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Lindelöf's theorem

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254: 1158: 943: 1341: 119: 538: 436: 1238: 672: 1029: 1024: 1370: 715: 771: 1415: 830: 835: 735: 601: 305: 111: 797: 73:
of the strip and does not grow "too fast" in the unbounded direction of the strip must remain bounded on the whole strip. The result is useful in the study of the
581: 561: 365: 345: 325: 277: 1243: 249:{\displaystyle \Omega =\{z\in \mathbb {C} |x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}\ {\text{and}}\ \mathrm {Im} (z)\geq y_{0}\}\subsetneq \mathbb {C} .} 447: 78: 1458: 373: 1163: 1439: 609: 1153:{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid x_{1}\leq \mathrm {Re} (z)\leq x_{2}\ {\text{and}}\ y_{0}\leq \mathrm {Im} (z)\leq y_{1}\}} 25: 1427: 952: 82: 946: 54: 1346: 685: 17: 740: 74: 29: 1375: 280: 58: 802: 70: 938:{\displaystyle {\frac {By_{1}^{A}}{(y_{1}+\lambda )^{N}}}\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}} 1435: 284: 720: 586: 290: 96: 776: 66: 44: 1336:{\displaystyle |f(\xi )|\leq M\left({\frac {|\xi +\lambda |}{y_{0}+\lambda }}\right)^{N}} 566: 546: 350: 330: 310: 262: 1452: 62: 51: 36: 21: 533:{\displaystyle |f(x+iy)|\leq By^{A}\ {\text{for all}}\ x+iy\in \Omega .} 48: 431:{\displaystyle |f(z)|\leq M\ {\text{for all}}\ z\in \partial \Omega } 1233:{\displaystyle |g(\xi )|\leq {\frac {M}{(y_{0}+\lambda )^{N}}}} 667:{\displaystyle |f(z)|\leq M\ {\text{for all}}\ z\in \Omega .} 1019:{\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{(z+i\lambda )^{N}}}} 1378: 1349: 1246: 1166: 1032: 955: 838: 805: 779: 743: 723: 688: 612: 589: 569: 549: 450: 376: 353: 333: 313: 293: 265: 122: 99: 1409: 1364: 1335: 1232: 1152: 1018: 937: 824: 791: 765: 729: 709: 666: 595: 575: 555: 532: 430: 359: 339: 319: 299: 271: 248: 105: 8: 1147: 1033: 232: 129: 1396: 1379: 1377: 1348: 1327: 1308: 1297: 1283: 1280: 1264: 1247: 1245: 1221: 1205: 1192: 1184: 1167: 1165: 1141: 1117: 1108: 1096: 1087: 1063: 1054: 1043: 1042: 1031: 1007: 971: 954: 926: 910: 897: 885: 869: 854: 849: 839: 837: 810: 804: 778: 757: 742: 722: 687: 644: 630: 613: 611: 588: 568: 548: 501: 492: 477: 451: 449: 408: 394: 377: 375: 352: 332: 312: 292: 264: 239: 238: 226: 202: 194: 185: 161: 152: 143: 139: 138: 121: 98: 113:be a half-strip in the complex plane: 7: 1365:{\displaystyle \lambda \to +\infty } 710:{\displaystyle \xi =\sigma +i\tau } 1359: 1121: 1118: 1067: 1064: 766:{\displaystyle \lambda >-y_{0}} 724: 658: 590: 524: 425: 422: 294: 206: 203: 165: 162: 123: 100: 14: 79:Phragmén–Lindelöf principle 1410:{\displaystyle |f(\xi )|\leq M} 77:, and is a special case of the 1397: 1393: 1387: 1380: 1353: 1298: 1284: 1265: 1261: 1255: 1248: 1218: 1198: 1185: 1181: 1175: 1168: 1131: 1125: 1077: 1071: 1004: 988: 983: 977: 965: 959: 923: 903: 882: 862: 825:{\displaystyle y_{1}>\tau } 631: 627: 621: 614: 478: 474: 459: 452: 395: 391: 385: 378: 307:and that there are constants 216: 210: 175: 169: 144: 1: 1459:Theorems in complex analysis 83:Hadamard three-lines theorem 1475: 15: 1026:and the rectangular area 947:maximum modulus principle 89:Statement of the theorem 16:Not to be confused with 1434:. New York, NY: Dover. 1432:Riemann's Zeta Function 832:large enough such that 730:{\displaystyle \Omega } 596:{\displaystyle \Omega } 300:{\displaystyle \Omega } 106:{\displaystyle \Omega } 61:on a half-strip in the 26:Picard–Lindelöf theorem 1411: 1366: 1337: 1234: 1154: 1020: 939: 826: 793: 792:{\displaystyle N>A} 767: 731: 711: 668: 597: 577: 557: 534: 432: 361: 341: 321: 301: 273: 250: 107: 55:Ernst Leonard Lindelöf 30:differential equations 1412: 1367: 1338: 1235: 1155: 1021: 940: 827: 794: 768: 732: 712: 669: 598: 578: 558: 535: 433: 362: 342: 322: 302: 274: 251: 108: 75:Riemann zeta function 1376: 1347: 1244: 1164: 1030: 953: 836: 803: 777: 741: 721: 686: 610: 587: 567: 547: 448: 374: 351: 331: 311: 291: 263: 120: 97: 59:holomorphic function 859: 57:. It states that a 1407: 1362: 1333: 1230: 1150: 1016: 935: 845: 822: 789: 763: 727: 707: 664: 593: 573: 553: 530: 428: 357: 337: 317: 297: 269: 246: 103: 41:Lindelöf's theorem 1321: 1228: 1103: 1099: 1095: 1014: 933: 892: 651: 647: 643: 576:{\displaystyle M} 556:{\displaystyle f} 508: 504: 500: 415: 411: 407: 360:{\displaystyle B} 340:{\displaystyle A} 320:{\displaystyle M} 272:{\displaystyle f} 201: 197: 193: 1466: 1445: 1416: 1414: 1413: 1408: 1400: 1383: 1371: 1369: 1368: 1363: 1342: 1340: 1339: 1334: 1332: 1331: 1326: 1322: 1320: 1313: 1312: 1302: 1301: 1287: 1281: 1268: 1251: 1239: 1237: 1236: 1231: 1229: 1227: 1226: 1225: 1210: 1209: 1193: 1188: 1171: 1159: 1157: 1156: 1151: 1146: 1145: 1124: 1113: 1112: 1101: 1100: 1097: 1093: 1092: 1091: 1070: 1059: 1058: 1046: 1025: 1023: 1022: 1017: 1015: 1013: 1012: 1011: 986: 972: 949:to the function 944: 942: 941: 936: 934: 932: 931: 930: 915: 914: 898: 893: 891: 890: 889: 874: 873: 860: 858: 853: 840: 831: 829: 828: 823: 815: 814: 798: 796: 795: 790: 772: 770: 769: 764: 762: 761: 736: 734: 733: 728: 716: 714: 713: 708: 673: 671: 670: 665: 649: 648: 645: 641: 634: 617: 602: 600: 599: 594: 582: 580: 579: 574: 562: 560: 559: 554: 539: 537: 536: 531: 506: 505: 502: 498: 497: 496: 481: 455: 437: 435: 434: 429: 413: 412: 409: 405: 398: 381: 366: 364: 363: 358: 346: 344: 343: 338: 326: 324: 323: 318: 306: 304: 303: 298: 278: 276: 275: 270: 255: 253: 252: 247: 242: 231: 230: 209: 199: 198: 195: 191: 190: 189: 168: 157: 156: 147: 142: 112: 110: 109: 104: 47:named after the 45:complex analysis 28:in the study of 18:Lindelöf's lemma 1474: 1473: 1469: 1468: 1467: 1465: 1464: 1463: 1449: 1448: 1442: 1426: 1423: 1374: 1373: 1345: 1344: 1304: 1303: 1282: 1276: 1275: 1242: 1241: 1217: 1201: 1197: 1162: 1161: 1137: 1104: 1083: 1050: 1028: 1027: 1003: 987: 973: 951: 950: 922: 906: 902: 881: 865: 861: 841: 834: 833: 806: 801: 800: 775: 774: 753: 739: 738: 719: 718: 684: 683: 680: 608: 607: 585: 584: 565: 564: 545: 544: 488: 446: 445: 372: 371: 349: 348: 329: 328: 309: 308: 289: 288: 261: 260: 222: 181: 148: 118: 117: 95: 94: 91: 43:is a result in 33: 12: 11: 5: 1472: 1470: 1462: 1461: 1451: 1450: 1447: 1446: 1440: 1422: 1419: 1406: 1403: 1399: 1395: 1392: 1389: 1386: 1382: 1361: 1358: 1355: 1352: 1330: 1325: 1319: 1316: 1311: 1307: 1300: 1296: 1293: 1290: 1286: 1279: 1274: 1271: 1267: 1263: 1260: 1257: 1254: 1250: 1224: 1220: 1216: 1213: 1208: 1204: 1200: 1196: 1191: 1187: 1183: 1180: 1177: 1174: 1170: 1149: 1144: 1140: 1136: 1133: 1130: 1127: 1123: 1120: 1116: 1111: 1107: 1090: 1086: 1082: 1079: 1076: 1073: 1069: 1066: 1062: 1057: 1053: 1049: 1045: 1041: 1038: 1035: 1010: 1006: 1002: 999: 996: 993: 990: 985: 982: 979: 976: 970: 967: 964: 961: 958: 929: 925: 921: 918: 913: 909: 905: 901: 896: 888: 884: 880: 877: 872: 868: 864: 857: 852: 848: 844: 821: 818: 813: 809: 788: 785: 782: 760: 756: 752: 749: 746: 726: 706: 703: 700: 697: 694: 691: 679: 676: 675: 674: 663: 660: 657: 654: 640: 637: 633: 629: 626: 623: 620: 616: 592: 572: 563:is bounded by 552: 541: 540: 529: 526: 523: 520: 517: 514: 511: 495: 491: 487: 484: 480: 476: 473: 470: 467: 464: 461: 458: 454: 439: 438: 427: 424: 421: 418: 404: 401: 397: 393: 390: 387: 384: 380: 356: 336: 316: 296: 268: 257: 256: 245: 241: 237: 234: 229: 225: 221: 218: 215: 212: 208: 205: 188: 184: 180: 177: 174: 171: 167: 164: 160: 155: 151: 146: 141: 137: 134: 131: 128: 125: 102: 90: 87: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1471: 1460: 1457: 1456: 1454: 1443: 1441:0-486-41740-9 1437: 1433: 1429: 1428:Edwards, H.M. 1425: 1424: 1420: 1418: 1417:as required. 1404: 1401: 1390: 1384: 1356: 1350: 1328: 1323: 1317: 1314: 1309: 1305: 1294: 1291: 1288: 1277: 1272: 1269: 1258: 1252: 1222: 1214: 1211: 1206: 1202: 1194: 1189: 1178: 1172: 1142: 1138: 1134: 1128: 1114: 1109: 1105: 1088: 1084: 1080: 1074: 1060: 1055: 1051: 1047: 1039: 1036: 1008: 1000: 997: 994: 991: 980: 974: 968: 962: 956: 948: 927: 919: 916: 911: 907: 899: 894: 886: 878: 875: 870: 866: 855: 850: 846: 842: 819: 816: 811: 807: 786: 783: 780: 773:, an integer 758: 754: 750: 747: 744: 704: 701: 698: 695: 692: 689: 677: 661: 655: 652: 638: 635: 624: 618: 606: 605: 604: 570: 550: 527: 521: 518: 515: 512: 509: 493: 489: 485: 482: 471: 468: 465: 462: 456: 444: 443: 442: 419: 416: 402: 399: 388: 382: 370: 369: 368: 354: 334: 314: 286: 282: 266: 259:Suppose that 243: 235: 227: 223: 219: 213: 186: 182: 178: 172: 158: 153: 149: 135: 132: 126: 116: 115: 114: 88: 86: 84: 80: 76: 72: 68: 64: 63:complex plane 60: 56: 53: 52:mathematician 50: 46: 42: 38: 31: 27: 23: 19: 1431: 682:Fix a point 681: 542: 440: 258: 92: 81:. Also, see 40: 34: 1240:, that is, 945:. Applying 281:holomorphic 37:mathematics 1421:References 1343:. Letting 1160:we obtain 583:on all of 367:such that 1402:≤ 1391:ξ 1360:∞ 1354:→ 1351:λ 1318:λ 1295:λ 1289:ξ 1270:≤ 1259:ξ 1215:λ 1190:≤ 1179:ξ 1135:≤ 1115:≤ 1081:≤ 1061:≤ 1048:∣ 1040:∈ 1001:λ 920:λ 895:≤ 879:λ 820:τ 751:− 745:λ 737:. 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Index

Lindelöf's lemma
topology
Picard–Lindelöf theorem
differential equations
mathematics
complex analysis
Finnish
mathematician
Ernst Leonard Lindelöf
holomorphic function
complex plane
bounded
boundary
Riemann zeta function
Phragmén–Lindelöf principle
Hadamard three-lines theorem
holomorphic
analytic
maximum modulus principle
Edwards, H.M.
ISBN
0-486-41740-9
Category
Theorems in complex analysis

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