:
1569:
1568:
1565:
1541:
1540:
1509:
1508:
1477:
1476:
1455:
1450:
1449:
1424:
1423:
1339:
1338:
1335:
1309:
1304:
1303:
1278:
1273:
1272:
1266:
1242:
1237:
1236:
1211:
1210:
1183:
1173:
1166:
1165:
1135:
1114:
1060:
1059:
1031:
1030:
996:
982:
981:
960:
926:
921:
920:
917:
912:
799:
798:
764:
763:
730:
716:
703:
678:
663:
658:
657:
644:
614:
613:
573:
552:
539:
524:
511:
501:
488:
484:
480:
411:
410:
382:
377:
376:
301:
300:
258:
238:
237:
216:
200:
186:
185:
130:
125:
124:
77:
76:
73:
57:Lindeberg's CLT
23:
22:
15:
12:
11:
5:
2493:
2491:
2483:
2482:
2477:
2467:
2466:
2461:
2460:
2453:
2435:
2416:(1): 211–225.
2394:
2371:
2364:
2338:
2331:
2310:
2309:
2307:
2304:
2303:
2302:
2297:
2290:
2287:
2274:
2252:
2248:
2225:
2220:
2216:
2192:
2187:
2179:
2173:
2169:
2164:
2158:
2153:
2149:
2141:
2137:
2133:
2130:
2124:
2121:
2117:
2111:
2107:
2102:
2097:
2093:
2088:
2083:
2078:
2074:
2070:
2064:
2059:
2055:
2051:
2046:
2038:
2032:
2028:
2023:
2017:
2012:
2008:
2000:
1996:
1992:
1989:
1983:
1980:
1976:
1970:
1966:
1961:
1956:
1952:
1947:
1942:
1937:
1933:
1929:
1923:
1918:
1912:
1907:
1903:
1899:
1895:
1891:
1888:
1885:
1881:
1875:
1871:
1866:
1862:
1859:
1854:
1849:
1844:
1840:
1836:
1830:
1825:
1819:
1814:
1810:
1780:
1776:
1772:
1769:
1762:
1758:
1752:
1748:
1741:
1736:
1733:
1730:
1726:
1701:
1698:
1690:
1686:
1680:
1676:
1672:
1666:
1660:
1656:
1651:
1642:
1637:
1633:
1608:
1604:
1581:
1577:
1564:
1561:
1548:
1526:
1521:
1517:
1496:
1493:
1490:
1487:
1484:
1462:
1458:
1437:
1434:
1431:
1411:
1408:
1401:
1396:
1392:
1386:
1381:
1377:
1369:
1366:
1363:
1360:
1357:
1354:
1351:
1347:
1334:
1333:Interpretation
1331:
1316:
1312:
1285:
1281:
1264:
1263:
1249:
1245:
1224:
1221:
1218:
1190:
1186:
1180:
1176:
1153:
1150:
1147:
1142:
1138:
1134:
1131:
1127:
1121:
1117:
1112:
1108:
1105:
1100:
1097:
1094:
1091:
1088:
1084:
1078:
1075:
1072:
1068:
1047:
1044:
1041:
1038:
1014:
1011:
1008:
1003:
999:
995:
990:
967:
963:
957:
952:
949:
946:
942:
938:
933:
929:
916:
913:
911:
908:
904:
903:
892:
889:
886:
883:
878: as
874:
871:
868:
861:
856:
852:
846:
841:
837:
829:
826:
823:
820:
817:
814:
811:
807:
780:
777:
774:
771:
753:
752:
737:
733:
728:
723:
719:
715:
710:
706:
702:
697:
692:
689:
686:
682:
675:
670:
666:
642:
627:
624:
621:
610:
609:
598:
595:
591:
585:
580:
576:
572:
569:
565:
559:
555:
551:
546:
542:
537:
533:
528:
523:
518:
514:
508:
504:
500:
495:
491:
487:
483:
478:
472:
467:
464:
461:
457:
449:
444:
440:
436:
429:
426:
423:
419:
389:
385:
362:
357:
352:
348:
342:
337:
334:
331:
327:
323:
318:
313:
309:
286:
281:
277:
273:
270:
265:
261:
257:
252:
249:
246:
236:and variances
223:
219:
215:
212:
207:
203:
199:
194:
168:
164:
161:
156:
152:
148:
145:
142:
137:
133:
108:
104:
100:
95:
90:
87:
84:
72:
69:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2492:
2481:
2478:
2476:
2473:
2472:
2470:
2456:
2454:0-387-32903-X
2450:
2446:
2439:
2436:
2431:
2427:
2423:
2419:
2415:
2411:
2410:
2405:
2398:
2395:
2390:
2385:
2384:
2375:
2372:
2367:
2365:0-12-065202-1
2361:
2357:
2352:
2351:
2342:
2339:
2334:
2332:0-471-80478-9
2328:
2324:
2323:
2315:
2312:
2305:
2301:
2298:
2296:
2293:
2292:
2288:
2286:
2272:
2250:
2246:
2223:
2218:
2214:
2204:
2190:
2185:
2171:
2167:
2156:
2151:
2139:
2131:
2122:
2119:
2109:
2105:
2095:
2091:
2086:
2081:
2076:
2072:
2068:
2062:
2053:
2049:
2044:
2030:
2026:
2015:
2010:
1998:
1990:
1981:
1978:
1968:
1964:
1954:
1950:
1945:
1940:
1935:
1931:
1927:
1921:
1910:
1905:
1901:
1897:
1893:
1886:
1883:
1873:
1869:
1857:
1852:
1847:
1842:
1838:
1834:
1828:
1817:
1812:
1808:
1799:
1796:
1778:
1770:
1760:
1756:
1750:
1746:
1739:
1734:
1731:
1728:
1724:
1715:
1712:
1699:
1688:
1678:
1674:
1658:
1654:
1640:
1635:
1622:
1606:
1602:
1579:
1575:
1562:
1560:
1546:
1524:
1519:
1515:
1494:
1491:
1488:
1485:
1482:
1460:
1456:
1429:
1409:
1399:
1394:
1390:
1384:
1379:
1375:
1367:
1364:
1361:
1358:
1355:
1352:
1349:
1332:
1330:
1314:
1310:
1301:
1283:
1279:
1270:
1247:
1243:
1216:
1208:
1188:
1184:
1178:
1174:
1151:
1148:
1140:
1136:
1132:
1129:
1119:
1115:
1103:
1098:
1095:
1092:
1089:
1086:
1070:
1045:
1042:
1039:
1028:
1027:
1026:
1012:
1009:
1001:
997:
965:
961:
955:
950:
947:
944:
940:
936:
931:
927:
909:
907:
890:
881:
872:
869:
859:
854:
850:
844:
839:
835:
827:
824:
821:
818:
815:
812:
809:
797:
796:
795:
791:
778:
769:
761:
757:
735:
731:
721:
717:
713:
708:
704:
695:
690:
687:
684:
680:
673:
668:
664:
656:
655:
654:
652:
648:
641:
625:
622:
619:
596:
593:
589:
578:
574:
570:
567:
557:
553:
549:
544:
540:
521:
516:
506:
502:
498:
493:
489:
481:
470:
465:
462:
459:
455:
447:
442:
438:
434:
421:
409:
408:
407:
405:
387:
383:
373:
360:
355:
350:
346:
340:
335:
332:
329:
325:
321:
316:
311:
307:
284:
279:
275:
271:
263:
259:
221:
217:
213:
205:
201:
183:
162:
159:
154:
140:
135:
131:
122:
98:
88:
70:
68:
66:
62:
58:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
19:
2444:
2438:
2413:
2407:
2397:
2382:
2374:
2349:
2341:
2321:
2314:
2205:
1800:
1797:
1716:
1713:
1623:
1566:
1336:
1265:
918:
905:
792:
754:
639:
611:
403:
374:
181:
74:
51:and be both
32:
26:
649:, then the
182:independent
61:independent
2469:Categories
2387:. p.
2306:References
1271:holds for
402:satisfies
2430:119730242
2273:ε
2215:ξ
2136:‖
2129:‖
2123:ε
2106:ξ
2073:ξ
1995:‖
1988:‖
1982:ε
1965:ξ
1902:∑
1898:≤
1887:ε
1809:∑
1775:‖
1768:‖
1757:ξ
1697:→
1685:‖
1671:‖
1576:ξ
1492:≤
1486:≤
1436:∞
1433:→
1407:→
1376:σ
1362:…
1298:by using
1223:∞
1220:→
1133:ε
1096:≤
1090:≤
1077:∞
1074:→
1040:ε
1037:∀
941:∑
888:∞
885:→
867:→
836:σ
822:…
776:∞
773:→
718:μ
714:−
681:∑
620:ε
571:ε
554:μ
550:−
522:⋅
503:μ
499:−
456:∑
428:∞
425:→
347:σ
326:∑
276:σ
218:μ
163:∈
147:→
144:Ω
86:Ω
71:Statement
2289:See also
638:, where
612:for all
49:variance
1563:Example
910:Remarks
645:is the
2451:
2428:
2362:
2329:
123:, and
2426:S2CID
1235:then
758:to a
180:, be
119:be a
35:is a
2449:ISBN
2360:ISBN
2327:ISBN
2206:but
2120:>
1979:>
1884:>
1164:and
1130:>
1043:>
623:>
568:>
75:Let
2418:doi
2389:314
2356:307
2148:max
2007:max
1632:max
1422:as
1346:max
1209:as
1083:max
1067:lim
1029:if
806:max
762:as
643:{…}
418:lim
27:In
2471::
2424:.
2414:15
2412:.
2406:.
2358:.
2285:.
1559:.
1329:.
1058:,
937::=
674::=
406::
322::=
67:.
55:,
31:,
2457:.
2432:.
2420::
2391:.
2368:.
2335:.
2251:i
2247:a
2224:2
2219:i
2191:]
2186:)
2178:|
2172:i
2168:a
2163:|
2157:n
2152:i
2140:2
2132:a
2116:|
2110:i
2101:|
2096:(
2092:1
2087:2
2082:|
2077:i
2069:|
2063:[
2058:E
2054:=
2050:]
2045:)
2037:|
2031:i
2027:a
2022:|
2016:n
2011:i
1999:2
1991:a
1975:|
1969:i
1960:|
1955:(
1951:1
1946:2
1941:|
1936:i
1932:X
1928:|
1922:[
1917:E
1911:n
1906:i
1894:]
1890:)
1880:|
1874:i
1870:X
1865:|
1861:(
1858:1
1853:2
1848:|
1843:i
1839:X
1835:|
1829:[
1824:E
1818:n
1813:i
1779:2
1771:a
1761:i
1751:i
1747:a
1740:=
1735:i
1732:,
1729:n
1725:X
1700:0
1689:2
1679:i
1675:a
1665:|
1659:i
1655:a
1650:|
1641:n
1636:i
1607:i
1603:a
1580:i
1547:n
1525:2
1520:n
1516:s
1495:n
1489:k
1483:1
1475:(
1461:k
1457:X
1430:n
1410:0
1400:2
1395:n
1391:s
1385:2
1380:k
1368:n
1365:,
1359:,
1356:1
1353:=
1350:k
1315:k
1311:X
1284:k
1280:X
1248:k
1244:X
1217:n
1189:n
1185:s
1179:n
1175:S
1152:0
1149:=
1146:)
1141:n
1137:s
1126:|
1120:k
1116:X
1111:|
1107:(
1104:P
1099:n
1093:k
1087:1
1071:n
1046:0
1013:0
1010:=
1007:]
1002:k
998:X
994:[
989:E
966:k
962:X
956:n
951:1
948:=
945:k
932:n
928:S
891:,
882:n
873:,
870:0
860:2
855:n
851:s
845:2
840:k
828:n
825:,
819:,
816:1
813:=
810:k
779:.
770:n
736:n
732:s
727:)
722:k
709:k
705:X
701:(
696:n
691:1
688:=
685:k
669:n
665:Z
640:1
626:0
597:0
594:=
590:]
584:}
579:n
575:s
564:|
558:k
545:k
541:X
536:|
532:{
527:1
517:2
513:)
507:k
494:k
490:X
486:(
482:[
477:E
471:n
466:1
463:=
460:k
448:2
443:n
439:s
435:1
422:n
388:k
384:X
361:.
356:2
351:k
341:n
336:1
333:=
330:k
317:2
312:n
308:s
285:2
280:k
272:=
269:]
264:k
260:X
256:[
251:r
248:a
245:V
222:k
214:=
211:]
206:k
202:X
198:[
193:E
167:N
160:k
155:,
151:R
141::
136:k
132:X
107:)
103:P
99:,
94:F
89:,
83:(
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.