306:
835:
71:
671:
679:
301:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{2}\log {\big |}f(x){\big |}\,d\nu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\nu (x)+\|f\|_{2}^{2}\log \|f\|_{2},}
550:
454:
510:
378:
342:
52:
536:
481:
418:
398:
830:{\displaystyle \operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\log {\frac {f^{2}}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\,d\mu (x)}}\,d\mu (x)}
958:
460:, Gross's log-Sobolev inequality does not have any dimension-dependent constant, which makes it applicable in the infinite-dimensional limit.
59:
666:{\displaystyle \operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})\leq C\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\mu (x),}
62:. Similar results were discovered by other mathematicians before and many variations on such inequalities are known.
963:
427:
486:
457:
968:
911:
347:
314:
34:
938:
903:
515:
421:
466:
403:
927:"Hypercontractivity and logarithmic Sobolev inequalities for the Clifford-Dirichlet form"
383:
952:
922:
891:
55:
942:
926:
20:
58:, who established them in dimension-independent form, in the context of
915:
907:
27:
are a class of inequalities involving the norm of a function
512:
is said to satisfy the log-Sobolev inequality with constant
682:
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518:
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372:
336:
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54:. These inequalities were discovered and named by
46:
894:(1975a), "Logarithmic Sobolev inequalities",
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463:In particular, a probability measure
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31:, its logarithm, and its gradient
14:
449:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
60:constructive quantum field theory
505:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
25:logarithmic Sobolev inequalities
896:American Journal of Mathematics
959:Axiomatic quantum field theory
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943:10.1215/S0012-7094-75-04237-4
65:Gross proved the inequality:
837:is the entropy functional.
538:if for any smooth function
373:{\displaystyle L^{2}(\nu )}
985:
931:Duke Mathematical Journal
337:{\displaystyle \|f\|_{2}}
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