2301:
1856:
133:
2296:{\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\={}&\left.{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\\={}&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{aligned}}}
1316:
36:
1004:
434:
678:
990:
3312:
472:
194:
4274:
1311:{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\sqrt {xy}}\left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{-1}\ln {\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {x-y}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x(\ln x)^{-1}\ln x+y(\ln y)^{-1}\ln y}{2}}\\{\sqrt {xy}}&\leq &{\dfrac {x-y}{\ln x-\ln y}}&\leq &{\dfrac {x+y}{2}}\end{array}}}
690:
3487:
3135:
1513:
3904:
3099:
4121:
429:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln(\eta )-\ln(\xi )}}\\&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y,\\{\dfrac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{aligned}}}
673:{\displaystyle {\frac {2}{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leq {\sqrt {xy}}\leq {\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x+y}{2}}\leq \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)^{1/2}\qquad {\text{ for all }}x>0{\text{ and }}y>0.}
2803:
2602:
4133:
2491:
3345:
1337:
1674:
4016:
3645:
985:{\displaystyle {\sqrt {xy}}\ \left(\ln {\sqrt {xy}}\right)^{n-1}\left(n+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x(\ln x)^{n}-y(\ln y)^{n}}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(\ln x)^{n-1}(n+\ln x)+y(\ln y)^{n-1}(n+\ln y)}{2}}}
1861:
3664:
1764:
199:
3307:{\displaystyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}}
2900:
1835:
2878:
2496:
4028:
3337:
2384:
2392:
2644:
4269:{\displaystyle {\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}
3130:
3482:{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }
2624:
4299:
3921:
3498:
1568:
1508:{\displaystyle {\sqrt {xy}}\left(1+\ln {\sqrt {xy}}\right)\leq {\frac {x\ln x-y\ln y}{\ln x-\ln y}}\leq {\frac {x(1+\ln x)+y(1+\ln y)}{2}}}
2305:
The area interpretation allows the easy derivation of some basic properties of the logarithmic mean. Since the exponential function is
3899:{\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x(\ln y-\ln z)+y(\ln z-\ln x)+z(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)(\ln y-\ln z)(\ln z-\ln x)}}.}
1320:
This is the arithmetic logarithmic geometric mean inequality. Similarly, one can also obtain results by putting different values of
119:
53:
4481:
1701:
100:
72:
57:
3094:{\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)(y-z)(z-x)}{2{\bigl (}(y-z)\ln x+(z-x)\ln y+(x-y)\ln z{\bigr )}}}}.}
4446:
79:
3109:
The integral interpretation can also be generalized to more variables, but it leads to a different result. Given the
1779:
4456:
86:
46:
1009:
157:
4116:{\displaystyle {\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}}
68:
2811:
132:
680:
339:
1543:
149:
2324:
3317:
2318:
1850:
4499:
4425:
2881:
2306:
1531:
4482:
https://www.parabola.unsw.edu.au/files/articles/2020-2029/volume-58-2022/issue-2/vol58_no2_3.pdf
2798:{\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt{(-1)^{n+1}n\ln \left(\left\right)}}}
2597:{\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.}
4453:
1692:
93:
4417:
4390:
4342:
456:
3915:
452:
4504:
4293:
4286:
4022:
460:
20:
4347:
4330:
4493:
4127:
2486:{\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}}
464:
177:
173:
4394:
4304:
3115:
1535:
24:
4408:
Frank Burk (1987). "The
Geometric, Logarithmic, and Arithmetic Mean Inequality".
3492:
This can be simplified using divided differences of the exponential function to
1559:
169:
141:
35:
2632:
4461:
4011:{\displaystyle {\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}
3640:{\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left}
161:
467:, respectively. The inequalities are strict unless both numbers are equal.
4484:"A generalisation of the Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality
1669:{\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}
683:
generalizes the arithmetic logarithmic geometric mean inequality for any
165:
4472:
4429:
3110:
4362:
B. Ostle & H. L. Terwilliger (1957). "A comparison of two means".
2321:
of the integral operator is transferred to the mean operator, that is
153:
4421:
16:
Difference of two numbers divided by the logarithm of their quotient
136:
Three-dimensional plot showing the values of the logarithmic mean.
1846:
4381:
Tung-Po Lin (1974). "The Power Mean and the
Logarithmic Mean".
29:
459:
with exponent greater than 1. However, it is larger than the
4476:, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92
1759:{\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}
2071:
418:
2309:, the integral over an interval of length 1 is bounded by
451:
The logarithmic mean of two numbers is smaller than the
4285:
A different mean which is related to logarithms is the
3320:
3118:
4136:
4031:
3924:
3667:
3501:
3348:
3138:
2903:
2814:
2647:
2499:
2395:
2327:
1859:
1782:
1704:
1571:
1340:
1285:
1238:
1129:
1082:
1007:
693:
481:
475:
369:
197:
1845:
The logarithmic mean can also be interpreted as the
3339:which assigns the simplex a volume of 1, we obtain
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
4457:"Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean Inequality"
4268:
4115:
4010:
3898:
3639:
3481:
3331:
3306:
3124:
3093:
2872:
2797:
2596:
2485:
2378:
2295:
1829:
1758:
1668:
1507:
1310:
984:
672:
428:
4486:, Parabola Magazine, Vol. 58, No. 2, 2022, pp 1–5
2551:
2447:
1679:The logarithmic mean is obtained as the value of
21:the log-average formulation of the geometric mean
4331:"Some inequalities for hypergeometric functions"
235:
1830:{\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}
4292:The logarithmic mean is a special case of the
3079:
2994:
2389:Two other useful integral representations are
8:
3301:
3145:
2612:Mean value theorem of differential calculus
1526:Mean value theorem of differential calculus
1517:for the proof go through the bibliography.
4447:Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean'
2625:mean value theorem for divided differences
4346:
4253:
4240:
4234:
4215:
4206:
4195:
4186:
4161:
4148:
4137:
4135:
4103:
4081:
4068:
4032:
4030:
3990:
3953:
3940:
3925:
3923:
3708:
3672:
3666:
3622:
3607:
3600:
3587:
3542:
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3530:
3521:
3506:
3500:
3471:
3460:
3455:
3450:
3442:
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3422:
3417:
3407:
3389:
3384:
3377:
3368:
3353:
3347:
3321:
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3284:
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3220:
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3178:
3173:
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3157:
3137:
3117:
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3077:
2993:
2992:
2938:
2908:
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2855:
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2813:
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2748:
2714:
2698:
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2572:
2545:
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2205:
2181:
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2104:
2086:
2074:
2065:
2050:
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2030:
2019:
2014:
2005:
1994:
1982:
1968:
1957:
1952:
1946:
1935:
1926:
1910:
1900:
1895:
1885:
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1858:
1789:
1781:
1718:
1705:
1703:
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1570:
1445:
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1368:
1341:
1339:
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1128:
1081:
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1012:
1008:
1006:
943:
888:
866:
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803:
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734:
719:
694:
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642:
631:
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598:
591:
565:
524:
511:
495:
482:
476:
474:
410:
368:
347:
334:
274:
238:
206:
198:
196:
120:Learn how and when to remove this message
131:
4473:Generalizations of the logarithmic mean
4321:
4300:Logarithmic mean temperature difference
2873:{\displaystyle \ln \left(\left\right)}
168:. This calculation is applicable in
7:
1691:and similarly for its corresponding
188:The logarithmic mean is defined as:
58:adding citations to reliable sources
3472:
3322:
2548:
2540:
2444:
2051:
1995:
1936:
1572:
14:
4410:The American Mathematical Monthly
4383:The American Mathematical Monthly
4348:10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6
3332:{\textstyle \mathrm {d} \alpha }
2379:{\displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)}
34:
2616:One can generalize the mean to
687:belongs to the whole number as
641:
45:needs additional citations for
4395:10.1080/00029890.1974.11993684
3981:
3969:
3887:
3863:
3860:
3836:
3833:
3809:
3804:
3780:
3771:
3747:
3738:
3714:
3696:
3678:
3065:
3053:
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1879:
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1649:
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1634:
1628:
1616:
1610:
1593:
1581:
1496:
1478:
1469:
1451:
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1148:
1135:
973:
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900:
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800:
787:
318:
312:
300:
294:
269:
257:
254:
251:
239:
224:
212:
1:
2623:variables by considering the
25:the mean in the log semiring
3314:and an appropriate measure
4521:
18:
3910:Connection to other means
439:for the positive numbers
4479:Toyesh Prakash Sharma.:
1558:equals the slope of the
156:which is equal to their
19:Not to be confused with
4470:Stolarsky, Kenneth B.:
4364:Proc. Montana Acad. Sci
4329:B. C. Carlson (1966).
4270:
4117:
4012:
3900:
3641:
3483:
3333:
3308:
3126:
3095:
2874:
2799:
2598:
2487:
2380:
2297:
1831:
1760:
1670:
1509:
1312:
986:
674:
430:
137:
4335:Proc. Amer. Math. Soc
4271:
4118:
4013:
3901:
3642:
3484:
3334:
3309:
3127:
3096:
2875:
2800:
2599:
2488:
2381:
2298:
1832:
1761:
1671:
1554:where the derivative
1510:
1313:
987:
681:Toyesh Prakash Sharma
675:
431:
135:
4134:
4029:
3922:
3665:
3499:
3346:
3318:
3136:
3116:
2901:
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2645:
2497:
2393:
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1857:
1780:
1702:
1569:
1338:
1005:
691:
473:
195:
152:of two non-negative
54:improve this article
3467:
3434:
2544:
2440:
2145:
2024:
1962:
1905:
644: for all
172:problems involving
4454:Weisstein, Eric W.
4266:
4113:
4008:
3896:
3637:
3479:
3446:
3413:
3329:
3304:
3122:
3091:
2884:of the logarithm.
2882:divided difference
2870:
2795:
2635:of the logarithm.
2594:
2530:
2483:
2426:
2376:
2293:
2291:
2069:
2010:
1948:
1891:
1827:
1756:
1666:
1532:mean value theorem
1505:
1308:
1306:
1302:
1275:
1214:
1119:
982:
670:
505:
426:
424:
417:
406:
273:
138:
69:"Logarithmic mean"
4264:
4261:
4248:
4229:
4221:
4201:
4169:
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4098:
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3985:
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2235:
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2094:
2038:
1993:
1976:
1934:
1851:exponential curve
1825:
1754:
1713:
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