48:
30:
2916:
2926:
1094:
859:
991:
662:
554:
1317:
1197:
319:
227:
397:
750:
150:
1415:
1574:
92:
425:
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668:
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1002:
2094:
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2881:
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1718:
1567:
900:
567:
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2080:
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2919:
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2567:
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1223:
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1117:
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2603:
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2211:
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1650:
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2682:
2299:
2000:
1859:
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1844:
1773:
2737:
2732:
2677:
2613:
2378:
2156:
2053:
1638:
2557:
2365:
1515:
Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). "Chapter 7: Logarithmic and
Lagrangian distributions".
1465:"The Relation Between the Number of Species and the Number of Individuals in a Random Sample of an Animal Population"
2871:
2647:
2466:
2248:
2201:
2070:
2046:
2026:
1869:
1743:
1623:
1431:
560:
2876:
1819:
2660:
2621:
2495:
2332:
2176:
2121:
2019:
1983:
1854:
1362:= 1, 2, 3, ... is an infinite sequence of independent identically distributed random variables each having a Log(
1100:
156:
47:
29:
2562:
2350:
2116:
2075:
1990:
1944:
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1849:
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1583:
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1675:
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2261:
2171:
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2111:
2031:
1929:
1879:
1874:
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1713:
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2851:
2808:
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2327:
2181:
2161:
2058:
1628:
98:
58:
1420:
has a negative binomial distribution. In this way, the negative binomial distribution is seen to be a
2901:
2896:
2891:
2886:
2823:
2793:
2672:
2315:
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2106:
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1763:
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1443:
1346:
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2835:
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2340:
2310:
2284:
2238:
2166:
1978:
1914:
37:
The function is only defined at integer values. The connecting lines are merely guides for the eye.
2866:
2355:
2136:
2131:
2036:
1973:
1968:
1824:
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1487:
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1864:
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1535:
1520:
403:
1939:
1613:
1538:
1479:
1210: < 1. Because of the identity above, the distribution is properly normalized.
891:
1108:
2012:
410:
325:
2944:
2635:
2383:
1670:
1427:
1552:
1089:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}
867:
854:{\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}}
871:
1543:
986:{\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}
657:{\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p}
431:
1430:
described the logarithmic distribution in a paper that used it to model
1491:
549:{\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}
1483:
1312:{\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}
1556:
1192:{\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}
46:
28:
314:{\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}
222:{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}}
1463:
Fisher, R. A.; Corbet, A. S.; Williams, C. B. (1943).
392:{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}
1375:
1226:
1120:
1005:
903:
766:
678:
570:
441:
413:
335:
243:
166:
108:
68:
2844:
2802:
2703:
2539:
2517:
2508:
2392:
2227:
1903:
1800:
1791:
1684:
1604:
1595:
755:
667:
559:
430:
402:
324:
232:
155:
97:
57:
1409:
1311:
1191:
1088:
985:
853:
745:{\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}}
744:
656:
548:
419:
391:
313:
221:
144:
86:
1568:
8:
139:
115:
19:
1206: ≥ 1, and where 0 <
2514:
1797:
1601:
1575:
1561:
1553:
1171:
1062:
18:
1401:
1391:
1380:
1374:
1251:
1248:
1225:
1178:
1172:
1136:
1119:
1069:
1063:
1027:
1021:
1010:
1004:
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957:
943:
937:
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825:
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765:
704:
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677:
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596:
571:
569:
537:
503:
452:
445:
440:
412:
371:
336:
334:
253:
250:
242:
208:
202:
167:
165:
107:
67:
1455:
1446:(also derived from a Maclaurin series)
145:{\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}
1519:(3 ed.). John Wiley & Sons.
1337:)-distributed random variables has a
7:
2925:
1410:{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}
1252:
1022:
254:
14:
1517:Univariate discrete distributions
996:From this we obtain the identity
888:discrete probability distribution
16:Discrete probability distribution
2924:
2915:
2914:
1215:cumulative distribution function
44:Cumulative distribution function
880:logarithmic series distribution
1339:negative binomial distribution
1333:A Poisson compounded with Log(
1303:
1291:
1280:
1256:
1236:
1230:
1165:
1153:
1130:
1124:
1056:
1044:
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913:
834:
826:
814:
802:
791:
776:
736:
724:
713:
688:
625:
613:
602:
580:
534:
530:
518:
509:
500:
487:
482:
470:
365:
353:
305:
293:
282:
258:
196:
184:
1:
1422:compound Poisson distribution
1345:is a random variable with a
1099:This leads directly to the
87:{\displaystyle 0<p<1}
51:Plot of the logarithmic CDF
33:Plot of the logarithmic PMF
2972:
2748:Wrapped asymmetric Laplace
1719:Extended negative binomial
1432:relative species abundance
2910:
2407:Generalized extreme value
2187:Relativistic Breit–Wigner
1584:Probability distributions
1539:"Log-Series Distribution"
1472:Journal of Animal Ecology
1101:probability mass function
760:
672:
564:
435:
407:
329:
237:
160:
102:
62:
42:
26:Probability mass function
24:
1328:incomplete beta function
876:logarithmic distribution
2402:Generalized chi-squared
2346:Normal-inverse Gaussian
884:log-series distribution
2951:Discrete distributions
2714:Univariate (circular)
2275:Generalized hyperbolic
1704:Conway–Maxwell–Poisson
1694:Beta negative binomial
1411:
1396:
1341:. In other words, if
1313:
1193:
1090:
1026:
987:
855:
746:
658:
550:
421:
393:
315:
223:
146:
88:
52:
34:
2759:Bivariate (spherical)
2257:Kaniadakis Îş-Gaussian
1412:
1376:
1366:) distribution, then
1314:
1194:
1091:
1006:
988:
856:
747:
659:
551:
422:
394:
316:
224:
147:
89:
50:
32:
2824:Dirac delta function
2771:Bivariate (toroidal)
2728:Univariate von Mises
2599:Multivariate Laplace
2491:Shifted log-logistic
1840:Continuous Bernoulli
1444:Poisson distribution
1373:
1347:Poisson distribution
1224:
1118:
1003:
901:
764:
676:
568:
439:
411:
333:
241:
164:
106:
66:
2872:Natural exponential
2777:Bivariate von Mises
2743:Wrapped exponential
2609:Multivariate stable
2604:Multivariate normal
1925:Benktander 2nd kind
1920:Benktander 1st kind
1709:Discrete phase-type
878:(also known as the
21:
2527:Rectified Gaussian
2412:Generalized Pareto
2270:Generalized normal
2142:Matrix-exponential
1536:Weisstein, Eric W.
1407:
1309:
1189:
1086:
983:
851:
742:
654:
546:
417:
389:
311:
219:
142:
84:
53:
35:
2938:
2937:
2535:
2534:
2504:
2503:
2395:whose type varies
2341:Normal (Gaussian)
2295:Hyperbolic secant
2244:Exponential power
2147:Maxwell–Boltzmann
1895:Wigner semicircle
1787:
1786:
1759:Parabolic fractal
1749:Negative binomial
1526:978-0-471-27246-5
1307:
1187:
1169:
1078:
1060:
972:
952:
890:derived from the
864:
863:
849:
823:
818:
740:
634:
629:
544:
420:{\displaystyle 1}
387:
369:
309:
217:
200:
38:
2963:
2928:
2927:
2918:
2917:
2857:Compound Poisson
2832:
2820:
2789:von Mises–Fisher
2785:
2773:
2761:
2723:Circular uniform
2719:
2639:
2583:
2554:
2515:
2417:Marchenko–Pastur
2280:Geometric stable
2197:Truncated normal
2090:Inverse Gaussian
1996:Hyperexponential
1835:Beta rectangular
1803:bounded interval
1798:
1666:Discrete uniform
1651:Poisson binomial
1602:
1577:
1570:
1563:
1554:
1549:
1548:
1530:
1503:
1502:
1500:
1494:. Archived from
1469:
1460:
1416:
1414:
1413:
1408:
1406:
1405:
1395:
1390:
1318:
1316:
1315:
1310:
1308:
1306:
1283:
1255:
1249:
1198:
1196:
1195:
1190:
1188:
1183:
1182:
1173:
1170:
1168:
1145:
1137:
1095:
1093:
1092:
1087:
1079:
1074:
1073:
1064:
1061:
1059:
1036:
1028:
1025:
1020:
992:
990:
989:
984:
973:
968:
967:
958:
953:
948:
947:
938:
892:Maclaurin series
860:
858:
857:
852:
850:
842:
837:
829:
824:
821:
819:
817:
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768:
751:
749:
748:
743:
741:
739:
716:
712:
711:
680:
663:
661:
660:
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635:
632:
630:
628:
605:
601:
600:
572:
555:
553:
552:
547:
545:
543:
542:
541:
508:
507:
485:
457:
456:
446:
426:
424:
423:
418:
398:
396:
395:
390:
388:
386:
372:
370:
368:
345:
337:
320:
318:
317:
312:
310:
308:
285:
257:
251:
228:
226:
225:
220:
218:
213:
212:
203:
201:
199:
176:
168:
151:
149:
148:
143:
93:
91:
90:
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36:
22:
2971:
2970:
2966:
2965:
2964:
2962:
2961:
2960:
2941:
2940:
2939:
2934:
2906:
2882:Maximum entropy
2840:
2828:
2816:
2806:
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2781:
2769:
2757:
2712:
2699:
2636:Matrix-valued:
2633:
2579:
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2500:
2394:
2388:
2305:
2231:
2229:
2223:
2152:Maxwell–Jüttner
2001:Hypoexponential
1907:
1905:
1904:supported on a
1899:
1860:Noncentral beta
1820:Balding–Nichols
1802:
1801:supported on a
1793:
1783:
1686:
1680:
1676:Zipf–Mandelbrot
1606:
1597:
1591:
1581:
1534:
1533:
1527:
1514:
1511:
1509:Further reading
1506:
1498:
1467:
1462:
1461:
1457:
1453:
1440:
1397:
1371:
1370:
1357:
1284:
1250:
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1221:
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1146:
1138:
1116:
1115:
1109:random variable
1065:
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1001:
1000:
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939:
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