180:
172:
3788:
1383:
3647:
425:
3607:
2439:
1006:
2688:
3338:
1166:
3783:{\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }={\frac {1}{n(n+1)}}\cdot {\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is a vertex point}}\\1{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an edge point}}\\2{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an interior point.}}\end{cases}}}
245:
3394:
2212:
3027:
862:
2450:
3218:
1378:{\displaystyle \mu _{j}=\cos \left({\frac {j\pi }{n}}\right),\eta _{k}={\begin{cases}\cos \left({\frac {(2k-2)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ odd}}\\\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ even.}}\end{cases}}}
593:
3386:
2925:
3160:
2027:
2856:
161:
1923:
1745:
1567:
851:
506:
2135:
2081:
3077:
420:{\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace =\left\lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots ,n(n+1)\right\rbrace .}
3210:
2800:
3639:
2201:
3602:{\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )=w_{\mathbf {\xi } }(K_{n}(\mathbf {\xi } ,\mathbf {x} )-T_{n}(\xi _{i})T_{n}(x_{i})),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2).}
2727:
1115:
1042:
80:
2434:{\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{^{2}}f(x_{1},x_{2})g(x_{1},x_{2}){\frac {dx_{1}}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {dx_{2}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}}
1001:{\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{1}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\mu _{j},\eta _{k}),0\leq j\leq n;1\leq k\leq \lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor +1+\delta _{j}\rbrace ,}
3806:
Caliari, Marco; Bos, Len; de Marchi, Stefano; Vianello, Marco; Xu, Yuan (2006), "Bivariate
Lagrange interpolation at the Padua points: the generating curve approach",
2683:{\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\hat {T}}_{j}(x_{1}){\hat {T}}_{k-j}(x_{2}){\hat {T}}_{j}(y_{1}){\hat {T}}_{k-j}(y_{2})}
2954:
3333:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}^{s}f(\mathbf {x} )=\sum _{\mathbf {\xi } \in \operatorname {Pad} _{n}^{s}}f(\mathbf {\xi } )L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}
664:
635:
470:
163:. It is possible to use the points with four orientations, obtained with subsequent 90-degree rotations: this way we get four different families of Padua points.
3097:
2949:
2751:
1966:
1946:
1788:
1768:
1610:
1590:
1426:
1406:
1155:
1135:
1082:
1062:
237:
217:
706:
430:
Actually, the Padua points lie exactly on the self-intersections of the curve, and on the intersections of the curve with the boundaries of the square
3897:
Bos, Len; de Marchi, Stefano; Vianello, Marco; Xu, Yuan (2007), "Bivariate
Lagrange interpolation at the Padua points: the ideal theory approach",
3871:
Caliari, Marco; de Marchi, Stefano; Vianello, Marco (2008), "Algorithm 886: Padua2D—Lagrange
Interpolation at Padua Points on Bivariate Domains",
666:
points lie on the edges of the square, and the remaining points lie on the self-intersections of the generating curve inside the square.
511:
90:
3346:
2861:
188:
3102:
1986:
2805:
95:
3842:
de Marchi, Stefano; Caliari, Marco; Vianello, Marco (2005), "Bivariate polynomial interpolation at new nodal sets",
21:
1804:
1626:
1442:
726:
479:
2086:
2032:
3032:
17:
3953:
3165:
2756:
3615:
199:, which is slightly different for each of the four families, so that the points for interpolation degree
3899:
2143:
2730:
29:
3701:
2696:
1233:
1977:
1087:
1014:
83:
43:
595:. Moreover, for each family of Padua points, two points lie on consecutive vertices of the square
3908:
3815:
1981:
3022:{\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }
1388:
From this follows that the Padua points of first family will have two vertices on the bottom if
179:
171:
37:
3918:
3880:
3851:
3825:
192:
709:
640:
598:
433:
3082:
2934:
2736:
2138:
1951:
1931:
1773:
1753:
1595:
1575:
1411:
1391:
1140:
1120:
1067:
1047:
222:
202:
676:
183:
Padua points of the first family and of degree 6, plotted with their generating curve.
175:
Padua points of the first family and of degree 5, plotted with their generating curve.
3947:
2204:
3937:
3938:
List of publications related to the Padua points and some interpolation software
473:
3922:
3855:
3829:
3884:
3913:
3820:
588:{\textstyle |\operatorname {Pad} _{n}^{s}|={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}
178:
170:
2951:). For the four families of Padua points, which we may denote by
28:
are the first known example (and up to now the only one) of a
1798:
The generating curve of Padua points of the fourth family is
1436:
The generating curve of Padua points of the second family is
3225:
1620:
The generating curve of Padua points of the third family is
720:
The generating curve of Padua points of the first family is
3776:
1371:
32:(that is, the interpolating polynomial is unique) with
1362:
1294:
514:
3650:
3618:
3397:
3381:{\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}
3349:
3221:
3168:
3105:
3085:
3035:
2957:
2937:
2864:
2808:
2759:
2739:
2699:
2453:
2215:
2146:
2089:
2035:
1989:
1954:
1934:
1807:
1776:
1756:
1629:
1598:
1578:
1445:
1414:
1394:
1169:
1143:
1123:
1090:
1070:
1050:
1017:
865:
729:
679:
643:
601:
482:
436:
248:
225:
205:
98:
46:
2920:{\displaystyle T_{p}(\cdot )=\cos(p\arccos(\cdot ))}
3782:
3633:
3601:
3380:
3332:
3204:
3154:
3091:
3071:
3021:
2943:
2919:
2850:
2794:
2745:
2721:
2682:
2433:
2195:
2129:
2075:
2021:
1960:
1940:
1917:
1782:
1762:
1739:
1604:
1584:
1561:
1420:
1400:
1377:
1149:
1129:
1109:
1076:
1056:
1036:
1000:
845:
700:
658:
629:
587:
500:
464:
419:
231:
211:
155:
74:
1976:The explicit representation of their fundamental
3155:{\displaystyle f\colon ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
2022:{\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}
2851:{\displaystyle {\hat {T}}_{p}={\sqrt {2}}T_{p}}
156:{\displaystyle \times \subset \mathbb {R} ^{2}}
3866:
3864:
1928:which leads to have vertices on the right if
8:
3066:
3042:
3016:
2976:
2228:
2216:
1918:{\displaystyle \gamma _{4}(t)=,\quad t\in ,}
1740:{\displaystyle \gamma _{3}(t)=,\quad t\in ,}
1572:which leads to have vertices on the left if
1562:{\displaystyle \gamma _{2}(t)=,\quad t\in ,}
992:
970:
957:
884:
846:{\displaystyle \gamma _{1}(t)=,\quad t\in .}
501:{\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}}
309:
269:
1750:which leads to have vertices on the top if
856:If we sample it as written above, we have:
2130:{\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2})}
2076:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}
3912:
3873:ACM Transactions on Mathematical Software
3819:
3768:
3763:
3758:
3746:
3741:
3736:
3724:
3719:
3714:
3704:
3696:
3666:
3656:
3655:
3649:
3624:
3623:
3617:
3589:
3588:
3519:
3506:
3493:
3480:
3465:
3457:
3448:
3434:
3433:
3418:
3409:
3403:
3402:
3396:
3370:
3361:
3355:
3354:
3348:
3322:
3313:
3307:
3306:
3294:
3280:
3275:
3263:
3262:
3247:
3235:
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3223:
3220:
3196:
3169:
3167:
3146:
3142:
3141:
3131:
3104:
3084:
3072:{\displaystyle s=\lbrace 1,2,3,4\rbrace }
3034:
3007:
2994:
2979:
2967:
2962:
2956:
2936:
2869:
2863:
2842:
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2811:
2810:
2807:
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2773:
2762:
2761:
2758:
2738:
2713:
2702:
2701:
2698:
2671:
2652:
2641:
2640:
2630:
2617:
2606:
2605:
2595:
2576:
2565:
2564:
2554:
2541:
2530:
2529:
2522:
2511:
2501:
2490:
2475:
2467:
2458:
2452:
2422:
2417:
2399:
2389:
2380:
2375:
2357:
2347:
2338:
2325:
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2293:
2275:
2255:
2243:
2234:
2214:
2184:
2156:
2151:
2145:
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2105:
2090:
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2064:
2051:
2036:
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1755:
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960:
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875:
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255:
250:
247:
224:
204:
147:
143:
142:
97:
86:, where they were originally discovered.
57:
45:
3798:
3388:is the fundamental Lagrange polynomial
2927:is the classical Chebyshev polynomial
3079:, the interpolation formula of order
7:
3205:{\displaystyle \mathbf {x} \in ^{2}}
2795:{\displaystyle {\hat {T}}_{0}=T_{0}}
3634:{\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }}
2196:{\displaystyle \Pi _{n}^{2}(^{2})}
2148:
673:parametric curves in the interval
14:
187:We can see the Padua point as a "
3466:
3419:
3371:
3323:
3248:
3170:
2476:
2468:
2091:
2037:
2012:
2004:
3584:
3565:
3534:
1890:
1712:
1534:
818:
669:The four generating curves are
3687:
3675:
3593:
3578:
3528:
3525:
3512:
3499:
3486:
3470:
3454:
3441:
3423:
3415:
3375:
3367:
3327:
3319:
3299:
3291:
3252:
3244:
3193:
3177:
3137:
3128:
3112:
3013:
2987:
2914:
2911:
2905:
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2881:
2875:
2816:
2767:
2722:{\displaystyle {\hat {T}}_{j}}
2707:
2677:
2664:
2646:
2636:
2623:
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2601:
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2547:
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2464:
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2312:
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2162:
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1818:
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1706:
1703:
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1682:
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1664:
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1541:
1528:
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812:
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437:
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348:
306:
280:
135:
120:
114:
99:
89:The points are defined in the
69:
50:
1:
1592:is even and on the bottom if
1110:{\displaystyle \delta _{j}=1}
1037:{\displaystyle \delta _{j}=0}
75:{\displaystyle O(\log ^{2}n)}
3162:on the generic target point
2729:representing the normalized
1770:is even and on the right if
708:, and are a special case of
3770: is an interior point.
1408:is even, or on the left if
82:. Their name is due to the
3970:
1948:is even and on the top if
3923:10.1007/s00211-007-0112-z
3856:10.1016/j.amc.2004.07.001
3830:10.1016/j.jat.2006.03.008
1972:The interpolation formula
18:polynomial interpolation
3885:10.1145/1391989.1391994
3726: is a vertex point
3784:
3748: is an edge point
3635:
3603:
3382:
3334:
3206:
3156:
3093:
3073:
3023:
2945:
2921:
2852:
2796:
2747:
2723:
2684:
2527:
2506:
2435:
2197:
2131:
2077:
2023:
1962:
1942:
1919:
1784:
1764:
1741:
1606:
1586:
1563:
1422:
1402:
1379:
1151:
1131:
1111:
1078:
1058:
1038:
1002:
847:
702:
660:
631:
589:
502:
466:
421:
233:
213:
184:
176:
157:
76:
3900:Numerische Mathematik
3785:
3636:
3604:
3383:
3335:
3207:
3157:
3094:
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2922:
2853:
2797:
2748:
2724:
2685:
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2486:
2436:
2198:
2132:
2078:
2024:
1963:
1943:
1920:
1785:
1765:
1742:
1607:
1587:
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